二次規(guī)劃問題的時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的全局指數(shù)穩(wěn)定

(燕山大學(xué)理學(xué)院，秦皇島 066004 中國)

1986年,Tank等[1]首次提出了解決線性規(guī)劃問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)概念。 為保證網(wǎng)絡(luò)收斂, Kennedy等[2-3]提出了改進的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型, 但只能得到近似解。基于對偶和映射理論, Xia等[4-6]提出了多種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以精確求解二次規(guī)劃問題。 文獻[7]提出了利用線性投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決二次規(guī)劃問題，當M正定時，線性投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在平衡點是全局漸近穩(wěn)定和全局指數(shù)穩(wěn)定的。文獻[8-10]提出了利用時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決二次規(guī)劃問題，文獻[11-12]提出用2個中立型時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解二次規(guī)劃問題。

本文是對時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型求解二次規(guī)劃問題的推廣，此時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)沒有罰參數(shù)和拉格朗日乘子，并給出了判斷模型全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，它可以用于解決二次規(guī)劃問題。

1 模型及預(yù)備知識

考慮如下凸二次規(guī)劃問題：

(1)

其中：M是正定矩陣；A∈Rm×n是行滿秩矩陣。

假設(shè)可行域x={x∈Rn|Ax=b，x≥0}非空且(1)存在最優(yōu)解，下列2個投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以解決問題(1)：

(2)

(3)

其中：x(t)=φ(t),t∈[t0-τ,t0]；α是大于零的常量；τ≥0表示傳輸延遲；投影算子PΩ:Rn→Ω定義為

(4)

本文提出了1個新的時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型解決問題(1)：

(5)

其中：λ≥0是常數(shù)；x(t)=φ(t),t∈[t0-τ,t0]；α是大于零的常量；τ≥0表示傳輸延遲；投影算子PΩ由(4)定義。

令Xe是(5)的平衡點，X*是(1)的最優(yōu)解，X*是(5)的平衡點當且僅當X*是(1)、(2)、(3)的平衡點，因此Xe=X*。

為了方便以后的討論，首先介紹一些定義和引理。

定義1[12]若對式(5)的任意初始點X0，?k>0,η>0，使得

‖x-x*‖≤k‖φ-x*‖exp(-η(t-t0)),?t≥t0成立，

其中‖φ(t0)-x*‖=supt0-τ≤t≤t0‖φ(t)-x*‖，則稱時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(5)在平衡點X*全局指數(shù)穩(wěn)定。

引理1[12]?x,y∈Rn，投影算子PΩ滿足不等式

‖PΩ(x)-PΩ(y)‖≤‖x-y‖，

(PΩ(x)-PΩ(y))T(x-y)≥(PΩ(x)-PΩ(y))T(PΩ(x)-PΩ(y))

引理2[12](Gronwall不等式)設(shè)X(t)和Y(t)是定義在區(qū)間{t:t≥t0}上的非負實值連續(xù)函數(shù)，a(t)=a0(|t-t0|)，其中a0(·)是單調(diào)遞增函數(shù)，若

引理3[13]?φ(t)∈C([-τ,0],Rn),若泛函微分方程(5)在區(qū)間[0,T]上存在滿足初始條件的唯一連續(xù)的解x(t)，并且x(t)在區(qū)間[0,T]上有界,則式(5)的解的存在區(qū)間可延拓到[0,+∞]上。

2 主要結(jié)果

定理1?φ(t)∈C([-τ,0],Rn),時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(5)在[0,+∞上存在唯一連續(xù)的解x(t)。

證明：令f(x(t))=-(1+λ)x(t)+λx(t-τ)+PΩ[(I-αM)x(t)-αq]+PΩ[(I-αM)x(t-τ)-αq]，則

?φ,φ∈C([-τ,0],Rn)，由引理1得

‖f(φ)-f(φ)‖≤‖φ-φ‖+2‖I-αM‖‖φ-φ‖≤(3+2α‖M‖)‖φ-φ‖

故f在C上Lipschitz連續(xù)。根據(jù)泛函微分方程解的存在性定理，(5)在區(qū)間[0,T]上存在滿足初始條件的唯一連續(xù)的解x(t)。設(shè)x*是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(5)的一個平衡點。則

‖f(x(t))‖=‖f(x(t))-f(x*)‖≤

(1+λ)‖x(t)-x*‖+λ‖x(t-τ)-x*‖+

‖PΩ((I-αM)x(t)-αq)-PΩ((I-αM)x*-

αq)‖+‖PΩ((I-αM)x(t-τ)-αq)-PΩ((I-

αM)x*-αq)‖≤(1+λ)‖x(t)-x*‖+λ‖x(t-

τ)-x*‖+‖I-αM‖‖x(t)-x*‖+‖I-

αM‖‖x(t-τ)-x*‖≤(1+λ)‖x(t)-x*‖+

λ‖x(t-τ)-x*‖+(I+α‖M‖)‖x(t)-

x*‖+(I+α‖M‖)‖x(t-τ)-x*‖≤(2+λ+

α‖M‖)‖x(t)-x*‖+(1+λ+α‖M‖)‖

x(t-τ)-x*‖≤(2+λ+α‖M‖)‖x(t)‖+(1+λ+α‖M‖)‖x(t-τ)‖+(3+2λ+

2α‖M‖)‖x*‖

α‖M‖)‖x(s)‖+(1+λ+α‖M‖)‖x(s-

τ)‖+(3+2λ+2α‖M‖)‖x*‖]ds≤

2α‖M‖)‖x*‖T+(3+2λ+

由引理2，得

‖x(t)‖≤[(1+(1+λ+α‖M‖)τ)‖φ‖+(3+2λ+2α‖M‖)‖x*‖T]e(3+2λ+2α‖M‖)t≤

[(1+(1+λ+α‖M‖)τ)‖φ‖+(3+2λ+2α‖M‖)‖x*‖T]e(3+2λ+2α‖M‖)T<∞，t∈[0,T)

即x(t)在區(qū)間[0,T]上有界。根據(jù)泛函微分方程連續(xù)性定理，(5)在區(qū)間[0,T]上存在滿足初始條件的唯一連續(xù)的解x(t)。

定理2令β=‖I-AT(AAT)-1A‖‖I-αM‖，若存在常數(shù)α>0,τ>0使得‖A‖e(1+λ)τ<1，e(1+λ)τ<2-β/4‖A‖+β，則時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(5)在平衡點X*全局指數(shù)穩(wěn)定。

證明：令x*是系統(tǒng)(5)的平衡點，則

λ(x(t-τ)-x*)+(PΩ((I-αM)x(t)-αq)-

PΩ((I-αM)x*-αq))+(PΩ((I-αM)x(t-τ)-αq)-PΩ((I-αM)x*-αq))=-(1+λ)(x(t)-x*)+λ(x(t-τ)-x*)+(I-AT(AAT)-1A)(g((I-αM)x(t)-αq)-g((I-αM)x*-αq))+(I-

AT(AAT)-1A)g((I-αM)x(t-τ)-αq)-g((I-αM)x*-αq))，由泛函微分方程的常數(shù)變易法，得

x(t)-x*=e-(1+λ)(t-t0)(φ(t0)-x*)+

AT(AAT)-1A)e-(1+λ)(t-s)(g((I-αM)x(s-

τ)-αq)-g((I-αM)x*-αq))ds

對?t，存在整數(shù)N>0使得(N-1)τ≤t-t0≤Nτ。由上面的方程對任意整數(shù)0≤i≤(N-1)有

AT(AAT)-1A)e-(1+λ)(t-iτ-s)(g((I-αM)x(s)-αq)-g((I-αM)x*-αq))ds+

令β=‖I-AT(AAT)-1A‖‖I-αM‖，可得

‖g(x)-g(y)‖≤‖x-y‖，下面有

‖x(t)-x*‖≤e-(1+λ)(t-t0)‖φ(t0)-x*‖+

AT(AAT)-1A‖e-(1+λ)(t-s)‖g((I-αM)x(s)-αq)-

AT(AAT)-1A‖e-(1+λ)(t-s)‖g((I-αM)x(s-τ)-

αq)-g((I-αM)x*-αq)‖ds=

AT(AAT)-1A‖e-(1+λ)(t-s)‖g((I-αM)x(s)-αq)-

AT(AAT)-1A‖e-(1+λ)(t-s)‖g((I-

αM)x(s-τ)-αq)-g((I-αM)x*-αq)‖ds≤

αM‖‖x(s)-x*‖e-(1+λ)(t-s)ds+

由Gronwall不等式得

e(1+λ)t‖x(t)-x*‖≤e(1+λ)t0‖φ(t0)-

即

‖x(t)-x*‖≤‖φ(t0)-x*‖(1+

因此，(5)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

3 仿真實例

通過實例驗證二次規(guī)劃問題解的有效性

考慮二次規(guī)劃問題

其中取

則此問題有唯一解u*=(0.7496,0.6351)T。

取λ=2,α=0.1,τ=0.1，則(5)可化解為：

0.1M)x(t)-0.1q)+PΩ((I-0.1M)x(t-0.1)-0.1q) (6)

其中

取初始函數(shù)φ(t)=[t,sin(t),1]T，(t∈[-1,0])，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(6)收斂于其平衡點

x*=(u*,-1.6210)T

4 結(jié)論

本文提出了一種新的求解二次規(guī)劃問題的時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。利用泛函微分方程理論，證明了新模型解的存在唯一性，并給出了時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。數(shù)值模擬表明該類網(wǎng)絡(luò)模型不僅可行而且有效。

[1]Tank D W, Hopfield J J. Simple Neural Optimization Networks: An A/D Convert, Signal Decision Circuit, and a Linear Programming Circuit[J]. IEEE Trans on Circuits and Systems,1986,33(5): 533-541.

[2] Kennedy M P, Chua L O. Neural Networks for Nonlinear Programming[J]. IEEE Trans on Circuits and Systems,1988, 35(5): 554-562.

[3] Rodriguez-Vazquez A, Dominguez-Castro R, Rueda A, et al. Nonlinear Switch-capacitorNeural Networks for Optimization Problems[J]. IEEE Trans on Circuits and Systems, 1990, 39(3): 221-225.

[4] Xia Y S, Leng H, Wang J. A Projection Neural Network and its Application to Constrained Optimization Prob lems[J].IEEE Trans on Circuits and Systems, 2002, 49(4): 447-458.

[5] Xia Y S, Wang J. A General Projection Neural Network for Solving Monotone Variational Inequalities and Related Optimization Problems[J]. IEEE Trans on Neural Networks, 2004, 15(2): 318-328.

[6] Hu X L.Applications of the General Projection Neural Network in Solving Extended Linear Quadratic Programming Problems with Linear Constraints[J]. Neurocomputing,2009, 72(4/6): 1131-1137.

[7]Xia You-shen ,Wang Jun．A Recurrent Neural Network for Solving Linear Projection Equations[J]. Neural Network,2000,13(1):337-350.

[8]Liu Qing-shan,Cao Jin-de ,Xia You-shen.A Delayed Neural Network for Solving Linear Projection Equations and its Analysis[J].IEEE Tram on Neural Networks,2005,9(4):834-843.

[9]Yang Yong-qing , Cao Jin-de.Solving Quadratic Programming Problems by Delayed Projection Neural Network[J].IEEE Tram on Neural Networks,2006,11(17) :1630-1634．

[10]Liu Zi-xin,Lu Shu, Hong Shou-ming.A New Delayed Projection Neural Network for Solving Linear Variational Inequalities and Quadratic Optimization Problems[J].International Symposium on Computational Intelligence and Design,2008,9(8):1630-1634．

[11]Cheng C J, Liao T L,Yan J J, et al.Globally Asymptotic Stability of a Class of Neutral-Type Neural Networks with Delays[J].IEEE Trans sySt,Man,Cybcrn B,Cybem,2006,10(5):1191-195.

[12]Cheng Long,Hou Zcng-Guang, Tan Min.A Neutral-Type Delayed Projection Neural Network for Solving Nonlinear Variational Inequalities[J].IEEE Trans on Circuits Andsystems,2008,8(8):806-810．

[13]Hale J K，Verduyn Lunel S M．Introduction to Functional Differential Equations[M].New York:Springer,1993:235-242.