非光滑向量似變分不等式與向量優(yōu)化問題

趙 亮,劉學(xué)文

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，中國 重慶 401331)

非光滑向量似變分不等式與向量優(yōu)化問題

趙 亮,劉學(xué)文*

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，中國 重慶 401331)

在非光滑不變凸性的條件下討論了上Dini方向?qū)?shù)形式的非光滑Minty(弱)向量似變分不等式、非光滑Stampacchia(弱)向量似變分不等式以及擾動非光滑Stampacchia(弱)向量似變分不等式這3類解集之間的關(guān)系，并得到了這3類似變分不等式問題的解與向量優(yōu)化問題的(弱)有效解之間的等價條件．

向量似變分不等式；向量優(yōu)化問題；Dini方向?qū)?shù)；C-偽單調(diào)；有效解

向量變分不等式是變分不等式的推廣形式，目前已被廣泛應(yīng)用于機械學(xué)、控制論、最優(yōu)化理論等領(lǐng)域．在適當條件下，向量變分不等式的解與最優(yōu)化問題(記為VOP)的最優(yōu)解具有一致性．由于實際應(yīng)用中有些目標函數(shù)是非光滑的，因此產(chǎn)生了用方向?qū)?shù)定義的變分不等式(參見文獻[1～8])．最近，Ansari等人在文獻[6]中，利用上Dini方向?qū)?shù)分別定義了非光滑形式的Minty向量變分不等式問題(記為NMVVIP)和Stampacchia向量變分不等式問題(記為NSVVIP)，在偽凸條件下討論了NMVVIP和NSVVIP的解與VOP的(弱)有效解之間的關(guān)系．文獻[8]中Ansari等人把[6]中結(jié)果推廣到了不變凸集上，利用上Dini方向?qū)?shù)分別定義非光滑Minty(弱)向量似變分不等式問題(記為NM(W)VVLIP)和非光滑Stampacchia(弱)向量似變分不等式問題(記為NS(W)VVLIP)，并討論了幾類向量似變分不等式解的存在性，最后得到它們與VOP(弱)有效解之間的關(guān)系．本文旨在文獻[8]的基礎(chǔ)上進一步討論NM(W)VVLIP和NS(W)VVLIP的解與VOP的(弱)有效解之間的關(guān)系，定義了一類上Dini方向?qū)?shù)形式的擾動非光滑(弱)Stampacchia向量似變分不等式問題(記為PNS(W)VVLIP),并在不變凸性的條件下分別得到PNS(W)VVLIP解與NM(W)VVLIP的解以及VOP的(弱)有效解等價的充要條件，因此本文豐富了文獻[8]中的相關(guān)結(jié)果．

1 預(yù)備知識

設(shè)Rn為實n維歐幾里德空間，K表示Rn的非空子集，η:K×K→Rn表示向量值函數(shù)，intK表示K的內(nèi)部，I={1,2,…,l}表示指標集,f=(f1,…,fl):Rn→Rl表示向量值函數(shù)，其中fi:Rn→R，i∈Ι是Rn上的實值函數(shù)．

定義1[9]設(shè)集合K?Rn，若存在η:K×K→Rn，對于?x,y∈K，?λ∈[0,1]，滿足y+λη(x,y)∈K，則稱K是η-不變凸集．

定義2[10]若對?x,y∈K，η:K×K→Rn滿足η(x,y)+η(y,x)=0，則稱η是反對稱函數(shù)．

注1 若?x,y∈K滿足x=y，顯然η(x,x)=0．

條件C[11]對?x,y∈K，?λ∈[0,1]，η:K×K→Rn滿足

η(y,y+λη(x,y))=-λη(x,y)，η(x,y+λη(x,y))=(1-λ)η(x,y)．

注2 若η是反對稱函數(shù)，則它不一定滿足條件C；反之也不成立．

下面的例子說明了η是反對稱函數(shù)與η滿足條件C之間沒有必然聯(lián)系．

例1 設(shè)K?R是一非空集合，η:K×K→R滿足

顯然η滿足條件C但不是反對稱函數(shù)．

例2 設(shè)K?R是一非空集合，η:K×K→R滿足

顯然η是反對稱函數(shù)但不滿足條件C．

定義3[8]設(shè)函數(shù)g:Rn→R∪{±∞}，則g在點x∈K處沿方向d∈Rn的上Dini方向?qū)?shù)定義為

向量值函數(shù)f=(f1,…,fl):Rn→Rl在點x∈K處沿方向d∈Rn的上Dini方向?qū)?shù)定義為

注3 顯然雙變量向量值函數(shù)fD(x;d)關(guān)于第二分量是正齊次的，即fD(x;rd)=rfD(x;d)，?r>0．

定義4[8]設(shè)K是Rn的非空子集，映射η:K×K→Rn，h:K→R是實值函數(shù)，hD:K×Rn→R是雙變量函數(shù)．若對?x,y∈K，滿足h(y)-h(x)≥hD(x;η(y,x))，則稱函數(shù)h是關(guān)于η的D+-不變凸函數(shù)．若對?x,y∈K，且x≠y，滿足h(y)-h(x)>hD(x;η(y,x))，則稱函數(shù)h是關(guān)于η的嚴格D+-不變凸函數(shù)．若對?x,y∈K，且x≠y，滿足

h(y)

則稱函數(shù)h是關(guān)于η的D+-偽不變凸函數(shù)．若對?x,y∈K，且x≠y，滿足

h(y)≤h(x)?hD(x;η(y,x))<0(或hD(x;η(y,x))≥0?h(y)>h(x))，

則稱函數(shù)h是關(guān)于η的嚴格D+-偽不變凸函數(shù)．

顯然D+-不變凸函數(shù)、嚴格D+-不變凸函數(shù)和嚴格D+-偽不變凸函數(shù)均是D+-偽不變凸函數(shù)．

x≥Cy?x-y∈C；xCy?x-y?C;

x≥intCy?x-y∈intC；xintCy?x-y?intC.

引理1[12]對?a,b,c∈Rl，有下列關(guān)系成立

a≥Cb,aintCc?bintCc;a≥intCb,aintCc?bCc;

a≥Cb,aC{0}c?bC{0}c;cC{0}b,a≥C{0}b?cCa.

注4 若以-b替換b，0替換c，由上述關(guān)系可得

a+b≥C0,aintC0?bintC0;a+b≥intC0,aintC0?bC0;

a+b≥C0,aC{0}0?bC{0}0;a+b≥C{0}0,bC{0}0?aC0.

定義5[8]設(shè)h=(h1,…,hl):K×Rn→Rl是雙變量向量值函數(shù).若對?x,y∈K，滿足

h(x;η(y,x))C{0}0?h(y;η(x,y))C{0}0(或h(y;η(x,y))≥C{0}0?h(x;η(y,x))≤C{0}0)，

則稱h關(guān)于η是C-偽單調(diào)映射．若對?x,y∈K，滿足

h(x;η(y,x))intC0?h(y;η(x,y))intC0(或h(y;η(x,y))≥intC0?h(x;η(y,x))≤intC0)，

h(x;d1)+h(x;d2)+…+h(x;dm)≥C0，

則稱h是C-真次奇性的．

定義6[8]設(shè)h=(h1,…,hl):K×Rn→Rl是雙變量向量值函數(shù).若對?x,y∈K，?t∈(0,1)，滿足

h(x+tη(y,x);η(y,x))C{0}0?h(x;η(y,x))C{0}0

則稱h是η-上符號連續(xù)的．若對?x,y∈K，?t∈(0,1)，滿足

h(x+tη(y,x);η(y,x))intC0?h(x;η(y,x))intC0，

則稱h是弱η-上符號連續(xù)的．

定義9[6]設(shè)f=(f1,…,fl):Rn→Rl是向量值函數(shù)，向量優(yōu)化問題(記為VOP)是指

minf(x), s.t.,x∈K.

這里f(x)=(f1(x),…,fl(x))．

顯然向量優(yōu)化問題的每個有效解都是其弱有效解．

2 主要結(jié)果

(1)η滿足條件C；

(2)fD是C-真次奇性的并且關(guān)于η是C-偽單調(diào)的；

(3)fD是η-上符號連續(xù)的并且關(guān)于第二分量是正齊次的．

這表明NSVVLIP的解是NMVVLIP的解．

(1)

由于η滿足條件C并且fD關(guān)于第二分量是正齊次的，可得

(2)

由fD的C-真次奇性得

(3)

(1)η滿足條件C；

(2)fD是C-真次奇性的并且關(guān)于η是弱C-偽單調(diào)的；

(3)fD是弱η-上符號連續(xù)的并且關(guān)于第二分量是正齊次的．

證與定理1的證明類似，略．

所以

由定理3和引理2顯然可以得到下面的推論．

由定理1和推論1顯然可以得到下面的推論．

(1)η滿足條件C；

(2)fi，i∈I是關(guān)于η的D+-不變凸函數(shù)；

(3)fD是C-真次奇性的并且關(guān)于η是C-偽單調(diào)的；

(4)fD是η-上符號連續(xù)的并且關(guān)于第二分量是正齊次的．

(4)

令t→0+并且兩邊同取limsup，得到

由定理2和4顯然可以得到下面推論．

(1)η滿足條件C；

(2)fi，i∈I是關(guān)于η的D+-偽不變凸函數(shù)；

(3)fD是C-真次奇性的并且關(guān)于η是弱C-偽單調(diào)的；

(4)fD是弱η-上符號連續(xù)的并且關(guān)于第二分量是正齊次的．

(1)η是反對稱函數(shù)并且滿足條件C；

(2)fD是C-真次奇性的并且關(guān)于η是C-偽單調(diào)的；

(3)fD關(guān)于第二分量是正齊次的．

(5)

因η滿足條件C并且fD關(guān)于第二分量是正齊次的，上式可得

(6)

由fD的C-真次奇性得

(7)

由(5)、(6)兩式并結(jié)合注4得

(8)

(9)

把(9)式代入(8)式并結(jié)合fD關(guān)于第二分量是正齊次性可得

即

由于fD關(guān)于η是C-偽單調(diào)，所以

利用(9)式并結(jié)合fD關(guān)于第二分量是正齊次性可得

(1)η是反對稱函數(shù)并且滿足條件C；

(2)fD是C-真次奇性的并且關(guān)于η是弱C-偽單調(diào)的；

(3)fD關(guān)于第二分量是正齊次的．

(10)

因η滿足條件C并且fD關(guān)于第二分量是正齊次的，上式可得

(11)

根據(jù)(11)式、fD的C-真次奇性和注4可得

(12)

由條件C得

(13)

把(13)式代入(12)式并結(jié)合fD關(guān)于第二分量是正齊次的，可得

由于fD關(guān)于η是弱C-偽單調(diào)，所以

由fD關(guān)于第二分量是正齊次的、η是反對稱性函數(shù)和(4)式可得

由推論2和定理5顯然可得下面推論．

(1)η是反對稱函數(shù)并且滿足條件C；

(2)fi，i∈I是關(guān)于η的D+-不變凸函數(shù)；

(3)fD是C-真次奇性的并且關(guān)于η是C-偽單調(diào)的；

(4)fD是η-上符號連續(xù)的并且關(guān)于第二分量是正齊次的．

由推論3和定理6顯然可得下面推論．

(1)η是反對稱函數(shù)并且滿足條件C；

(2)fi，i∈I是關(guān)于η的D+-偽不變凸函數(shù)；

(3)fD是C-真次奇性的并且關(guān)于η是弱C-偽單調(diào)的；

(4)fD是弱η-上符號連續(xù)的并且關(guān)于第二分量是正齊次的．

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(編輯 沈小玲)

Nonsmooth Vector Variational-Like Inequalities and Vector Optimization Problems

ZHAOLiang,LIUXue-wen*

(College of Mathematics Science, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

Some relationships among solutions of nonsmooth Minty (weak) vector variational-like inequalities, solutions of nonsmooth Stampacchia (weak) vector variational-like inequalities and solutions of perturbed nonsmooth Stampacchia (weak) vector variational-like inequalities are discussed involving Dini upper directional derivative under nonsmooth invexity.Moreover,some equivalent conditions between solutions to these three kinds of vector variational-like inequalities problems and (weakly) efficient solution to the vector optimization problems are obtained.

variational-like inequalities; vector optimization problems; Dini directional derivative;C-pseudomonotone; efficient solution

2012-11-01

國家自然科學(xué)基金資助項目(11001289);重慶市教委科研資助項目(KJ100608)

*

,E-mailxuewenliu@cqnu.edu.cn

O224

A

1000-2537(2014)01-0069-07