基于小波變換的無驅動結構微機械陀螺信號自旋頻率的提取*

張 寧,張福學*,張增平

(1.北京信息科技大學傳感技術研究中心,北京 100101;2.北京郵電大學電子工程學院,北京 100876)

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基于小波變換的無驅動結構微機械陀螺信號自旋頻率的提取*

張 寧1,張福學1*,張增平2

(1.北京信息科技大學傳感技術研究中心,北京 100101;2.北京郵電大學電子工程學院,北京 100876)

針對一種新型陀螺,它能敏感旋轉載體的俯仰、偏航和滾轉角速度,敏感信號是一種調幅波信號,載波頻率是自旋頻率,包絡是橫向角速度。實際應用中,需要精確提取自旋頻率?；诖?提出了一種提取載波頻率的新的方法——小波變換構造解析函數(shù)法,對自旋頻率解算算法進行了理論推導,并通過MATLAB軟件對噪聲比為30 dB的模擬陀螺調幅波信號進行了自旋頻率的提取和誤差分析,其中Hilbert變換相對誤差為0.033 6,小波變換相對誤差為0.017 8。對三軸精密轉臺實時測試的橫向角速度為180°/s的陀螺信號進行了自旋頻率的提取和誤差分析,其中Hilbert變換相對誤差為0.035 9,均方差MSE為7.915 9;小波變換相對誤差為0.001 8,均方差MSE為0.293 7。小波變換較Hilbert變換求解自旋頻率精度提高二十倍,降噪性能和頻率穩(wěn)定性更好。

微機械陀螺;自旋頻率;小波變換;Hilbert變換;

高速旋轉體發(fā)展十分迅速且應用十分廣泛,然而其發(fā)展的瓶頸是敏感旋轉體姿態(tài)的傳感器技術,這是涉及旋轉體實用化的核心技術,傳統(tǒng)陀螺用于非旋轉體,能滿足高速旋轉體要求的陀螺至今未見國內外報導[1]。

微機械擺安裝在旋轉體上,受旋轉體滾轉形成的驅動力作用而產(chǎn)生陀螺效應,能同時敏感旋轉體的偏航、俯仰和滾轉角速度,具有3只傳統(tǒng)陀螺的功能[2-4]。目前的信號檢測電路的輸出信號是一種調幅波信號。如何從微機械擺輸出信號中解調出3個角速度信息是解決這種無驅動結構硅微機械陀螺的實際應用問題的關鍵。

目前用于解算旋轉載體瞬時自旋頻率的常用方法是構造解析函數(shù)法,傳統(tǒng)方法是通過Hilbert變換構造一個復解析函數(shù),利用該函數(shù)求解出自旋頻率。但是,在時域中,希爾伯特變換器的單位沖擊響應是無限長,衰減率比較緩慢,同時,在數(shù)字信號處理中存在不可避免的Gibbs效應,而且,希爾伯特變換對噪聲也非常敏感。因此,解算的精度會受到影響?；诖?提出了小波變換構造解析函數(shù)法,并作了算法理論推導、仿真及實驗結果分析。與傳統(tǒng)方法相比,小波變換構造解析函數(shù)法求解結果具有更高的精度和穩(wěn)定性。

1 微機械擺及其敏感旋轉體姿態(tài)的機理

圖1中(a)和(b)分別為微機械擺正視圖和產(chǎn)生陀螺效應原理圖[1,4-7]。擺片通過彈性梁懸掛在擺框上。安裝在旋轉載體上的微機械擺和旋轉載體共同構成閉環(huán)回路陀螺,微機械擺隨載體自旋獲得角動量,當旋轉載體有俯仰或偏航時,陀螺受到科里奧利力的作用,產(chǎn)生諧振動,梁振動使擺片隨之振動,引起電路中電容變化,電橋失去平衡。通過陀螺檢測電路,檢測輸出信號,即可得到偏航、俯仰和滾轉角速度。

圖1 微機械擺正視圖及產(chǎn)生陀螺效應原理圖

由歐拉動力學方程,硅擺振動方程為

(1)

式(1)的穩(wěn)態(tài)解為

(2)

微機械擺敏感信號經(jīng)過檢測電路和信號調理電路輸出一個電壓信號為

(3)

圖2 微機械擺輸出波形

2 提取旋轉體自旋頻率的方法

2.1 小波函數(shù)與小波變換[9-12]

滿足允許性條件[8-9]

(4)

的函數(shù)g(t)稱為一個小波函數(shù),可以推出:

(5)

對滿足上兩式的小波函數(shù)g(t)作伸縮和平移可得到一組正交小波基:

(7)

g(t)∈L1(R,dt)∩L2(R,dt)

(8)

(9)

給定任意一個信號f(t)∈L2(R,dt),即能量有限信號,它對應的關于小波函數(shù)g(t)的小波變換定義為:

(10)

2.2 自旋頻率求解算法

定理1如果f(t)是一個能量有限的信號,g(t)是一個解析信號,那么S(b,a)就是一個相對于實數(shù)變量b和a(a>0)的復數(shù)函數(shù)。a是尺度因子,b是平移因子。當給定尺度因子a,S(b,a)的虛部就是實部的希爾伯特變換[9]。

(11)

證明:由(10)可得

(12)

其中,

gR(t)=Re(t(t))g1(t)=Im(g(t))

(13)

(14)

由定理1,對于一個實數(shù)a0,可得

(15)

式(13)兩邊同乘以1/(aCg),并對a從0到無窮積分,得

(16)

式(14)兩邊同乘以1/(aCg),然后對變量a從0到無窮積分,由于Hilbert變換為線性變換,利用式(16),即可得式(11)。

采用CoCA分析浮游植物與浮游動物之間的關系，結果顯示浮游植物與浮游動物之間的相關性顯著（P=0.014）。前 4個排序軸解釋了 44%共同方差，且4個排序軸相關性依次為：0.9212、0.9444、0.9194、0.9061，均超過了0.9000。較高的相關性及共同方差比例表明浮游動物與浮游植物之間存在顯著的交互作用（Hanson et al.，2015）。浮游動植物名列前10的種類得分占總得分比例約為40%，因此圖4僅顯示了浮游植物和浮游動物擬合權重最高的前 10種類，以便更好地觀察浮游動植物之間起主要作用的種類。

(17)

則自旋頻率可由下式求出:

(18)

3 仿真結果

圖3 模擬陀螺輸出信號

圖4 解算的自旋頻率及誤差對比圖

圖4為分別采用Hilbert變換和小波變換兩種方法解算出來的模擬微機械擺陀螺信號的自旋頻率和誤差對比。可以看出,小波變換解算出的自旋頻率波動范圍小,相對誤差絕對值明顯較低。進一步求解,Hilbert變換提取自旋頻率的相對誤差平均值為0.033 6,相對誤差絕對值為0.743 6,小波變換提取自旋頻率的相對誤差平均值為0.017 8,相對誤差絕對值為0.123 2。因此,從理論仿真角度定性驗證了小波變換較Hilbert變換解算的自旋頻率精度更高、穩(wěn)定性更好。

4 實驗結果及分析

本文所采用的小波函數(shù)為復Morlet小波:

(19)

其中,fc為小波中心頻率,fb為帶寬參數(shù)。根據(jù)微機械擺陀螺信號特征,經(jīng)過反復試驗,最終確定適合微機械擺輸出信號的小波中心頻率和帶寬參數(shù)最佳值,即fc=1,fb=2,。

MEMS三軸精密轉臺實時測出的微機械擺輸出信號數(shù)據(jù)擬合圖像,如圖5中(a)所示。其中,橫向輸入角速度Ω(t)=180°/s,自旋頻率為14 Hz。

圖5 陀螺輸出信號及自旋頻率解算圖

圖5為分別采用Hilbert變換和小波變換兩種方法解算出的自旋頻率?？梢钥闯?(b)中在初始時刻和終了時刻有很大的波動,即存在明顯的Gibbs效應,而(c)中求解的自旋頻率,前后一致,基本消除了Gibbs效應。進一步而言,就可以充分利用初始時刻的數(shù)據(jù),求解出較精確的自旋頻率,進而提高自旋頻率解算的實時性。縮小自旋頻率觀察范圍,如圖(d)(e),可以看出,(d)圖中毛刺較多,波動范圍較大,而(e)圖中基本無毛刺,且波動范圍較小,自旋頻率曲線比較平滑,由此,小波變換具有一定的降噪功能,且較Hilbert變換解算出的自旋頻率穩(wěn)定性更高。

圖6為絕對誤差、相對誤差以及相對誤差絕對值的分析?？梢钥闯?Hilbert變換誤差范圍較大,小波變換波動范圍較小,由相對誤差絕對值圖可以看出,在中間較穩(wěn)定時刻,Hilbert變換能達到0.25,而小波變換不到0.025,要比Hilbert變換低一個數(shù)量級之上,由此,小波變換較Hilbert變換有更高的精度。

圖6 誤差分析

進而分別求Hilbert變換和小波變換的絕對誤差、相對誤差、相對誤差絕對值的平均值和均方差,如表1。

表1 誤差對比

由表1可看出,小波變換的各個誤差要比Hilbert變換的各個誤差小10倍之多,均方差低1個數(shù)量級。可見,小波變換求解的頻率精度能在傳統(tǒng)的Hilbert變換求解的自旋頻率精度基礎上提高一個數(shù)量級,且波動性更小,穩(wěn)定性更高。

由上述實驗結果及分析,從實驗角度驗證了小波變換解算出的自旋頻率較Hilbert變換具有更高的精度、穩(wěn)定性和實時性。

5 結論

本文從理論上提出小波變換構造解析函數(shù)來解算微機械擺信號的自旋頻的方法,并從仿真和實驗兩方面分析驗證了小波變換的優(yōu)勢。與傳統(tǒng)的Hilbert變換構造解析函數(shù)法相比,小波變換能夠消除Hilbert變換不可避免的Gibbs效應,自旋頻率解算的精度能夠提高一個數(shù)量級,并且具有更高的降噪性能、穩(wěn)定性和實時性。這對微機械擺在高速旋轉體姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)和控制系統(tǒng)中的應用具有很高的理論驗證支持和研究意義。

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張寧(1986-),女,碩士研究生,2012年西安電子科技大學微電子學專業(yè)畢業(yè),后進入北京信息科技大學傳感技術研究中心攻讀碩士學位,研究方向為無驅動結構硅微機械陀螺的姿態(tài)解算,selenaning@163.com;

張福學(1939-),男,云南曲靖市宣威人。北京信息科技大學傳感技術研究中心主任,教授,博士生導師。研究方向為微機械慣性器件,zhangfuxue@263.net。

SpinFrequencyExtractionofNon-DrivenMicro-MachinedGyroscopeSignalviaWaveletTransform*

ZHANGNing1,ZHANGFuxue1*,ZHANGZengping2

(1.Sensing Technique Research Center,Beijing Information Science and Technology University,Beijing 100101,China;2.Electronic Engineering Institute,Beijing Posts and Telecommunications University,Beijing 100876,China)

As a new type of gyroscope,it can sense pitch,yaw and roll angular velocity of the rotating aircraft.The sensitive signal is an amplitude modulated wave signal,where the carrier frequency is the spin frequency and the envelope is the lateral angular velocity.Considering that the spin frequency is required to be precisely extracted in practical applications,a new method that using wavelet transform to construct analytic functions is proposed and the algorithm is theoretically derived.Besides,the spin frequency of analog gyroscope amplitude modulation wave signal,whose noise ratio is 30 dB,is extracted and the error is further analyzed through MATLAB,where the relative error is 0.033 6 for Hilbert transform and 0.017 8 for wavelet transform.Furthermore,the spin frequency of gyroscope signal tested in real-time by three-axis precision turntable is extracted and the error is further analyzed,where the lateral angular velocity is 180°/s.For Hilbert transform,the relative error is 0.035 9 and the MSE is 7.915 9,while for wavelet transform,the relative error is 0.001 8 and the MSE is 0.293 7.The accuracy of spin frequency calculated by Wavelet transform is twenty times higher than the Hilbert transform,and the anti-noise performance and frequency stability is better.

micro-machined gyroscope;spin frequency;wavelet transform;Hilbert transform

項目來源:國家自然科學基金項目(60971024);北京傳感器重點實驗室開放課題項目(5026035203);現(xiàn)代測控技術教育部重點實驗室開放課題項目

2014-04-09修改日期:2014-06-09

10.3969/j.issn.1004-1699.2014.07.005

TP212

:A

:1004-1699(2014)07-0876-05