基于LMI的旋轉(zhuǎn)起重機(jī)魯棒控制器設(shè)計(jì)

歐陽(yáng)慧珉， 佐野滋則， 內(nèi)山直樹， 張廣明， 王德明， 梅 磊

(1. 南京工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院,南京 211816；2. 日本豐橋技術(shù)科學(xué)大學(xué) 機(jī)械工程系,豐橋 441-8580)

起重機(jī)系統(tǒng)被廣泛地應(yīng)用于各種工業(yè)場(chǎng)所，例如建筑工地，港口，鐵路站場(chǎng)以及其他地方。起重機(jī)應(yīng)該實(shí)現(xiàn)迅速地運(yùn)輸荷載到指定的位置而不產(chǎn)生多余的擺動(dòng)。然而，旋臂的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)會(huì)使荷載產(chǎn)生一個(gè)二維擺角；因此，操作人員必須具備很高的熟練度來(lái)控制起重機(jī)使得荷載迅速而準(zhǔn)確地到達(dá)指定位置。操作上的失誤會(huì)造成事故，人員傷亡以及破壞周圍的環(huán)境。

為了減輕操作人員的負(fù)擔(dān)以及提高他們工作的安全性，許多研究人員已經(jīng)為起重機(jī)系統(tǒng)開發(fā)了各種各樣的控制方式。這些方法主要可以分為兩種類型：一種是閉環(huán)控制，即利用由傳感器系統(tǒng)測(cè)量到的擺角信息實(shí)現(xiàn)消擺控制。Nakazono等[1-2]提出了一種基于遺傳算法的神經(jīng)網(wǎng)路控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)起重機(jī)的消擺控制。曹玲芝等[3]針對(duì)橋式起重機(jī)的小車定位和負(fù)載擺動(dòng)控制問(wèn)題提出了一種模糊滑?？刂品椒āＡ硪环N是開環(huán)控制，即不需要擺角信息的軌道生成法。Terashima等[4-5]提出了一種基于坐標(biāo)變換的旋轉(zhuǎn)起重機(jī)直線搬送最優(yōu)控制方法。Maleki等[6]提出了一種輸入整形控制法實(shí)現(xiàn)起重機(jī)的消擺控制。在上述兩類控制方式中，前者可以實(shí)現(xiàn)對(duì)起重機(jī)系統(tǒng)的魯棒控制，相反，后者一般只適合于不考慮外部干擾的理想系統(tǒng)，它們很難實(shí)現(xiàn)較好的戶外性能。因此，閉環(huán)控制方式常常被應(yīng)用到實(shí)際的起重機(jī)控制系統(tǒng)中。

然而，在現(xiàn)存的大多數(shù)研究中沒(méi)有對(duì)控制器關(guān)于懸繩長(zhǎng)度變化的魯棒性解析[1-6]。如果在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)考慮到繩長(zhǎng)變化所帶來(lái)的影響，就可以容易地操作起重機(jī)且無(wú)需測(cè)量繩長(zhǎng)的傳感器系統(tǒng)，從而大大地簡(jiǎn)化起重機(jī)結(jié)構(gòu)和降低其安裝成本。本研究的目的就在于提出一種魯棒控制方法來(lái)解決上述問(wèn)題。

由于所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)對(duì)于如關(guān)節(jié)間摩擦，荷載質(zhì)量以及旋臂的轉(zhuǎn)速等參數(shù)的變化必需具有魯棒性，因此首先基于干擾觀測(cè)器導(dǎo)出起重機(jī)的線性模型。其次，設(shè)計(jì)一個(gè)含有積分器的狀態(tài)反饋控制器從而實(shí)現(xiàn)在給定繩長(zhǎng)變化范圍的情況下的魯棒控制。所提出的控制系統(tǒng)滿足閉環(huán)極點(diǎn)配置和最優(yōu)化控制的約束條件。這些條件可以用線性矩陣不等式(LMI)表示[7]，而控制器增益則可由LMI最優(yōu)化算法求出。最后，比較仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 旋轉(zhuǎn)起重機(jī)模型

在如圖1所示的旋轉(zhuǎn)起重機(jī)模型中，θ1,θ2分別表示旋臂起伏運(yùn)動(dòng)平面的擺角和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)平面的切線方向的擺角；θ3,θ4分別表示旋臂的起伏角和旋轉(zhuǎn)角；L,l分別表示旋臂長(zhǎng)度和懸繩長(zhǎng)度；x,y,z表示荷載的三維空間位置。

圖1 旋轉(zhuǎn)起重機(jī)模型

假設(shè)旋轉(zhuǎn)起重機(jī)模型具有以下特性：

(1)荷載可以看作是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，且懸繩的扭力可以忽略不計(jì)。

(2)旋臂的起伏角和旋轉(zhuǎn)角以及它們的角速度；兩個(gè)方向的擺角以及它們的角速度都可測(cè)量。

(3)由于擺角θi很小，因此sinθi=θi和cosθi=1 (i=1,2)成立。

旋臂的起伏運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可由下式表示：

(1)

式中:Ji+2,di+2,Ki+2,ui+2分別表示旋臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，包含非線性力的系統(tǒng)外部干擾，系統(tǒng)參數(shù)以及指令電壓。式(1)假設(shè)旋臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ji+2是常量，其變化部分可看作是系統(tǒng)外部干擾并包含于di+2。

為了補(bǔ)償系統(tǒng)外部干擾的影響，將以下所示干擾觀測(cè)器(DOB)應(yīng)用于式(1)：

(2)

式中:s,vi+2,ωi+2分別表示微分算子，由反饋控制器算出的新控制輸入以及低通濾波器(LPF)的截止角頻率。該控制系統(tǒng)的方框圖如圖2所示。起重機(jī)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性在低頻區(qū)域可表示為下式：

(3)

圖2 含有干擾觀測(cè)器控制系統(tǒng)

另一方面，根據(jù)拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程懸繩和荷載組成的振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可由下式表示：

(4)

(5)

式中:g表示重力加速度。

起重機(jī)系統(tǒng)變量及其時(shí)間導(dǎo)數(shù)分別如下所示：

(6)

在這種情況下，起重機(jī)線性模型如下所示：

(7)

式中:ξ=g/l,γ1=Lsinθ3f/l,γ2=Lcosθ3f/l。

2 魯棒控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)提出一種基于LMI的控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)給定繩長(zhǎng)變化范圍的魯棒控制。

2.1 穩(wěn)定范圍的LMI表現(xiàn)

(8)

式中:θ,α,β都是正實(shí)數(shù)，X是對(duì)稱矩陣。

圖3 穩(wěn)定區(qū)域

2.2 含有積分器的狀態(tài)反饋控制器

考慮如下含有積分器的起重機(jī)線性控制系統(tǒng)：

(9)

由此可得到閉環(huán)控制系統(tǒng)如下所示：

(10)

其控制器增益可由極點(diǎn)配置法和最優(yōu)化算法求得。

2.3 極點(diǎn)配置問(wèn)題的LMI表現(xiàn)

本小節(jié)將基于LMI對(duì)極點(diǎn)配置問(wèn)題進(jìn)行公式化。如果式(10)所示系統(tǒng)的全部極點(diǎn)都配置在圖3所示區(qū)域，那么該系統(tǒng)就穩(wěn)定。因此，本問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為尋找合適的X,Mi使得以下的方程成立：

(11)

2.4 最優(yōu)化問(wèn)題的LMI表現(xiàn)

考慮以下變量和性能指標(biāo)J[7]：

(12)

(13)

2.5 控制器設(shè)計(jì)

將上述兩個(gè)問(wèn)題結(jié)合起來(lái)設(shè)計(jì)控制器。

令X=X2,Mi=Mi2，可得：

(15)

(16)

上述問(wèn)題可由LMI最優(yōu)化算法求解[8]。

2.6 魯棒性分析

本小節(jié)將驗(yàn)證如果式(10)所示系統(tǒng)在所給繩長(zhǎng)變化范圍的兩端能滿足2.3節(jié)中所述極點(diǎn)配置的條件，那么對(duì)于在該范圍內(nèi)任意繩長(zhǎng)來(lái)說(shuō)該系統(tǒng)都能滿足所給條件。

假設(shè)繩長(zhǎng)變化范圍是l∈[l1,l2]，可得：

(17)

式中:φ1+φ2=1,φ1,φ2>0。

此時(shí)，式(10)所示系統(tǒng)可表示為下式：

(18)

式中:ξi=g/li,γi1=Lsinθ3f/l1,γi2=Lcosθ3f/l2。

因此，式(11)所示條件可表示為下式：

(19)

(20)

3 仿真與實(shí)驗(yàn)

3.1 目標(biāo)軌道

為了驗(yàn)證本文中所提方法的有效性，使用如下所示初始和最終位置的加速度都為零且廣泛地應(yīng)用于各種工業(yè)場(chǎng)合的擺線作為起伏角和旋轉(zhuǎn)角的目標(biāo)軌道。

(21)

式中:θq0,θqf,ts,tf分別表示初始角度，最終角度，調(diào)節(jié)時(shí)間，終了時(shí)間。在本文中，各參數(shù)分別設(shè)定為θ30=30° ,θ3f=50°,θ40=0°,θ4f=45°,ts=3 s,tf=10 s。

3.2 仿真與實(shí)驗(yàn)條件

由于式(10)所示閉合系統(tǒng)可以近似看成一個(gè)2次系統(tǒng)，而對(duì)于位置控制而言，該2次系統(tǒng)的阻尼系數(shù)ζ一般可設(shè)計(jì)在0.2～0.4之間[9]，因此參數(shù)θ可根據(jù)θ=cos-1ζ求得。又因?yàn)檎{(diào)節(jié)時(shí)間ts=3 s，所以固有角頻率ωn可根據(jù)文獻(xiàn)[9]求得。因此，參數(shù)α,β=ζωn。在本研究中，圖3所示穩(wěn)定區(qū)域各參數(shù)θ=78°,α=1,β=30；再應(yīng)用試湊法設(shè)定Qi=diag{1 500,315,1 500,315,50},Ri=1?？刂破髟鲆嬗蒐MI最優(yōu)化算法求出并如下所示：

(22)

3.3 干擾抑制

圖4 干擾觀測(cè)器對(duì)關(guān)節(jié)摩擦抑制效果

本小節(jié)通過(guò)仿真來(lái)驗(yàn)證干擾觀測(cè)器對(duì)關(guān)節(jié)摩擦，荷載質(zhì)量以及旋臂旋轉(zhuǎn)速度等參數(shù)變化的魯棒性。首先，考慮關(guān)節(jié)摩擦對(duì)系統(tǒng)的影響，其仿真結(jié)果如圖4所示，其中起伏角θ3和旋轉(zhuǎn)角θ4的定常誤差都得到很好的改善。其次，考慮荷載質(zhì)量變化對(duì)系統(tǒng)的影響，其結(jié)果如圖5所示。在該仿真中，不考慮關(guān)節(jié)摩擦的影響。同樣起伏角θ3和旋轉(zhuǎn)角θ4的跟蹤特性沒(méi)有因?yàn)楹奢d質(zhì)量大幅地變化而變化。最后，考慮旋臂旋轉(zhuǎn)速度變化對(duì)系統(tǒng)的影響，其結(jié)果如圖6和圖7所示，并得到了與圖5大致相同的結(jié)果。

3.4 比較仿真

本小節(jié)通過(guò)比較仿真來(lái)驗(yàn)證新方法的有效性。在該仿真中，對(duì)于特定的系統(tǒng)(即l=0.5 m時(shí)作為公稱模型)，其控制器仍然采用含有積分器的狀態(tài)反饋控制，只是控制器增益由基于主極點(diǎn)的極點(diǎn)配置方法求得。由于該系統(tǒng)可以近似地看為一個(gè)2次系統(tǒng)，根據(jù)最優(yōu)阻尼系數(shù)理論，設(shè)定該系統(tǒng)的主極點(diǎn)為-1.5±j1.5(1/s)，而非主極點(diǎn)則盡量以不影響控制性能，即其實(shí)部

為主極點(diǎn)實(shí)部的6倍以上，為原則設(shè)定為-10±j1.5(1/s),-10(1/s)。此時(shí)所得控制器增益如下所示：

(23)

其仿真結(jié)果如圖8所示。然后，在不改變控制器增益的情況下，繩長(zhǎng)l分別為0.25 m和0.75 m時(shí)的結(jié)果如圖9和圖10所示。雖然圖8和圖10都得到很好的旋臂跟蹤特性以及擺角抑制特性，但是當(dāng)繩長(zhǎng)l為0.25 m時(shí)該控制系統(tǒng)則變成了不穩(wěn)定系統(tǒng)。

(a) 起伏角θ3 (b) 旋轉(zhuǎn)角θ4 (c) 擺角θ1 (d) 擺角θ2

(a) 起伏角θ3 (b) 旋轉(zhuǎn)角θ4 (c) 擺角θ1 (d) 擺角θ2

(a) 起伏角θ3 (b) 旋轉(zhuǎn)角θ4 (c) 擺角θ1 (d) 擺角θ2

(a) 起伏角θ3 (b) 旋轉(zhuǎn)角θ4 (c) 擺角θ1 (d) 擺角θ2

(a) 起伏角θ3 (b) 旋轉(zhuǎn)角θ4 (c) 擺角θ1 (d) 擺角θ2

(a) 起伏角θ3 (b) 旋轉(zhuǎn)角θ4 (c) 擺角θ1 (d) 擺角θ2

圖11 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

圖12 測(cè)量擺角的傳感器系統(tǒng)

3.5 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

如圖11所示的系統(tǒng)由驅(qū)動(dòng)旋臂起伏和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)同樣規(guī)格的直流電動(dòng)機(jī)，旋臂，懸繩，荷載以及測(cè)量擺角的電位計(jì)等部分構(gòu)成。起伏角和旋轉(zhuǎn)角可由旋轉(zhuǎn)編碼器測(cè)得，其角度測(cè)量分辨率為1.8×10-3deg。

測(cè)量擺角的傳感器系統(tǒng)如圖12所示。測(cè)量起伏方向擺角θ1的電位計(jì)1固定在旋臂上。測(cè)量旋轉(zhuǎn)方向擺角θ2的電位計(jì)2固定在部件1上，并圍繞電位計(jì)1的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)。部件2和長(zhǎng)桿共同圍繞電位計(jì)2的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)。部件3相對(duì)于長(zhǎng)桿，部件4相對(duì)于部件3分別旋轉(zhuǎn)。部件4可沿著懸繩滑動(dòng)。其角度測(cè)量分辨率為6.4×10-2deg。

表1 起重機(jī)參數(shù)

另外，該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的各主要參數(shù)如表1所示。其中Ji+2,Ki+2(i=1,2)由電機(jī)特性測(cè)試實(shí)驗(yàn)所得；L,m為硬件設(shè)計(jì)參數(shù)；l1,l2由直尺測(cè)量所得。

3.6 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本小節(jié)通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證新方法的有效性，設(shè)繩長(zhǎng)l分別為0.25 m,0.5 m,0.75 m，其結(jié)果如圖13～圖15所示。雖然在圖13(a)～圖15(a)和圖13(b)～ 圖15(b)中存在一點(diǎn)超調(diào)，但是在圖13(c)～圖15(c)和圖13(d)～圖15(d)中的擺角都得到很好的抑制，并且實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果基本保持一致。

(a) 起伏角θ3 (b) 旋轉(zhuǎn)角θ4 (c) 擺角θ1 (d) 擺角θ2

(a) 起伏角θ3 (b) 旋轉(zhuǎn)角θ4 (c) 擺角θ1 (d) 擺角θ2

(a) 起伏角θ3 (b) 旋轉(zhuǎn)角θ4 (c) 擺角θ1 (d) 擺角θ2

4 結(jié) 論

本文為了實(shí)現(xiàn)起重機(jī)系統(tǒng)關(guān)于繩長(zhǎng)變化的魯棒控制，首先基于干擾觀測(cè)器導(dǎo)出了起重機(jī)的線性模型。然后，提出了含有積分器的狀態(tài)反饋控制器，其增益通過(guò)LMI最優(yōu)算法求解極點(diǎn)配置和最優(yōu)化問(wèn)題得出。該方法的優(yōu)點(diǎn)在于，當(dāng)給定繩長(zhǎng)變化范圍時(shí)，只需要解析在該范圍兩端的特性就能保證其對(duì)于整體的魯棒性，大大降低了控制器設(shè)計(jì)的難度。最后通過(guò)比較仿真以及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。

然而，在該方法中同時(shí)使用了旋臂的起伏運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)控制擺角。實(shí)際上，旋臂的起伏運(yùn)動(dòng)是用來(lái)對(duì)抗重力的，因此從節(jié)能和安全的觀點(diǎn)出發(fā)，將提出只利用旋臂旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)擺角抑制控制的方法。

參 考 文 獻(xiàn)

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