論數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

冉邦恒

摘要：數(shù)，表示事物的量的基本數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)討論的基本元素。而軸（形數(shù)）是規(guī)定了原點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度單位的直線（點(diǎn)的集合）。兩者有機(jī)結(jié)合，形成一種數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合思想。化數(shù)為形，化形為數(shù)，給抽象的概念予以直觀的表述，可使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化。

關(guān)鍵詞：數(shù)；數(shù)軸；對(duì)應(yīng)關(guān)系

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）12-0231-02

現(xiàn)實(shí)的中等職業(yè)學(xué)校，學(xué)生一般基礎(chǔ)較差。本人通過多年的中職數(shù)學(xué)教學(xué)，深知學(xué)生在數(shù)學(xué)課程中經(jīng)常用到的“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)”這一普遍而常用的結(jié)論，在不等式解集的表示，集合的有關(guān)運(yùn)算中時(shí)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。下面談一談“實(shí)數(shù)與數(shù)軸”的內(nèi)在聯(lián)系。

一、自然數(shù)

1.（基數(shù)理論）兩個(gè)可以在元素之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的有限集具有共同的數(shù)量特征，這一特征叫做基數(shù)。這樣，所有單元素集｛x｝，｛y｝，｛a｝，｛b｝等具有同一基數(shù)，記作1。類似，凡能與兩個(gè)手指頭建立一一對(duì)應(yīng)的集合，如｛x.Y｝，｛a，b｝它們的基數(shù)相同，記作2，等等，即基數(shù)是指集合中元素的“個(gè)數(shù)”。

2.（序數(shù)理論）在自然數(shù)集N中有：（1）N中存在元素“1”，它不是N中任何一個(gè)元素的后繼數(shù).（2）N中每一個(gè)元素有且只有一個(gè)后繼數(shù)。由此可知N中的元素可按1，2，3，4…這樣的順序排列。

在集合中，空集不含任何元素，只能用“0”來描述空集中所含元素的多少。因此，無(wú)論從自然數(shù)的序數(shù)功能方面把0作為自然數(shù)，還是在自然數(shù)的運(yùn)算功能（見后自然數(shù)性質(zhì)3）中把0作為自然數(shù)，都有理由說得過去，正因?yàn)槿绱?，我?guó)中小學(xué)教材將0化歸為自然數(shù)系列。自然數(shù)的基本性質(zhì)有：（1）有最小元素0，沒有最大元素但是有順序。（2）無(wú)限集。（3）具有離散性（對(duì)任意兩個(gè)相連自然數(shù)之間不存在第三個(gè)自然數(shù)。（4）對(duì)加法，乘法運(yùn)算都是封閉的，即集合｛0，1，2，3，4，5，…，n，…｝中的任何兩個(gè)自然數(shù)都可以進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，而運(yùn)算結(jié)果仍然是自然數(shù)。數(shù)軸是人為規(guī)定的，滿足有：（1）原點(diǎn)。（2）長(zhǎng)度單位。（3）正方向的幾何圖形（點(diǎn)的集合）。從原點(diǎn)（記為0）出發(fā)朝正方向（右）的直線上取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，比如可以取1cm作為單位長(zhǎng)度，這樣距起點(diǎn)零一個(gè)長(zhǎng)度單位的點(diǎn)就對(duì)應(yīng)數(shù)1，距零兩個(gè)長(zhǎng)度單位的點(diǎn)就對(duì)應(yīng)數(shù)2，依次類推。這樣每個(gè)自然數(shù)（又稱正整數(shù)）就在數(shù)軸上與相應(yīng)的點(diǎn)形成數(shù)對(duì)點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)，這些點(diǎn)稱為自然數(shù)點(diǎn)，基于自然數(shù)的離散性，使得點(diǎn)與點(diǎn)之間沒有相連，是孤立的，自然數(shù)與軸上點(diǎn)就結(jié)合在一起。

二、整數(shù)

生活中有很多具有相反意義的現(xiàn)象，比如增加和減少、前進(jìn)和后退等。既然有相反意義的現(xiàn)象，那么記錄這兩者的數(shù)字符號(hào)也應(yīng)有區(qū)別。于是引入了負(fù)數(shù)概念，負(fù)數(shù)是人們記錄具有相反意義現(xiàn)象的不同數(shù)字符號(hào)，由于每一個(gè)正數(shù)（自然數(shù)）都有它相對(duì)的一個(gè)負(fù)數(shù)，它們對(duì)稱的分布在軸原點(diǎn)的兩邊，這樣的一對(duì)數(shù)互稱為相反數(shù)（若a=-b則a是b的相反數(shù)）。我們把與自然數(shù)相對(duì)的原點(diǎn)左邊的這類數(shù)稱為負(fù)整數(shù)。正整數(shù)、零與負(fù)整數(shù)構(gòu)成了整數(shù)系（Z）。整數(shù)系是自然數(shù)系的擴(kuò)展，自然數(shù)的一切性質(zhì)整數(shù)都具有，但同時(shí)也有自然數(shù)不具備的性質(zhì)（后有說明）。整數(shù)系雖是無(wú)限集合，但它并不是密密麻麻地分布在整個(gè)圖上，而是間隔分布。

事情并沒有結(jié)束，上述的整數(shù)點(diǎn)與整數(shù)點(diǎn)之間仍有間隙，那么這之間的點(diǎn)又如何解讀呢？這就使人們又聯(lián)想到在整數(shù)點(diǎn)與點(diǎn)之間一定還有另外的（點(diǎn)）數(shù)存在。我們知道，自然數(shù)系是一個(gè)離散的、而不是稠密的數(shù)系，作為量的表征，它只能限于去表示一個(gè)單位量的整數(shù)倍，而無(wú)法表示它的部分。同時(shí)，作為運(yùn)算的手段，在自然數(shù)系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運(yùn)算。因此把自然數(shù)系擴(kuò)大到整數(shù)系后，加法，減法，乘法總可以施行。但除法又不能自由施行，即兩個(gè)數(shù)的商不一定是整數(shù)。如求解方程mx=n（m≠0），如果m，n是整數(shù)，則方程不一定有整數(shù)解。為了使它恒有解，解決這一問題的有效方法就是把整數(shù)系再擴(kuò)大。事實(shí)上人類可知的量，除了能表示個(gè)體的量（整數(shù)）之外。另一類是可無(wú)限細(xì)分的量（如長(zhǎng)度，面積）。對(duì)于能無(wú)限細(xì)分的量，用一個(gè)可相比的數(shù)來表示。

三、有理數(shù)

有理數(shù)就是可以用比來表示的數(shù)，常用（m∈Z。n∈N*）形式表示，故又稱作分?jǐn)?shù)。這類數(shù)有如下性質(zhì)：（1）加法，減法，乘法，除法（除數(shù)不為零）運(yùn)算總可實(shí)施，即運(yùn)算的結(jié)果總是有理數(shù)（有理數(shù)的封閉性）。（2）任意兩個(gè)有理數(shù)都可以比較大小（順序性）。（3）有理數(shù)集具有稠密性。即對(duì)任意兩個(gè)有理數(shù)a 和b，總有一個(gè)有理數(shù)c滿足a

四、無(wú)理數(shù)

遠(yuǎn)在兩千多年前的古希臘，有一個(gè)專門研究數(shù)學(xué)的團(tuán)體。他們畫了一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，根據(jù)勾股定理來求其對(duì)角線長(zhǎng)度，但這對(duì)角線的長(zhǎng)度不知道用一個(gè)怎樣的數(shù)來表示，但這個(gè)數(shù)又肯定是存在的，最后認(rèn)定這是一個(gè)從未見過的新數(shù)。受這個(gè)數(shù)的啟示，后來又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了很多都與上述對(duì)角線長(zhǎng)度數(shù)具有一樣共性的數(shù)，人們把這些數(shù)取名為無(wú)理數(shù)。諸如開方開不盡的數(shù)，，等。大多數(shù)三角函數(shù)值（如sin50°），對(duì)數(shù)函數(shù)值，計(jì)算中產(chǎn)生的數(shù)（ π，e）以及構(gòu)造出來的無(wú)理數(shù)（0.1010010001…）等。因此，無(wú)理數(shù)集也是無(wú)限集，既沒有最大的元素，也沒有最小的元素。這樣的一些數(shù)，在數(shù)軸上同樣能夠找到這樣的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）在實(shí)數(shù)集中，加法，減法。乘法。除法（除數(shù)不為零）運(yùn)算總可以實(shí)施。（2）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小。（3）實(shí)數(shù)集具有稠密性，對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)α<β存在一個(gè)實(shí)數(shù)γ，使得α<γ<β。（4）實(shí)數(shù)集具有連續(xù)性。

綜上所述，數(shù)軸上的點(diǎn)除了有理點(diǎn)之外，都是無(wú)理點(diǎn)，且每個(gè)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)在數(shù)軸上都能找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。所有的實(shí)數(shù)布滿了整個(gè)數(shù)軸。正是實(shí)數(shù)集具有連續(xù)的特性，使得實(shí)數(shù)點(diǎn)布滿了整個(gè)數(shù)軸。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，直線可以看作是實(shí)數(shù)的幾何表示。討論實(shí)數(shù)的性質(zhì)就可在直線上進(jìn)行，這就為后來的實(shí)數(shù)理論的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。試想，如學(xué)生掌握了這些知識(shí)，勢(shì)必對(duì)數(shù)軸的應(yīng)用能得心應(yīng)手，起到事半功倍的作用。