自同構(gòu)群階為8p1p2...pr的有限冪零群*

鐘祥貴,蔣青芝,吳 勇,張小芳

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

自同構(gòu)群階為8p1p2...pr的有限冪零群*

鐘祥貴,蔣青芝,吳 勇,張小芳

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

給出自同構(gòu)群階為8p1p2...pr(p1,p2,...,pr是不同的奇素數(shù))的有限冪零群的完全分類.

自同構(gòu)群;冪零群;群階;有限群

對于給定的自然數(shù)n,解自同構(gòu)群方程|Aut(G)|=n的問題,學(xué)者們[1-9]作了很多研究.文獻[1]證明了對任意給定的奇素數(shù)p,不存在有限群G滿足|Aut(G)|=p5.文獻[2-3]對自同構(gòu)群階為8pq,8p2q2(p,q為不同的奇素數(shù))的有限冪零群作了研究.文獻[4]對自同構(gòu)群階為16p(p為奇素數(shù))的有限冪零群作了研究.文獻[5]對自同構(gòu)群階為16p2(p為奇素數(shù))的有限交換群作了研究.筆者的目的是繼續(xù)這方面的研究,作為文獻[3]的進一步擴展,討論自同構(gòu)群方程|Aut(G)|=8p1p2...pr(p1

1 相關(guān)引理

引理1[6]設(shè)P為非循環(huán)p群,|P|>p2.若|P/Z(P)|≤p4,則|P|整除|Aut(P)|.

引理2[7]不存在有限群G使得|Aut(G)|=n,其中n是4次方自由的奇數(shù).

引理3[8]八階非循環(huán)群P有以下4種互不同構(gòu)的類型：Z2×Z2×Z2,Z4×Z2,四元數(shù)群Q8,二面體群D8.并且|Aut(P)|依次為23·3·7,23,23·3,23.

引理4[8]設(shè)Q為q-群(q為素數(shù)).如果|Aut(Q)|=m,那么:

(1)m=1時,Q?Z2;

(2)m=2時,Q?Z3,Z4;

(3)m=4時,Q?Z5,Z8;

(4)m=8時,Q?Z2×Z4,D8,Z16.

引理5[9]設(shè)L為奇階有限冪零群,那么|Aut(L)|=4p1p2...pr(pr是最大素因子)當且僅當L同構(gòu)于下列群之一:

(1)L1=Zp,其中p=4p1p2...pr+1為素數(shù);

(2)L2=Z(4p1p2...pr+1)2,其中4p1p2...pr-1+1=pr;

(3)L3=Zp×Zq,其中p,q為互異素數(shù),p-1,q-1為無平方因子的偶數(shù);

(4)L4=Zp×Zq2,其中p,q為互異素數(shù),p-1,q-1為無平方因子的偶數(shù);

(5)L5=Zp2×Zq2,而p,q為互異素數(shù),p-1,q-1為無平方因子的偶數(shù).

2 定理及其證明

定理1 設(shè)p1

(1)Z2×Z2×Li,i=1,2,3,4,5,其中L1=Zp且p=4p2...pr+1為素數(shù),L2=Z(4p2...pr+1)2且pr=4p2...pr-1+1,L3,L4,L5的結(jié)構(gòu)如同引理5所述;

(2)Z2×Z2×Z2,Q8;

(1) 若|R1|=4,則R1是四階初等交換群,此時Aut(R1)的階為2·3,從而p1=3,并且3

(ⅰ)L1=Zp,其中p=4p2...pr+1為素數(shù);

(ⅱ)L2=Z(4p2...pr+1)2,其中4p2...pr-1+1=pr;

(ⅲ)L3=Zp×Zq,p,q為大于3的互異素數(shù),p-1,q-1為無平方因子的偶數(shù);

(ⅳ)L4=Zp×Zq2,p,q為大于3的互異素數(shù),p-1,q-1為無平方因子的偶數(shù);

(ⅴ)L5=Zp2×Zq2,p,q為大于3的互異素數(shù),p-1,q-1為無平方因子的偶數(shù).

(2) 若|R1|=8,則R1為引理3給出的非循環(huán)群,其自同構(gòu)群階分別為23·3·7,23,23·3,23.如果r≥2,那么|Aut(R2×...×Rk)|=p2...pr.這時由引理2知R2×...×Rk不存在.從而G同構(gòu)于Z2×Z2×Z2,或者四元數(shù)群Q8.

情況1t=1.由文獻[1]的結(jié)論可知，2整除|Aut(Ri)|(i=1,...,s-1).注意到|Aut(Ri)|整除8p1p2...pr,所以2≤s≤4.下面就s的值分別進行討論.

情況2t=2.注意到|Aut(Ri)|整除4p1p2...pr,2≤s≤3.下面就s的值分別進行討論.

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[2] MENG Wei,LU Jiakuan,CHEN Kelin.Finite Nilpotent Groups with Automorphism Group of Order 8p2q2[J].South Asian J. Math.,2011,1(1)：29-33.

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[4] 鐘祥貴,張福生,張 洪.自同構(gòu)群階為16p的有限冪零群[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2009(1):21-24.

[5] 王秀花. |A(G)| = 24p2(p為奇素數(shù)) 的有限Abel 群[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2007,25(4):125-128.

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[8] 張遠達.有限群構(gòu)造[M].北京:科學(xué)出版社,1982.

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(責(zé)任編輯 向陽潔)

FiniteNilpotentGroupswiththeAutomorphismGroupofOrder8p1p2...pr

ZHONG Xianggui,JIANG Qingzhi,WU Yong,ZHANG Xiaofang

(College of Mathematical Science,Guangxi Normal University,Guilin 541004,Guangxi China)

In this paper,the finite nilpotent groups with the automorphism group of order 8p1p2...pr(p1,p2,...,prare distinct odd prime numbers) are classified.

automorphisms group;nilpotent group;group order;finite group

1007-2985(2014)01-0001-03

2013-04-19

國家自然科學(xué)基金資助項目(11261007)；廣西研究生教育創(chuàng)新計劃項目(YCSZ2012051)

鐘祥貴(1963-),男,湖南武岡人,廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授,主要從事有限群論研究.

O152.1

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.01.001