Crack3D和ANSYS求解裂紋柱體的圣維南扭轉(zhuǎn)問題

湯昕燕， 丁蘭英

（南京農(nóng)業(yè)大學(xué) 工學(xué)院，江蘇 南京 210031）

本文結(jié)合專業(yè)程序Crack3D［1］及通用軟件ANSYS，得到了一種新的計算帶裂紋柱體的圣維南扭轉(zhuǎn)問題的有限元方法，使用該方法對帶裂紋柱體的圣維南扭轉(zhuǎn)問題算例進行了計算，得到了應(yīng)力強度因子、扭轉(zhuǎn)剛度D 和剪應(yīng)力、等數(shù)值結(jié)果。

從數(shù)值結(jié)果看，該方法功能強大，可應(yīng)用于帶裂紋柱體圣維南扭轉(zhuǎn)問題的求解。

1 圣維南扭轉(zhuǎn)問題

如圖1所示，Ωb為柱體的任意橫截面，Γ為Ω的邊界，x、y、z為截面的慣性主軸。這里沒有顯示oz軸，坐標(biāo)原點o設(shè)置在下端橫截面Ωb的形心c處，扭轉(zhuǎn)力偶矩Mk作用于頂部截面Ωt上。

設(shè)柱體的長度為L，根據(jù)文獻［2］關(guān)于圣維南扭轉(zhuǎn)問題的理論，在直角坐標(biāo)系（x，y，z）中，由于扭轉(zhuǎn)力偶矩Mk的作用，柱體的位移分量為：

其中，α為柱體單位長度的扭轉(zhuǎn)角，即扭率，可以由2個不同截面之間的相對扭轉(zhuǎn)角確定。

圖1 扭轉(zhuǎn)柱體的一般橫截面

設(shè)φ（x，y）為區(qū)域Ω上的一個平面調(diào)和函數(shù)，則扭轉(zhuǎn)剛度D為：

其中，μ為剪切彈性模量，μ＝E／2（1＋ν）。

2 有限元法求解圣維南扭轉(zhuǎn)問題

對任一截面取正方形截面，邊長a為20mm的柱體，頂部截面Ωt與底部截面Ωb之間的距離l為30mm，彈性模量E為100GPa，泊松比ν為0.3，初應(yīng)力σy為100GPa。該柱體帶有一個邊裂紋，裂紋通過柱體軸線沿縱向貫穿，裂紋寬度為a／2。采用結(jié)合Crack3D和ANSYS的有限元方法求解該問題，具體步驟如下：

（1）通過ANSYS預(yù)處理器建立幾何模型［3］。網(wǎng)格的幾何模型使用8個節(jié)點塊單元［4］，如圖2所示，圖中Ω為中間截面。

圖2 正方形截面扭轉(zhuǎn)柱體

（2）使用主菜單／預(yù)處理／創(chuàng)建／節(jié)點／寫節(jié)點文件、主菜單／預(yù)處理／創(chuàng)建／單元／寫單元文件的GUI操作［5］，獲得Elems.dat和 Nodes.dat文件。

（3）將Elems.dat和 Nodes.dat文件輸入到專業(yè)程序Crack3D中的預(yù)編碼Mesh3D交互界面中，執(zhí)行后可生成數(shù)據(jù)文件Crack3D.msh。

（4）運用 Elems.dat和 Nodes.dat文件，建立控制數(shù)據(jù)文件Crack3D.dat。

（5）將數(shù)據(jù)文件Crack3D.msh和Crack3D.dat輸入到專業(yè)程序Crack3D中的主編碼Crack3D交互界面中，執(zhí)行后可獲得Crack3D.ans和Crack3D.res的數(shù)據(jù)結(jié)果。

（6）將數(shù)據(jù)文件Crack3D.ans輸入到專業(yè)程序Crack3D中的后編碼Post3D交互界面中，執(zhí)行后可將Crack3D格式的數(shù)據(jù)結(jié)果轉(zhuǎn)換為ANSYS后處理器中的數(shù)據(jù)結(jié)果格式。

（7）在ANSYS后處理器中讀取數(shù)據(jù)文件Crack3D.res，可得到位移、應(yīng)變和應(yīng)力數(shù)據(jù)。

（8）從Crack3D.res文件中，提取出Ωt和Ωb截面上的節(jié)點位移ux（或uy），并將其代入（4）式中，即可計算得到α值。

（9）從Crack3D.res文件中，提取出中間截面Ω邊界Γ上的節(jié)點位移uz，并將其代入（5）式中，即可得到扭轉(zhuǎn)剛度D值。

若將D轉(zhuǎn)化為無量綱參數(shù)D／（μa4），則可與理論結(jié)果進行比較。

（10）從Crack3D.res文件中，提取出截面Ω邊界Γ 上的最大剪應(yīng)力τ（τ1、τ2），并將其轉(zhuǎn)化為無量綱參數(shù)τ1／（αμa）、τ2／（αμa），可與理論值進行比較。

（11）從Crack3D.res文件中提取出節(jié)點的反作用力，并確定作用于頂端截面Ωt的扭矩Mk。通過截面Ω邊界Γ上的最大剪應(yīng)力（或τ2），計算出無量綱參數(shù)并與理論值進行比較。

（12）對于圖2b中的截面Ω，從Crack3D.res文件中，提取出節(jié)點位移，則可計算出裂紋尖端的張開位移COD，代入（6）式中，即可得到裂紋尖端的應(yīng)力強度因子［6］。

3 無裂紋的圣維南扭轉(zhuǎn)問題數(shù)值驗證

若不考慮帶裂紋的情況，利用ANSYS軟件將柱體自動劃分為正方形網(wǎng)格，邊長為2.5cm，根據(jù)Elems.dat和Nodes.dat文件，網(wǎng)格共包括1 536個單元和2 025個節(jié)點。

在中間截面Ω的邊界Γ上，一些特殊節(jié)點的編號如圖3所示。

將下端面上的節(jié)點（節(jié)點編號為6、14、22、29、57）在x、y軸方向固定，用以限制轉(zhuǎn)動，但允許在z軸方向產(chǎn)生位移。

圖3 無裂紋柱體中間截面Ω的邊界Γ上特殊節(jié)點

上端面在4個節(jié)點（節(jié)點編號為110、325、494、685）上施加位移載荷，ux＝0.02mm，uy＝－0.02mm，ux＝－0.02mm，uy＝－0.02mm。

使用上述方法求解，將節(jié)點位移ux、uz；剪應(yīng)力、；反 力 Fx、Fy及 參 數(shù)α、D／（μa4）、τ／（αμa）、Mk／（τa3）的數(shù)值結(jié)果與理論值比較［7］，結(jié)果見表1、表2所列。

表1 Crack3D編碼計算參數(shù)值結(jié)果與理論值比較

表2 Crack3D編碼計算得到的部分節(jié)點數(shù)值結(jié)果

由表1、表2可以看出，新的有限元方法計算得到的數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果吻合較好，說明此方法求解扭轉(zhuǎn)問題是成功的。

4 新方法計算帶裂紋的圣維南扭轉(zhuǎn)問題

對于存在裂紋的情況，采用新的有限元方法計算應(yīng)力強度因子。在該種情況下，中間截面Ω的邊界Γ上特殊節(jié)點編號如圖4所示。

將下端面上的節(jié)點（節(jié)點編號為627、1 626、1 126、6、1、2）在x、y軸方向固定，用以限制轉(zhuǎn)動，但允許在z軸方向產(chǎn)生位移。

上端面在5個節(jié)點（編號為646、1 670、1 146、146、50）上施加位移載荷，分別如下：ux＝0.02mm，ux＝0.02mm，uy＝0.02mm，ux＝－0.02mm，uy＝－0.02mm。

圖4 帶裂紋柱體中間截面Ω的邊界Γ上的特殊節(jié)點

使用上述方法求解該扭轉(zhuǎn)裂紋問題，ux、uz、、Fx、Fy數(shù)值結(jié)果見表3所列。

表3 使用新方法時Crack3D編碼計算得到的部分節(jié)點數(shù)值結(jié)果

經(jīng) 計 算，α 為 2.452 3×10－5（°）／mm，D／（μa4）為1.105 1，τ／（αμa）為1.078 3，Mk／（τa3）為1.184 9為11.678 0N／mm3／2。據(jù)此可知帶裂紋柱體扭轉(zhuǎn)總位移變形情況，如圖5所示。

圖5 裂紋柱體扭轉(zhuǎn)總位移變形

5 結(jié)束語

本文采用結(jié)合Crack3D和ANSYS的有限元方法求解圣維南扭轉(zhuǎn)問題是成功的，可應(yīng)用于實際計算中。同時，若將計算所得的裂紋柱體扭轉(zhuǎn)剛度和無裂紋柱體扭轉(zhuǎn)剛度數(shù)值結(jié)果取比值，即η＝Dw／＝0.508 3。其中，Dw為帶裂紋柱體扭轉(zhuǎn)剛度，為無裂紋柱體扭轉(zhuǎn)剛度。由比值可以看出，帶裂紋柱體的扭轉(zhuǎn)剛度幾乎是無裂紋柱體扭轉(zhuǎn)剛度的1／2，說明帶裂紋柱體扭轉(zhuǎn)剛度下降劇烈。

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