機(jī)械能中關(guān)聯(lián)速度類型題的解題技巧

易良錄

摘要：本文結(jié)合實(shí)例，探討了含有速度關(guān)聯(lián)的機(jī)械能守恒定律應(yīng)用的典型類型題，總結(jié)了解題的三個(gè)關(guān)鍵，創(chuàng)新地提出了解決關(guān)聯(lián)速度時(shí)“線外向線作垂線”的簡(jiǎn)化方法，降低了該類題目的解題難度，切合課程改革方向，有利于提高學(xué)生的物理水平。

關(guān)鍵詞：連接體；關(guān)聯(lián)速度；機(jī)械能守恒

中圖分類號(hào)：G633.7？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）16-0111-02

由于課程改革的需要，高中物理課程設(shè)置為必修+選修模式，內(nèi)容上較原通用教材有一定變動(dòng)。比如，部分省份去掉了動(dòng)量章節(jié)，但同時(shí)相應(yīng)地強(qiáng)化了機(jī)械能章節(jié)的份量。具體體現(xiàn)在常將機(jī)械能與連接體中關(guān)聯(lián)速度的分解結(jié)合起來，作為考試的壓軸內(nèi)容，承擔(dān)區(qū)分學(xué)生水平的重任?？梢?，掌握該類題目的解題技巧具有必要性。

一般地，系統(tǒng)內(nèi)的物體通過不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩或輕桿相連接，不計(jì)摩擦?xí)r系統(tǒng)機(jī)械能守恒。但只據(jù)機(jī)械能守恒定律是不能解決問題的，必須求出連接物體的速度關(guān)聯(lián)式。同時(shí)，這類題目通常討論極限情況或者物體運(yùn)動(dòng)到特殊幾何位置時(shí)的情形，體現(xiàn)了物理學(xué)科的特色——降低數(shù)學(xué)計(jì)算難度，著重考察物理本質(zhì)的思路。通過分析總結(jié)，筆者認(rèn)為解決本類問題的關(guān)鍵點(diǎn)可歸納為以下三點(diǎn)：（1）正確列寫過程的機(jī)械能守恒的具體表達(dá)式；（2）正確列寫兩物體的瞬時(shí)速度關(guān)聯(lián)式；（3）弄清特殊位置的幾何關(guān)系。下面通過兩個(gè)例題來加以說明。

例1.如圖1所示，均勻直桿長(zhǎng)L=6.25m，連著兩個(gè)小球A、B，不計(jì)一切摩擦。當(dāng)桿從豎直靠墻開始滑動(dòng)到α=37o的位置時(shí)，A、B球的速度為vA、vB。求此時(shí)A、B球速度。

解析：針對(duì)速度關(guān)聯(lián)分解問題，（關(guān)鍵點(diǎn)2）

核心要點(diǎn)是：沿繩方向速度相等；

作圖技巧：延長(zhǎng)繩或桿（畫直線），線外向線作垂線。（如圖2），

設(shè)桿上速度為v，則有：

V=VAcosα=VBsinα，

針對(duì)特殊位置的問題，（關(guān)鍵點(diǎn)3），

核心要點(diǎn)是：特殊直角三角形的邊角關(guān)系。

具體地：A球后來離地高h(yuǎn)=Lcosα，

針對(duì)機(jī)械能守恒問題，（關(guān)鍵點(diǎn)1），

核心要點(diǎn)是：看是否滿足機(jī)械能守恒的條件（此題全程無摩擦損耗僅重力做功）；能量關(guān)系（此題為勢(shì)能減少導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)能增加）；正確表達(dá)動(dòng)能、勢(shì)能（此類題，兩物體不同速，動(dòng)能必須分開寫）。

具體地：mg（L-Lcosα）=■mvA2+■mvB2

綜合以上，可以解得：vA=3m/s；vB=4m/s.

創(chuàng)新性說明：本題速度關(guān)聯(lián)情形類似人拉船情形，典型特征是至少有一個(gè)物體的前進(jìn)方向與連接該端繩子的夾角是隨運(yùn)動(dòng)而變化的（即有旋轉(zhuǎn)情形）。對(duì)該種情形，大多數(shù)老師或資料都習(xí)慣于從運(yùn)動(dòng)的分解合成方面進(jìn)行分析，喜歡畫平行四邊形分解圖進(jìn)行講解。但是，這樣解釋，學(xué)生難于理解，運(yùn)用中經(jīng)常弄錯(cuò)分解方向，畫錯(cuò)分解圖，從而得到錯(cuò)誤答案。其實(shí)，領(lǐng)會(huì)其本質(zhì)是“沿繩速度相等”（因?yàn)槔K不可伸長(zhǎng)），就可以得到簡(jiǎn)化的作圖方法：繩外向繩作垂線（只畫一個(gè)簡(jiǎn)單的直角三角形）。這樣既簡(jiǎn)化了作圖，也便于正確寫出速度間的關(guān)系。

例2.如圖3所示，物塊M和m用一不可伸長(zhǎng)的輕繩通過定滑輪連接，m放在傾角θ=300的固定的光滑斜面上，而穿過豎直桿PQ的物塊M可沿桿無摩擦地下滑，M=3m，開始時(shí)將M抬高到A點(diǎn)，使細(xì)繩水平，此時(shí)OA段的繩長(zhǎng)為L(zhǎng)=4.0m?，F(xiàn)將M由靜止開始下滑，求：（1）圖中OB與水平夾角；（2）m上升高度；（3）當(dāng)M下滑到3.0m至B點(diǎn)時(shí)的速度？（g=10m/s2）。

解析：針對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)1，本題屬于一升一降的類型，其機(jī)械能守恒方程的列寫技巧是：勢(shì)能差=動(dòng)能增加。

具體寫法是：兩物體勢(shì)能相減，動(dòng)能為兩個(gè)動(dòng)能之和。

為避免錯(cuò)誤得到公式分，兩物體各自高度變化先用符號(hào)h1、h2表示；兩物體各自速度先用符號(hào)v1、v2表示；再分別寫出上述4個(gè)量的值或關(guān)系。

切忌一個(gè)公式中都寫具體值，一處出錯(cuò)，全部不得分。

針對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)3，旋轉(zhuǎn)物體的高度變化問題，要點(diǎn)是：升降高度=斜邊長(zhǎng)-直角邊長(zhǎng)。

此處對(duì)M，右邊原來繩長(zhǎng)OA=4米，后來繩長(zhǎng)OB=5米，繩實(shí)際右收1米；

故M下降3米，m沿斜面上升1米，豎直上升0.5米。

此外，題目中所求位置通常為特殊位置或特殊角度，如最高、最低、垂直、37度等。

答案：37°；1m；■=7.1m/s（過程略）。

綜上所述，在解決這類涉及到速度分解的機(jī)械能壓軸題，只要能夠突破文中提到的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，能夠正確列寫相關(guān)的物理量間的關(guān)系，就一定可以求得正確答案，難題也就不再是難題了。

參考文獻(xiàn)：

[1]成樹明，常光明.四面突擊機(jī)械能守恒定律[J].高考金刊（理科版），2011，（1）.

[2]劉素梅.速度關(guān)聯(lián)類問題求解[J].考試（高考試題設(shè)計(jì)版），2011，（2）.

[3]程靖龍.速度關(guān)聯(lián)問題應(yīng)當(dāng)作為一個(gè)專題探討[Z].endprint

摘要：本文結(jié)合實(shí)例，探討了含有速度關(guān)聯(lián)的機(jī)械能守恒定律應(yīng)用的典型類型題，總結(jié)了解題的三個(gè)關(guān)鍵，創(chuàng)新地提出了解決關(guān)聯(lián)速度時(shí)“線外向線作垂線”的簡(jiǎn)化方法，降低了該類題目的解題難度，切合課程改革方向，有利于提高學(xué)生的物理水平。

關(guān)鍵詞：連接體；關(guān)聯(lián)速度；機(jī)械能守恒

中圖分類號(hào)：G633.7？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）16-0111-02

由于課程改革的需要，高中物理課程設(shè)置為必修+選修模式，內(nèi)容上較原通用教材有一定變動(dòng)。比如，部分省份去掉了動(dòng)量章節(jié)，但同時(shí)相應(yīng)地強(qiáng)化了機(jī)械能章節(jié)的份量。具體體現(xiàn)在常將機(jī)械能與連接體中關(guān)聯(lián)速度的分解結(jié)合起來，作為考試的壓軸內(nèi)容，承擔(dān)區(qū)分學(xué)生水平的重任?？梢?，掌握該類題目的解題技巧具有必要性。

一般地，系統(tǒng)內(nèi)的物體通過不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩或輕桿相連接，不計(jì)摩擦?xí)r系統(tǒng)機(jī)械能守恒。但只據(jù)機(jī)械能守恒定律是不能解決問題的，必須求出連接物體的速度關(guān)聯(lián)式。同時(shí)，這類題目通常討論極限情況或者物體運(yùn)動(dòng)到特殊幾何位置時(shí)的情形，體現(xiàn)了物理學(xué)科的特色——降低數(shù)學(xué)計(jì)算難度，著重考察物理本質(zhì)的思路。通過分析總結(jié)，筆者認(rèn)為解決本類問題的關(guān)鍵點(diǎn)可歸納為以下三點(diǎn)：（1）正確列寫過程的機(jī)械能守恒的具體表達(dá)式；（2）正確列寫兩物體的瞬時(shí)速度關(guān)聯(lián)式；（3）弄清特殊位置的幾何關(guān)系。下面通過兩個(gè)例題來加以說明。

例1.如圖1所示，均勻直桿長(zhǎng)L=6.25m，連著兩個(gè)小球A、B，不計(jì)一切摩擦。當(dāng)桿從豎直靠墻開始滑動(dòng)到α=37o的位置時(shí)，A、B球的速度為vA、vB。求此時(shí)A、B球速度。

解析：針對(duì)速度關(guān)聯(lián)分解問題，（關(guān)鍵點(diǎn)2）

核心要點(diǎn)是：沿繩方向速度相等；

作圖技巧：延長(zhǎng)繩或桿（畫直線），線外向線作垂線。（如圖2），

設(shè)桿上速度為v，則有：

V=VAcosα=VBsinα，

針對(duì)特殊位置的問題，（關(guān)鍵點(diǎn)3），

核心要點(diǎn)是：特殊直角三角形的邊角關(guān)系。

具體地：A球后來離地高h(yuǎn)=Lcosα，

針對(duì)機(jī)械能守恒問題，（關(guān)鍵點(diǎn)1），

核心要點(diǎn)是：看是否滿足機(jī)械能守恒的條件（此題全程無摩擦損耗僅重力做功）；能量關(guān)系（此題為勢(shì)能減少導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)能增加）；正確表達(dá)動(dòng)能、勢(shì)能（此類題，兩物體不同速，動(dòng)能必須分開寫）。

具體地：mg（L-Lcosα）=■mvA2+■mvB2

綜合以上，可以解得：vA=3m/s；vB=4m/s.

創(chuàng)新性說明：本題速度關(guān)聯(lián)情形類似人拉船情形，典型特征是至少有一個(gè)物體的前進(jìn)方向與連接該端繩子的夾角是隨運(yùn)動(dòng)而變化的（即有旋轉(zhuǎn)情形）。對(duì)該種情形，大多數(shù)老師或資料都習(xí)慣于從運(yùn)動(dòng)的分解合成方面進(jìn)行分析，喜歡畫平行四邊形分解圖進(jìn)行講解。但是，這樣解釋，學(xué)生難于理解，運(yùn)用中經(jīng)常弄錯(cuò)分解方向，畫錯(cuò)分解圖，從而得到錯(cuò)誤答案。其實(shí)，領(lǐng)會(huì)其本質(zhì)是“沿繩速度相等”（因?yàn)槔K不可伸長(zhǎng)），就可以得到簡(jiǎn)化的作圖方法：繩外向繩作垂線（只畫一個(gè)簡(jiǎn)單的直角三角形）。這樣既簡(jiǎn)化了作圖，也便于正確寫出速度間的關(guān)系。

例2.如圖3所示，物塊M和m用一不可伸長(zhǎng)的輕繩通過定滑輪連接，m放在傾角θ=300的固定的光滑斜面上，而穿過豎直桿PQ的物塊M可沿桿無摩擦地下滑，M=3m，開始時(shí)將M抬高到A點(diǎn)，使細(xì)繩水平，此時(shí)OA段的繩長(zhǎng)為L(zhǎng)=4.0m?，F(xiàn)將M由靜止開始下滑，求：（1）圖中OB與水平夾角；（2）m上升高度；（3）當(dāng)M下滑到3.0m至B點(diǎn)時(shí)的速度？（g=10m/s2）。

解析：針對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)1，本題屬于一升一降的類型，其機(jī)械能守恒方程的列寫技巧是：勢(shì)能差=動(dòng)能增加。

具體寫法是：兩物體勢(shì)能相減，動(dòng)能為兩個(gè)動(dòng)能之和。

為避免錯(cuò)誤得到公式分，兩物體各自高度變化先用符號(hào)h1、h2表示；兩物體各自速度先用符號(hào)v1、v2表示；再分別寫出上述4個(gè)量的值或關(guān)系。

切忌一個(gè)公式中都寫具體值，一處出錯(cuò)，全部不得分。

針對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)3，旋轉(zhuǎn)物體的高度變化問題，要點(diǎn)是：升降高度=斜邊長(zhǎng)-直角邊長(zhǎng)。

此處對(duì)M，右邊原來繩長(zhǎng)OA=4米，后來繩長(zhǎng)OB=5米，繩實(shí)際右收1米；

故M下降3米，m沿斜面上升1米，豎直上升0.5米。

此外，題目中所求位置通常為特殊位置或特殊角度，如最高、最低、垂直、37度等。

答案：37°；1m；■=7.1m/s（過程略）。

綜上所述，在解決這類涉及到速度分解的機(jī)械能壓軸題，只要能夠突破文中提到的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，能夠正確列寫相關(guān)的物理量間的關(guān)系，就一定可以求得正確答案，難題也就不再是難題了。

參考文獻(xiàn)：

[1]成樹明，常光明.四面突擊機(jī)械能守恒定律[J].高考金刊（理科版），2011，（1）.

[2]劉素梅.速度關(guān)聯(lián)類問題求解[J].考試（高考試題設(shè)計(jì)版），2011，（2）.

[3]程靖龍.速度關(guān)聯(lián)問題應(yīng)當(dāng)作為一個(gè)專題探討[Z].endprint

摘要：本文結(jié)合實(shí)例，探討了含有速度關(guān)聯(lián)的機(jī)械能守恒定律應(yīng)用的典型類型題，總結(jié)了解題的三個(gè)關(guān)鍵，創(chuàng)新地提出了解決關(guān)聯(lián)速度時(shí)“線外向線作垂線”的簡(jiǎn)化方法，降低了該類題目的解題難度，切合課程改革方向，有利于提高學(xué)生的物理水平。

關(guān)鍵詞：連接體；關(guān)聯(lián)速度；機(jī)械能守恒

中圖分類號(hào)：G633.7？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）16-0111-02

由于課程改革的需要，高中物理課程設(shè)置為必修+選修模式，內(nèi)容上較原通用教材有一定變動(dòng)。比如，部分省份去掉了動(dòng)量章節(jié)，但同時(shí)相應(yīng)地強(qiáng)化了機(jī)械能章節(jié)的份量。具體體現(xiàn)在常將機(jī)械能與連接體中關(guān)聯(lián)速度的分解結(jié)合起來，作為考試的壓軸內(nèi)容，承擔(dān)區(qū)分學(xué)生水平的重任?？梢?，掌握該類題目的解題技巧具有必要性。

一般地，系統(tǒng)內(nèi)的物體通過不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩或輕桿相連接，不計(jì)摩擦?xí)r系統(tǒng)機(jī)械能守恒。但只據(jù)機(jī)械能守恒定律是不能解決問題的，必須求出連接物體的速度關(guān)聯(lián)式。同時(shí)，這類題目通常討論極限情況或者物體運(yùn)動(dòng)到特殊幾何位置時(shí)的情形，體現(xiàn)了物理學(xué)科的特色——降低數(shù)學(xué)計(jì)算難度，著重考察物理本質(zhì)的思路。通過分析總結(jié)，筆者認(rèn)為解決本類問題的關(guān)鍵點(diǎn)可歸納為以下三點(diǎn)：（1）正確列寫過程的機(jī)械能守恒的具體表達(dá)式；（2）正確列寫兩物體的瞬時(shí)速度關(guān)聯(lián)式；（3）弄清特殊位置的幾何關(guān)系。下面通過兩個(gè)例題來加以說明。

例1.如圖1所示，均勻直桿長(zhǎng)L=6.25m，連著兩個(gè)小球A、B，不計(jì)一切摩擦。當(dāng)桿從豎直靠墻開始滑動(dòng)到α=37o的位置時(shí)，A、B球的速度為vA、vB。求此時(shí)A、B球速度。

解析：針對(duì)速度關(guān)聯(lián)分解問題，（關(guān)鍵點(diǎn)2）

核心要點(diǎn)是：沿繩方向速度相等；

作圖技巧：延長(zhǎng)繩或桿（畫直線），線外向線作垂線。（如圖2），

設(shè)桿上速度為v，則有：

V=VAcosα=VBsinα，

針對(duì)特殊位置的問題，（關(guān)鍵點(diǎn)3），

核心要點(diǎn)是：特殊直角三角形的邊角關(guān)系。

具體地：A球后來離地高h(yuǎn)=Lcosα，

針對(duì)機(jī)械能守恒問題，（關(guān)鍵點(diǎn)1），

核心要點(diǎn)是：看是否滿足機(jī)械能守恒的條件（此題全程無摩擦損耗僅重力做功）；能量關(guān)系（此題為勢(shì)能減少導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)能增加）；正確表達(dá)動(dòng)能、勢(shì)能（此類題，兩物體不同速，動(dòng)能必須分開寫）。

具體地：mg（L-Lcosα）=■mvA2+■mvB2

綜合以上，可以解得：vA=3m/s；vB=4m/s.

創(chuàng)新性說明：本題速度關(guān)聯(lián)情形類似人拉船情形，典型特征是至少有一個(gè)物體的前進(jìn)方向與連接該端繩子的夾角是隨運(yùn)動(dòng)而變化的（即有旋轉(zhuǎn)情形）。對(duì)該種情形，大多數(shù)老師或資料都習(xí)慣于從運(yùn)動(dòng)的分解合成方面進(jìn)行分析，喜歡畫平行四邊形分解圖進(jìn)行講解。但是，這樣解釋，學(xué)生難于理解，運(yùn)用中經(jīng)常弄錯(cuò)分解方向，畫錯(cuò)分解圖，從而得到錯(cuò)誤答案。其實(shí)，領(lǐng)會(huì)其本質(zhì)是“沿繩速度相等”（因?yàn)槔K不可伸長(zhǎng)），就可以得到簡(jiǎn)化的作圖方法：繩外向繩作垂線（只畫一個(gè)簡(jiǎn)單的直角三角形）。這樣既簡(jiǎn)化了作圖，也便于正確寫出速度間的關(guān)系。

例2.如圖3所示，物塊M和m用一不可伸長(zhǎng)的輕繩通過定滑輪連接，m放在傾角θ=300的固定的光滑斜面上，而穿過豎直桿PQ的物塊M可沿桿無摩擦地下滑，M=3m，開始時(shí)將M抬高到A點(diǎn)，使細(xì)繩水平，此時(shí)OA段的繩長(zhǎng)為L(zhǎng)=4.0m?，F(xiàn)將M由靜止開始下滑，求：（1）圖中OB與水平夾角；（2）m上升高度；（3）當(dāng)M下滑到3.0m至B點(diǎn)時(shí)的速度？（g=10m/s2）。

解析：針對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)1，本題屬于一升一降的類型，其機(jī)械能守恒方程的列寫技巧是：勢(shì)能差=動(dòng)能增加。

具體寫法是：兩物體勢(shì)能相減，動(dòng)能為兩個(gè)動(dòng)能之和。

為避免錯(cuò)誤得到公式分，兩物體各自高度變化先用符號(hào)h1、h2表示；兩物體各自速度先用符號(hào)v1、v2表示；再分別寫出上述4個(gè)量的值或關(guān)系。

切忌一個(gè)公式中都寫具體值，一處出錯(cuò)，全部不得分。

針對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)3，旋轉(zhuǎn)物體的高度變化問題，要點(diǎn)是：升降高度=斜邊長(zhǎng)-直角邊長(zhǎng)。

此處對(duì)M，右邊原來繩長(zhǎng)OA=4米，后來繩長(zhǎng)OB=5米，繩實(shí)際右收1米；

故M下降3米，m沿斜面上升1米，豎直上升0.5米。

此外，題目中所求位置通常為特殊位置或特殊角度，如最高、最低、垂直、37度等。

答案：37°；1m；■=7.1m/s（過程略）。

綜上所述，在解決這類涉及到速度分解的機(jī)械能壓軸題，只要能夠突破文中提到的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，能夠正確列寫相關(guān)的物理量間的關(guān)系，就一定可以求得正確答案，難題也就不再是難題了。

參考文獻(xiàn)：

[1]成樹明，常光明.四面突擊機(jī)械能守恒定律[J].高考金刊（理科版），2011，（1）.

[2]劉素梅.速度關(guān)聯(lián)類問題求解[J].考試（高考試題設(shè)計(jì)版），2011，（2）.

[3]程靖龍.速度關(guān)聯(lián)問題應(yīng)當(dāng)作為一個(gè)專題探討[Z].endprint