大規(guī)模動力系統(tǒng)高精度増維精細(xì)積分方法快速算法

吳澤艷， 王立峰， 武 哲,

(1.清華大學(xué) 航天航空學(xué)院, 北京 100084；2 北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100191)

對線彈性結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，較成熟、常用的時域積分方法有Newmark方法、Runge-Kutta方法。因計算穩(wěn)定性及精度要求，此兩方法的積分步長均較小,計算量較大。文獻[1]提出的求解結(jié)構(gòu)動力方程精細(xì)時程積分法求解線性齊次常微分方程，能獲得數(shù)值上逼近計算機精度的結(jié)果。而求解非齊次常微分方程，該方法需對方程系數(shù)矩陣求逆計算，當(dāng)逆不存在時方法失效。

為充分發(fā)揮精細(xì)積分方法高精度功效，正致力于研究避免矩陣求逆的精細(xì)積分方法，發(fā)展方向為：

(1)研究Duhamel項積分方法。采用數(shù)值積分方法對Duhamel項進行積分。張森文等[2-3]利用辛普生積分公式、高斯積分公式求解Duhamel積分，在精細(xì)積分方法基礎(chǔ)上研究Duhamel項的精細(xì)積分方法。譚述君等[4-5]對非齊次項多項式、指數(shù)函數(shù)、正/余弦函數(shù)給出精確計算方法，獲得數(shù)值上逼近計算機精度結(jié)果。譚述君等[6]基于Duhamel項的精細(xì)積分方法，構(gòu)造出求解非線性微分方程的數(shù)值算法。

(2)研究增維精細(xì)積分方法。顧元憲等[7-8]提出增維精細(xì)積分法。該方法可避免矩陣求逆，但增維后系數(shù)矩陣是時變的，只在時間步長非常小時方可近似為定常矩陣。文獻[9-12]分別將非齊次項用Taylor多項式、Laguerre多項式、Legendre多項式及Chebyshev多項式展開，再利用増維方法擴大系數(shù)矩陣，并用精細(xì)積分算法求解新的微分方程組，獲得較好計算結(jié)果。文獻[13]將増維精細(xì)積分方法用于非線性系統(tǒng)求解。

由于用増維精細(xì)積分方法時増維后系數(shù)矩陣是時變的，如果每次遞推計算前均需按精細(xì)積分法進行L=20次矩陣與矩陣相乘，計算量大，效率低，對大規(guī)模動力系統(tǒng)更是如此。因此需研究増維精細(xì)積分方法的快速算法。任偉等[14]提出將非齊次項作為常數(shù)時的快速算法。張繼峰等[15]在增維精細(xì)積分法基礎(chǔ)上對矩陣進行分塊計算，考慮非齊次項特點,減小矩陣維數(shù),實現(xiàn)簡化計算。將非齊次項近似為多項式研究中，文獻[4]給出的遞推計算公式精度高、算法快速。文獻[16]以精細(xì)積分方法為基礎(chǔ),利用大規(guī)模動力系統(tǒng)矩陣的稀疏性及動力物理特性,分析矩陣指數(shù)的特殊結(jié)構(gòu),并給出計算大規(guī)模動力系統(tǒng)矩陣指數(shù)及動力響應(yīng)的高效率方法。為進一步提高計算精度，本文研究將非齊次項近似為高次多項式(以二次多項式為例)基于増維精細(xì)積分的快速算法，獲得與文獻[4]相同結(jié)果。該算法不依賴于方程的物理特性，且具有高精度。

1 精細(xì)積分方法[1]

考慮齊次線性常微分方程初值問題：

(1)

式中：A為n階常數(shù)矩陣；x為n維列向量。據(jù)常微分方程理論，式(1)的解為：

x=eA·tx0

(2)

令時間步長為τ，一系列等步長τ的時刻為：

t0=0,t1=τ, …,tk=kτ, …

則：

x(τ)=x1=Tx0,T=eAτ

(3)

及遞推公式：

xk=Txk-1

(4)

問題歸結(jié)為式(3)中T陣的計算。在較小時間間隔[tk-1,tk]內(nèi)計算T陣：

(5)

其中：m=2L。若L=20，則m=1 048 576。令μ=τ/m，因τ很小，m很大，故μ很小。在μ區(qū)間段內(nèi)，有：

eμA≈I+Aμ+(Aμ)2/2+(Aμ)3/6+(Aμ)4/24=I+Ta

(6)

其中：

Ta=Aμ+(Aμ)2/2+(Aμ)3/6+(Aμ)4/24

(7)

令：

T=eτA=(I+Ta)2L=(I+Ta)2L-1(I+Ta)2L-1

(8)

且(I+Tb)(I+Tc)=I+Tb+Tc+TbTc，因此求解T即等同于執(zhí)行語句為：

for(i=1;i<=L;i++)Ta=2Ta+TaTa

循環(huán)結(jié)束時執(zhí)行：

T=I+Ta

(9)

由此獲得T陣。此即求解齊次常微分方程組初值問題的精細(xì)積分方法。

2 高精度増維精細(xì)積分方法快速算法

設(shè)系統(tǒng)剛度矩陣、阻尼矩陣、質(zhì)量矩陣分別為k,C，M,則結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程為：

式中：f(t)為外力。方程可改寫為：

考慮初始條件的結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程可寫為：

(10)

式中：H為n階常數(shù)矩陣；g僅為時間t的函數(shù)。

將g在時刻tk處作Taylor展開：

(11)

略去式(11)中高階項后代入式(10)得：

(12)

式中：

(13)

g0=g(tk)，g1=g′(tk)，g2=g″(tk)

式(12)在形式上表現(xiàn)為線性齊次常微分方程組，可用精細(xì)積分方法求解。但在不同時間段內(nèi)矩陣A不同，若每次按精細(xì)積分法做L=20次矩陣與矩陣相乘，計算量較大，效率較低。以下導(dǎo)出求解矩陣Ta的快速算法。

由式(12)中矩陣A的定義計算得：

記：

P0=μI+(μ2/2)H+(μ3/6)H2+(μ4/24)H3

(14a)

Q0=(μ2/2)I+(μ3/6)H+(μ4/24)H2

(14b)

R0=(μ3/6)I+(μ4/24)H

(14c)

a0=μb0=μ2/2c0=μ

(14d)

由(7)式有：

(15)

執(zhí)行一次Ta=2Ta+TaTa計算得：

(16)

式中：

(17)

比較式(15)、(16)可知，每執(zhí)行一次更新計算所得新矩陣Ta形式不變。由此得計算Ta的快速算法：

(18)

式(18)循環(huán)結(jié)束后，得：

(19)

從而有：

vk+1=(PLH+In×n)vk+PLg0+QLg1+RLg2

(20)

式(20)即將非齊次項近似為二次多項式后的遞推計算公式。遞推計算前，先計算PL，QL，RL，PLH并保存。同文獻[4]，乘法計算量亦為4L次矩陣與矩陣相乘。此后的每個時間步，每次遞推計算只需4次矩陣與向量相乘運算，避免L=20次矩陣與矩陣相乘，計算量由L(n+3)3減小到4n2，效率提高顯著。其中n為矩陣H的階數(shù)。若需進一步提高計算精度，可保留式(11)中更多Taylor展開項，亦能獲得類似結(jié)果。

3 算例

3.1 算例1

考慮動力系統(tǒng)：

其中：

記：

(i=1，2，…，n)

Φ(t)=[eλ1tr1, …, eλntrn]

f(t)=Φ(t)[1, …, 1]T

由于λi，ri為矩陣H的特征值及特征向量，故方程有解析解為：

x(t)=Φ(t)(t-t0)[1, …, 1]T

式中：n代表方程組規(guī)模。

取a=b=1.0，c=-2.0，Δt=0.01，n=100。為顯示算法的精度，在每個時間段分別將非齊次項近似為常數(shù)及一、二次多項式，遞推計算100步，相對誤差見圖1。由圖1看出，計算精度隨近似階的提高顯著提高。

圖1 相對誤差

為顯示快速算法的高效性，分別用MATLAB的ode45函數(shù)、經(jīng)典増維精細(xì)積分法與快速算法求解該動力系統(tǒng)。ode45基于Runge-Kutaa法，可自適應(yīng)調(diào)節(jié)步長，精度設(shè)置為10-7。經(jīng)典増維精細(xì)積分法與快速算法均將非齊次項近似為二次多項式，時間步長為0.01。計算規(guī)模n取不同值時用三種方法在時間方向遞推計算1 s的耗時見表1。其中快速算法的準(zhǔn)備時間指遞推前計算式(20)中各矩陣的時間。由表1看出，隨計算規(guī)模的增大，與經(jīng)典増維精細(xì)積分算法相比，快速算法的計算時間呈量級減少；快速算法耗時主要集中在遞推計算前的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備階段，計算時間少于ode45。因此推進計算時間越長，快速算法的優(yōu)越性越顯著。

表1 計算時間對比(單位 s)

3.2 算例2[4]

設(shè)弦的張力為T，用4n+3個節(jié)點將弦等分為(4n+3)+1段，每個節(jié)點布置一個質(zhì)量m/(4n+3)，不計弦自重；在弦的1/4、1/2、3/4處分別受正/余弦函數(shù)形式的外部激勵，見圖2。

圖2 振動模型

記k=T/L,振動方程為：

其中：系統(tǒng)參數(shù)為：

參數(shù)k=2,m=1,ω=3，系統(tǒng)初始值為：

將方程降階后獲得與式(10)相同形式：

上式初始條件為：x(0)=0,y(0)=0。

為顯示算法精度，在每個時間段分別將非齊次項近似為常數(shù)及一、二次多項式，取Δt=0.01，n=10，遞推計算100步，以常微分方程組的小步長精細(xì)積分解為參考計算各算法誤差：

該參考解精度已達10-15量級。各算法絕對誤差見圖3。由圖3看出，計算精度隨近似階的提高顯著提高。

圖3 絕對誤差

為顯示快速算法的高效性，分別用MATLAB的ode45函數(shù)、經(jīng)典増維精細(xì)積分法與快速算法求解該動力系統(tǒng)。ode45精度設(shè)置為10-6。經(jīng)典増維精細(xì)積分法與快速算法均將非齊次項近似為二次多項式，時間步長為0.01。表2為n(計算規(guī)模為2(4n+3))取不同值時用三種方法在時間方向遞推計算5 s的時間消耗。由表2可得與算例1相同結(jié)論。若時間方向遞推時間少于5 s，則ode45計算時間少于快速算法。限于篇幅，不進行時間對比。因此，快速算法適合大規(guī)模動力系統(tǒng)長時間遞推計算。

表2 計算時間對比(單位 s)

4 結(jié) 論

(1)本文通過將非齊次項近似為關(guān)于時間的高階多項式，形成高精度増維精細(xì)積分方法，提高増維精細(xì)積分方法求解動力系統(tǒng)精度；推導(dǎo)出高精度増維精細(xì)積分方法的快速算法計算公式，獲得與已有文獻相同結(jié)果。快速算法與動力系統(tǒng)物理特性無關(guān)，具有一般性。

(2)通過求解計算規(guī)?？烧{(diào)節(jié)的動力學(xué)問題，對比MATLAB ode45、快速算法與經(jīng)典増維精細(xì)積分方法計算時間表明，所提快速算法具有高精度性、高效性，適合大規(guī)模結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題長時間推進計算。

參 考 文 獻

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