載流梁的熱磁彈性3次超諧共振*

席曉燕

(唐山學院機電工程系,河北 唐山 063000)

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載流梁的熱磁彈性3次超諧共振*

席曉燕*

(唐山學院機電工程系,河北 唐山 063000)

摘要:在磁彈性動力學理論的基礎上,應用動力學方法建立電磁場和溫度場聯(lián)合作用下的載流梁的非線性熱磁彈性振動方程。應用非線性振動的多尺度法,求得了系統(tǒng)受Lorentz力和溫度影響共同作用的3次超諧共振幅頻響應方程,并對其進行了數(shù)值計算,研究電磁場、溫度變化、電流、幾何參數(shù)等參數(shù)對載流梁3次超諧共振響應曲線的影響。結(jié)果表明:當溫度、磁場強度、長度、橫截面積達到特定值時,系統(tǒng)振幅會大幅增加。

關鍵詞:載流梁;3次超諧共振;多尺度法;Lorentz力

航空航天、磁懸浮裝置、傳感器[1]以及機電系統(tǒng)動力裝置等工程實際中經(jīng)常會遇到鐵磁彈性載流梁的振動問題。由于磁場、電場等多場耦合作用,電磁彈性相互耦合作用的非線性力學行為也備受關注。文獻[2-4]用公理化體系方法和理性力學建立了電磁彈性力學理論,文獻[5]研究了熱載荷和磁場耦合作用下鐵磁板動靜態(tài)穩(wěn)定性問題,文獻[6]建立了磁場環(huán)境下導電薄板的磁彈性方程,并對方程的主共振進行了數(shù)值計算和分析,文獻[7]建立了在橫向磁場和機械載荷共同作用下的大撓度載流矩形薄板的非線性運動方程,給出板的單模態(tài)運動方程和雙模態(tài)運動方程,研究了載流薄板模態(tài)截斷問題。文獻[8]對處在周期變化的橫向磁場中的幾何非線性鐵磁簡支梁式薄板的混沌運動進行了理論分析和計算,文獻[9]在材料的電熱特性的研究以及文獻[10]在磁彈性變形的應用方面的研究均取得一些顯著的成果,而文獻[11]在電磁場作用下的非線性變形進行了研究。工程電子元件在熱狀態(tài)下的動力學行為研究越來越引起人們的關注,許多結(jié)構(gòu)元件常因溫度變化而處于熱脹冷縮狀態(tài)[12],因此,討論溫度場與電磁場共同作用下的磁彈性載流梁的振動問題,研究其動力學特性是必要的,本文 研究成果為載流電磁結(jié)構(gòu)的性能設計提供參考。

1　基本方程

考慮一長度為l,截面為矩形(寬為b,高為h)的等截面兩端固定鉸約束梁(圖1)。梁在磁場Bz的作用下通以電流,電流密度為Il,根據(jù)梁的彎曲振動理論和磁彈性基本理論得到了載流梁的振動方程[13]:

(1)

式中N為軸力,Fmag為Lorentz力,Fcos(Ωt)為均布簡諧激勵,x為橫坐標,y為橫向振動位移,ρ為密度,EI為抗彎剛度,I為截面慣性矩,E為彈性模量,S為橫截面積,ES相乘為拉伸剛度,c為阻尼系數(shù),t為時間。

其中

(2)

式中NT為熱載荷,ES為拉伸剛度。

圖1　處于磁場中的載流梁

1.1熱載荷力

求得熱載荷力為

(3)

式中τ0為初始溫度,τ為溫度改變量,αs為熱膨脹系數(shù),其中取熱載荷分布為拋物線型

(4)

將式(3)代入式(2)得到軸力為

(5)

1.2Lorentz力

假設材料為非極化、非磁化的良導體,忽略位移電流的影響,則作用在質(zhì)點上的Lorentz為[13]:

fmag=[Il+Ilx]×Bz

(6)

式中,Ilx表示彈性載流梁內(nèi)感應電流強度沿x軸方向的分量為

(7)

其中σ0為電導率,ex為感應電場強度。

式(7)代入式(6),并在方程兩邊對y積分就得到Lorentz力的載荷集度為:

(8)

1.3橫向振動方程

將方程(5)、(8)代入式(1),假設載流梁內(nèi)通交流電流密度Il=ilcos(ωt),不考慮感應電場強度、外部簡諧激勵,得到載流梁的橫向振動微分方程

(9)

在工程實際中,一般對結(jié)構(gòu)的基頻最感興趣,根據(jù)兩端固定鉸的約束條件,設式(9)的解為

(10)

式(10)代入式(9),利用Galerkin原理可得

(11)

整理得到

(12)

式中

(13)

2　3次超諧共振理論分析

式(12)為溫度場中載流梁的熱磁彈性振動方程。當激勵頻率ω遠離ω0且3ω≈ω0時,在式(12)所描述的系統(tǒng)中將會激發(fā)起3次超諧共振現(xiàn)象,并表現(xiàn)出復雜的動力學行為,為研究系統(tǒng)3次超諧共振在非線性項、阻尼項前冠以小參數(shù)ε,式(12)表示為

(14)

引入調(diào)諧參數(shù)σ,由下式?jīng)Q定

3ω=ω0+εσ,σ=Ο(1)

(15)

應用多尺度法,設3次超諧共振的一次近似解為

q(t)=q0(T0,T1)+εq1(T0,T1)

(16)

式中T0,T1代表時間尺度

式(15)、式(16)代入方程(14),比較ε同次冪的系數(shù)后得到一組線性偏微分方程

(17a)

(17b)

方程(17a)的解是

q0(T0,T1)==X(T1)ejω0T0+BejωT0+cc

(18)

這里

(19)

式中cc代表共軛復數(shù),以下同。式中a為模態(tài)振幅,β為共振初相位角,將上式代入方程(17b),得

(20)

消除永年項的條件為

(21)

將式(19)代入式(21),分離實部和虛部得

(22)引入=σT1-3β,方程(22)還可以轉(zhuǎn)化為自治微分方程

(23)

為確定系統(tǒng)對應3次超諧共振穩(wěn)態(tài)運動定常解,令D1a=0,D1φ=0,得到振幅和相位應滿足的代數(shù)方程

(24)

兩式平方后相加消去φ,得到振幅a、相位φ與激勵頻率調(diào)諧參數(shù)σ之間的關系

(25a)

(25b)

式(25)稱為系統(tǒng)3次超諧共振穩(wěn)態(tài)運動定常解幅頻響應曲線和相頻響應方程。

3　數(shù)值分析結(jié)果

應用式(25a)可以計算系統(tǒng)3次超諧共振的響應曲線,分析不同參數(shù)對響應曲線的影響。

如無特殊申明,材料特征參數(shù)為:梁長l=1m,寬b=0.04m,高h=0.02m,材料的彈性模量E=70×109N/m2,密度為ρ=2 700kg/m3,阻尼系數(shù)c=0.06 (N·s)/m,電流密度幅值i0=70×106A/m2。

溫度場特征參數(shù)為:τ0=20 ℃,τ=0 ℃,αs=12.5×10-6/℃。

電磁場的特征參數(shù):Bz=0.05T,電導率:σ0=3.63×107(Ω·m)-1。

對圖2～圖7所示的曲線進行分析,可以得到如下結(jié)論:

(1)隨溫度升高、電流強度增強、磁場強度增強,幅頻響應曲線的幅值增大,見圖2～圖4。由于在試驗中只能實現(xiàn)漸進穩(wěn)定運動,所以在正弦慢掃頻試驗中會發(fā)生跳躍現(xiàn)象,且跳躍現(xiàn)象越加明顯。由圖可見,對于固定的激勵頻率調(diào)諧參數(shù)(σ),3次超諧共振的解可能是唯一的,也可能有3個,多個穩(wěn)態(tài)解的真正實現(xiàn)取決于穩(wěn)定性及初始條件。

(2)載流梁幅值隨結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)變化的曲線分別為圖5、圖6。由圖5可見,在其他參數(shù)一定的情況下,載流梁長度取1m附近時,幅值達到最大。而圖6表明,特定值的橫截面積會使幅值達到最大。因此調(diào)節(jié)載流梁的幾何參數(shù)可以將幅值控制在一定范圍內(nèi)。

(3)載流梁隨磁場強度變化的曲線如圖7所示,由圖可知將磁場強度控制在一定范圍內(nèi)可抑制共振的發(fā)生。

圖2　幅頻響應曲線

圖3　幅頻響應曲線

圖4　幅頻響應曲線

圖5　振幅長度響應曲線

圖6　幅值橫截面積響應曲線

圖7　幅值磁場強度響應曲線

4　結(jié)論

本文以處于溫度場和磁場環(huán)境中的載流梁為研究對象,對其非線性熱磁彈性3次超諧共振問題進行了研究,通過數(shù)值算例,分析了共振幅值隨系統(tǒng)參數(shù)變化的變化規(guī)律。說明了溫度變化、磁場環(huán)境、結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)等因素的確定,能夠達到抑制或激發(fā)系統(tǒng)3次超諧共振的目的,所得結(jié)論為載流電磁結(jié)構(gòu)的安全性、可靠性設計及性能設計提供參考。

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席曉燕(1979-),女,河北省蔚縣人,副教授,畢業(yè)于河北聯(lián)合大學機械設計及理論專業(yè),現(xiàn)在主要從事機電動力學研究方向,xixiaoyan@163.com。

ThirdSuperharmonicResonanceoftheCurrent-CarryingBeaminThermal-Magneto-ElasticityField*

XIXiaoyan*

(Department of Mechanical engineering,Tangshan College,Tangshan Hebei 063000,China)

Abstract:Based on the electro-magneto-elastic theory,nonlinear vibration equation of current-carrying beam in thermal-magneto-elasticity field is studied.The Lorentz force and temperature effect on the beam are derived.According to the method of multiple scales for nonlinear vibrations the amplitude frequency response equation of third superharmonic resonance is obtained.The effects of electro-magnetic and mechanical parameters on system resonance characteristics are analyzed.The results show the amplitude of system will substantially increase when the temperature,magnetic field intensity,length,cross-sectional area reach their certain values respectively.

Key words:current-carrying beam;third superharmonic;thermal-magneto-elasticity;the method of multiple scales;Lorentz force

doi:EEACC:7310;732010.3969/j.issn.1005-9490.2014.05.019

中圖分類號:O326;O321

文獻標識碼:A

文章編號:1005-9490(2014)05-0887-04

收稿日期:2013-10-25修改日期:2013-11-13

項目來源:河北省自然科學基金項目(A2009000997);河北省教育廳項目(ZD20132006)