懸掛式人行橋基頻估算及考慮車致振動效應的行人舒適性評價

馬如進， 田 雨， 陳艾榮

(同濟大學 橋梁工程系，上海 200092)

對于橋下凈空較高的城市跨線橋梁，為了減少行人的爬坡高度及長度，同時需控制人行橋的橋面標高，這時可采用將人行與車行分離的方案，主橋僅滿足車行功能，利用主橋較高的梁下凈空在其下方設置專用人行橋滿足人行功能。將人行橋作為車行橋的懸掛結(jié)構(gòu)，形成一個組合式橋梁，解決人車通行問題，這種結(jié)構(gòu)形式的優(yōu)點有：①降低了人行橋橋面標高及行人爬坡高度；②人行橋依靠車行橋提供支撐，可降低自重及材料用量；③可先施工車行橋，再施工懸掛式人行橋，施工便捷。

將人行橋作為車行橋的懸掛結(jié)構(gòu)，在國內(nèi)尚無應用先例。人行橋通過吊桿與車行橋相連，兩橋之間具有聯(lián)動效應，結(jié)構(gòu)的動力特性必然由車行橋與人行橋共同決定。由于人行橋的動力特性尤其是自振頻率對其行人舒適性有重要影響[1-3]，因此確定懸掛式人行橋的自振頻率是非常重要的。雖然可以通過有限元方法得到較精確的結(jié)果，但是如采用簡便實用的估算方法獲得結(jié)構(gòu)基頻從概念上對行人舒適性的優(yōu)劣進行判斷仍然重要。另一方面，由于車行橋的振動會通過吊桿傳遞給人行橋，因此懸掛式人行橋的行人舒適性評價中不僅需要考慮人行激勵下的振動響應，還需考慮車致振動效應對行人舒適性的影響。因此，有必要針對考慮車致振動效應的懸掛式人行橋行人舒適性評價開展研究。

目前對于多種常見大型橋型固有振動頻率估算方面的研究已經(jīng)較為成熟[4-5]，但對于懸掛式人行橋這一新型結(jié)構(gòu)形式并無針對性分析。此外，現(xiàn)代車橋振動分析理論以采用更加接近真實的車輛模型和將橋梁理想化為多質(zhì)量的有限元理論為主要特點，同時考慮路面粗糙度對車輛動力效應的影響，在此基礎上對多種橋型的車橋振動問題的研究已有相當?shù)某晒鸞6-7]，但對于將人行橋懸掛于車行橋下的這一結(jié)構(gòu)形式亦無針對性的分析。

本文根據(jù)能量原理推導了簡支懸掛式人行橋豎彎及側(cè)彎振動基頻估算公式，公式給出了車行橋與人行橋的剛度比及質(zhì)量比對結(jié)構(gòu)自振頻率的影響規(guī)律，并通過有限元計算結(jié)果進行了驗證；利用分離迭代車橋耦合振動數(shù)值分析方法，對一座大跨度懸掛式人行橋的工程實例開展了車致振動效應評價，研究表明車行橋路面粗糙度、車速、車流密度對懸掛式人行橋的振動有很大影響，在懸掛式人行橋與車行主橋的剛度比很小的情況下，考慮車行橋隨機車流通過時，下懸人行橋的振動加速度峰值會略大于車行橋，并達到僅人行激勵引起的加速度峰值的一半以上，懸掛式人行橋的行人舒適性評價中應考慮車致振動效應的影響。

1 懸掛式人行橋基頻估算

將人行橋作為車行橋的懸掛結(jié)構(gòu)，形成一個組合式橋梁，如圖1所示，車行橋與人行橋均為單跨等截面簡支梁。

圖1 簡支懸掛式人行橋

1.1 豎彎振動基頻

車行橋通過吊桿對人行橋提供豎向剛度，所以人行橋的豎彎振動頻率很大程度上受到車行橋的影響，計算時必須將車行橋與人行橋一起考慮。假設低階豎彎振動時吊桿不伸縮且保持豎直，吊桿順橋向布置足夠密集，車行橋與人行橋的豎彎可用相同的位移函數(shù)η(x,t)表示，則豎彎振動時總應變能為：

(1)

豎彎振動時總動能為：

(2)

式中，L為橋梁長度；E1I1、E2I2分別為車行橋與人行橋的豎向抗彎剛度；m1、m2分別為車行橋與人行橋的順橋向質(zhì)量線密度；β1=E2I2/E1I1為人行橋與車行橋的剛度比系數(shù)，β2=m2/m1為人行橋與車行橋的質(zhì)量比系數(shù)。

將豎彎振動位移函數(shù)表示為：

η(x,t)=Aψ(x)sin(ωt+θ)

(3)

ψ(x)為滿足邊界條件的近似振型函數(shù)。將式(3)代入式(1)、式(2)，使最大勢能等于最大動能，即Vmax=Tmax，得出懸掛式人行橋豎彎振動頻率為：

f=γ·f1

(4)

其中

(5)

(6)

式中，γ是量綱為1的系數(shù)，f1為僅車行橋自身豎彎振動的頻率。

取一階豎彎振型ψ(x)為正弦曲線，則有懸掛式人行橋豎彎振動基頻為：

(7)

可見，懸掛式人行橋豎彎振動基頻可以視為僅車行橋自身豎彎振動的基頻f1乘以一個系數(shù)γ，γ由人行橋與車行橋的剛度比及質(zhì)量比決定，見式(5)。由于這種結(jié)構(gòu)形式是由車行橋通過吊桿對人行橋提供支撐，因此系數(shù)γ是一個小于1的折減系數(shù)。

1.2 側(cè)彎振動基頻

懸掛式人行橋側(cè)彎振動時，車行橋?qū)θ诵袠虻募s束很小，人行橋的側(cè)彎振動可以看成單跨簡支梁的橫向振動，基頻為

(8)

式中E2I2H為人行橋主梁的橫向抗彎剛度。

1.3 算例比較

給出兩算例，橋梁跨徑均為88 m；均采用相同的鋼主梁人行橋，主梁截面參數(shù)A=0.5 m2，Iz=0.08 m4，Iy=3.86 m4；算例1中車行橋采用預應力混凝土主梁，主梁截面參數(shù)A=28 m2，Iz=120 m4，Iy=3 950 m4；算例2中車行橋采用鋼主梁，主梁截面參數(shù)A=2 m2，Iz=4.44 m4，Iy=229 m4。兩算例的本文公式結(jié)果及有限元分析結(jié)果列于表 1。

表1 本文公式結(jié)果與有限元分析結(jié)果對比

可以看出，本文公式估算結(jié)果與有限元計算結(jié)果非常接近，用本文公式可快速估算懸掛式人行橋基頻并具有很好的精度。

以上兩算例中車行橋自身豎彎基頻基本相同且采用相同的人行橋，但算例2中懸掛式人行橋豎彎基頻明顯小于算例1中的值，這是由于兩算例中剛度比β1及質(zhì)量比β2有差別導致折減系數(shù)γ不同。由于懸掛式人行橋需要車行橋來提供豎向支撐，所以一般情況下人行橋與車行橋的剛度比將明顯小于質(zhì)量比，折減系數(shù)小于1。但對于不同的人行橋與車行橋的剛度比和質(zhì)量比，折減系數(shù)會有較大差異。多數(shù)情況下車行主橋的剛度和質(zhì)量都遠高于人行橋，這時懸掛式人行橋的豎彎基頻將比較接近車行橋自身的豎彎基頻，但接近程度受式(5)所定義的折減系數(shù)的影響。此外兩算例中人行橋側(cè)彎基頻相同，這也印證了人行橋側(cè)彎基頻只由其自身特性決定，與車行橋無關(guān)。

2 車橋耦合振動分析方法

2.1 路面粗糙度模型

路面粗糙度是引起車輛振動的主要激勵源，常表達為功率譜密度函數(shù)的隨機過程模擬，由Dodds和Robson提出的公路路面粗糙度PSD函數(shù)為[8]：

(9)

2.2 車輛橋梁空間耦合關(guān)系

2.2.1 幾何耦合關(guān)系

車輛和橋梁在車輪與橋面接觸處具有相同的豎向位移，橋梁的豎向變形對于車輛而言相當于附加路面粗糙度，橋梁變形引起的附加路面粗糙度和路面粗糙度進行疊加形成等效粗糙度，將等效粗糙度作為豎向激勵源進行輸入。橋梁側(cè)向和扭轉(zhuǎn)振動對車輛動力響應的影響主要通過將橋梁側(cè)向加速度和扭轉(zhuǎn)加速度作為基礎激勵對車輛模型進行輸入。

若第i個車輪與橋面接觸點位置處的路面粗糙度為rci(x)，則考慮橋梁位移后的第i個車輪處的豎向等效粗糙度、側(cè)向加速度和扭轉(zhuǎn)加速度分別為

Zci=rci(x)+wb+eiθxb

(10)

(11)

(12)

式中：wb、vb分別是車輪與橋面接觸點處橋梁截面豎向及側(cè)向位移；ei、hi分別為橋梁截面形心至車輪與橋面接觸點位置的水平距離和豎直距離；θxb為橋梁截面繞其形心的轉(zhuǎn)角。

2.2.2 力學耦合關(guān)系

車輪施加給橋面的豎向力由下式得到：

(13)

式中，Clzi，Klzi為第i個車輪對應的阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)；Zci為第i個車輪與橋面接觸點處的等效粗糙度；Zsi為車體在第i個車輪處的位移；FGi為第i個車輪的分擔的重力。

2.3 車橋系統(tǒng)運動方程求解及程序?qū)崿F(xiàn)

橋梁及車輛的運動方程可分別表示為

(14)

(15)

式中，F(xiàn)bg和Fvg分別是作用在橋梁和車輛的與橋梁車輛的運動無關(guān)的荷載(如自重)；Fvb,Fbv分別表示車-橋系統(tǒng)間的相互作用力。

車橋系統(tǒng)運動方程的求解采用分離迭代法，具體求解步驟見文獻[9]。

3 人行橋行人舒適性評價標準

人行橋行人舒適性評價可概括為：一定荷載作用下人行橋的振動響應是否滿足人體的舒適度要求。目前最常用的是根據(jù)一定形式的加速度指標所處的范圍來確定人的振感進而評價舒適性。

德國人行橋設計指南EN03[12]吸收了2000年以來的新的研究成果，規(guī)定行人舒適性的標準由人行橋的峰值加速度來表示，推薦了4個舒適性級別，見表2。

表2 EN03中舒適性標準[12]

本文將依據(jù)BS 5400、EN 1990和EN03中規(guī)定的標準評價懸掛式人行橋的行人舒適性。

4 工程實例

國內(nèi)首座在建懸掛于車行橋下的人行橋，結(jié)構(gòu)立面及斷面見圖2。車行橋為58 m+94 m+58 m跨徑的變截面預應力混凝土連續(xù)箱梁橋，其主梁由兩幅單箱雙室箱梁組成，采用吊桿懸掛鋼箱主梁人行橋，人行橋跨徑為94 m。

圖2 橋梁立面及斷面圖

4.1 動力特性

建立結(jié)構(gòu)空間有限元模型，分析其動力特性，得出各階頻率及振型，如表 3所示，可以看出，全橋結(jié)構(gòu)的多數(shù)振型都包含車行橋的振動，且車行橋的振動又會耦合懸掛式人行橋的振動，顯示出這種結(jié)構(gòu)形式車行橋與人行橋之間具有明顯的聯(lián)動效應。結(jié)果表明，懸掛式人行橋豎彎基頻為1.3 Hz，低于但非常接近車行橋自身的豎彎基頻1.317 7 Hz，側(cè)彎頻率不受車行橋影響。該橋動力特性分析所得結(jié)果與前文所得出的規(guī)律相互吻合。

表3 結(jié)構(gòu)部分振型及頻率

4.2 車輛荷載作用下橋梁振動響應

4.2.1 重車并行通過時的橋梁響應

考慮沿車行橋橋面每個車道中心線行駛30噸重車，并行勻速行駛。給定不同的車速40 km/h，60 km/h，80 km/h，100 km/h，不同的路面狀況“路面好”與“路面差”，其中“路面好”和“路面差”分別對應于ISO規(guī)范中“非常好”和“一般”的路面粗糙度。將四種車速和兩種路面狀況組合，分別計算這八個工況的重車并行通過時的橋梁振動響應。根據(jù)計算結(jié)果，繪出重車并行通過時橋梁跨中豎向位移及加速度峰值隨車速變化的曲線，見圖3。所有工況的橋梁橫橋向振動響應都極小，本文未做討論。

圖3 重車并行通過時車行橋與人行橋跨中振動響應峰值與車速的關(guān)系

可以看出，路面粗糙度對車致振動效應的影響很大，“路面差”的情況下車致振動效應明顯大于“路面好”的情況。橋梁跨中的響應并非隨著車速的增加而增大，總體而言，車速為60 km/h時的橋梁動力響應大于其他車速時的響應，這主要由于在60 km/h車速時，車橋系統(tǒng)更易發(fā)生共振。人行橋與車行橋響應峰值之比基本不隨車速而變，各工況人行橋響應峰值均明顯小于車行橋。

重車并行通過橋梁的8個工況中，車速60 km/h、“路面差”條件下橋梁的動力響應最大，此時車行橋與人行橋的跨中豎向位移峰值分別為2.29 mm和1.89 mm，跨中豎向加速度峰值分別為0.556 m/s2和0.425 m/s2，跨中豎向位移時程見圖4。

圖4 跨中豎向位移時程(重車并行、車速60 km/h、路面差)

從響應時程曲線能夠看出，人行橋的振動與車行橋的振動具有較高的同步性。雖然振動響應時程顯示出人行橋的振動響應在有些時段會大于車行橋，但各工況人行橋響應峰值均小于車行橋。所以可以認為，重車并行通過時，此懸掛式人行橋并沒有放大車行橋的車致振動效應。

4.2.2 隨機車流通過時的橋梁響應

模擬了“稀疏車流”和“密集車流”兩種隨機車流樣本，并同時考慮“路面好”與“路面差”兩種路面狀況，將兩種隨機車流樣本和兩種路面狀況組合，分別計算這四個工況的隨機車流通過時的橋梁響應。結(jié)果表明四個工況中，“密集車流”、“路面差”條件下橋梁的動力響應最大，此時車行橋與人行橋的跨中豎向加速度峰值分別為0.342 m/s2和0.359 m/s2，跨中豎向加速度時程見圖5。

圖5 跨中豎向加速度時程(密集車流，路面差)

從響應的時程曲線能夠看出，隨機車流通過時人行橋的振動與車行橋的振動仍然具有較高的同步性。人行橋的振動響應在某些時段大于車行橋，且人行橋跨中豎向加速度峰值略大于車行橋。所以當考慮實際運營狀態(tài)的隨機車流通過時，此懸掛式人行橋可能會放大車行橋的車致振動效應，但放大的幅度較小。

4.2.3 橋梁振動響應的頻譜分析

車橋耦合振動的分析是在時間域內(nèi)進行的，得到的是橋梁振動響應的時域結(jié)果。將響應的時間歷程轉(zhuǎn)換為頻域內(nèi)的功率譜密度函數(shù)，得到振動響應的功率譜密度值-頻率值的關(guān)系曲線。

圖6 橋梁跨中豎向加速度功率譜密度(重車并行，路面差)

圖7 橋梁跨中豎向加速度功率譜密度(密集的隨機車流)

通過橋梁車致振動響應時域結(jié)果的頻譜分析可以發(fā)現(xiàn)，人行橋與車行橋的振動響應隨頻率的能量分布具有很高的一致性。有些工況中人行橋的加速度功率譜密度值在部分頻段內(nèi)高于車行橋，這從頻域的角度說明某些工況中會出現(xiàn)人行橋的振動響應大于車行橋的情況。

4.3 考慮車致振動效應的行人舒適性評價

重車并行通過和隨機車流通過，人行橋跨中豎向峰值加速度最大分別為0.425 m/s2和0.359 m/s2，分別達到了僅人行激勵引起的豎向加速度峰值的62%和52%?？梢?，其行人舒適性評價中應考慮車致振動效應的影響。由于此懸掛式人行橋僅在人行激勵作用下其豎向加速度峰值已經(jīng)較大，略高于或者接近于規(guī)范中規(guī)定的舒適度限值，所以進一步考慮車致振動效應的影響后此橋行人舒適性不滿足要求。

5 結(jié) 論

(1)推導了懸掛式人行橋基頻估算公式并通過有限元計算驗證了其精度。研究表明，懸掛式人行橋豎彎基頻一般情況下比較接近為其提供豎向支撐的車行橋自身的豎彎基頻，但接近程度受到由人行橋與車行橋的剛度比和質(zhì)量比所定義的折減系數(shù)的影響。

(2)引入車輪與橋面接觸處的位移協(xié)調(diào)條件與車橋相互作用力的平衡關(guān)系，分別求解車輛與橋梁的運動方程，采用分離迭代法計算了某大跨度懸掛式人行橋車橋系統(tǒng)的響應，并對計算結(jié)果進行了頻譜分析。結(jié)果表明車輛激勵下人行橋的振動與車行橋的振動具有較高的同步性，路面粗糙度、車速、車流密度都會顯著影響車輛通過時橋梁的動力響應，當考慮實際運營狀態(tài)的隨機車流通過時，懸掛式人行橋可能會輕微放大車行橋的車致振動效應。

(3)研究表明，車行橋車致振動效應引起的人行橋跨中豎向峰值加速度可達到僅人行激勵引起的峰值加速度的一半以上，對于這種懸掛于車行橋之下的人行橋，其行人舒適性評價中應考慮車致振動效應的影響，且車致振動效應會降低其行人舒適性。

參 考 文 獻

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