阻尼最速落徑問(wèn)題和約束與運(yùn)動(dòng)定理的聯(lián)系

丁光濤

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,蕪湖 241000)

1 引 言

變分法在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和工程科學(xué)中扮演著重要的角色,在分析力學(xué)的新進(jìn)展中變分原理仍是熱點(diǎn)課題[1?5].最早提出的變分命題就是最速落徑問(wèn)題,設(shè)重力場(chǎng)中不在同一鉛垂線上兩點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)從上一點(diǎn)沿一光滑曲線自由滑動(dòng)到下一點(diǎn),確定下滑時(shí)間最短的曲線問(wèn)題就是最速落徑問(wèn)題,這是一種最簡(jiǎn)單的變分問(wèn)題.近年來(lái)有相當(dāng)多的對(duì)阻尼系統(tǒng)的研究,主要涉及積分和Lagrange力學(xué)逆問(wèn)題[6?10],本文將阻尼運(yùn)動(dòng)的研究拓展到最速落徑變分問(wèn)題.為此,我們從兩個(gè)方向拓展最速落徑問(wèn)題:一是質(zhì)點(diǎn)從始點(diǎn)以某一初速度開始下滑,而不是從靜止自由下滑情況;二是阻尼媒質(zhì)中的最速落徑問(wèn)題[3],給出了這個(gè)問(wèn)題的求解方法.在討論這兩個(gè)拓展問(wèn)題時(shí),指出了約束條件與系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)定理以及守恒定律之間的關(guān)聯(lián),這實(shí)質(zhì)上是一種新的構(gòu)成約束的機(jī)理,并且得到如下結(jié)論,即微分形式運(yùn)動(dòng)定理的可積和不可積與這種約束的完整和非完整相對(duì)應(yīng).

2 初速度不為零的最速落徑問(wèn)題

2.1 自由下滑的最速落徑問(wèn)題

質(zhì)點(diǎn)沿鉛垂平面內(nèi)光滑曲線y=y(x),從A開始自由下滑到不在同一鉛垂線上的B點(diǎn),取x軸為水平軸,y軸鉛垂向下,質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)P(x,y)點(diǎn)速度為v,則該過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間為

式中y′=dy/dx.變量y和v之間存在關(guān)系可以根據(jù)動(dòng)能定理確定

設(shè)在A點(diǎn)y=0,v=0,質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m.直接積分(2)式得到

代入(1)式得到

這就是最速落徑問(wèn)題的泛函,它的極小值對(duì)應(yīng)的曲線就是最速落徑––旋輪線.

2.2 初速度為v0的最速落徑問(wèn)題

設(shè)質(zhì)點(diǎn)開始下滑的速度不為零,即在A點(diǎn)y=0,v=v0,則積分式(2)得到

這表明變量y和v之間關(guān)系與初始條件相關(guān).與(5)式對(duì)應(yīng)的泛函(4)變換為引入簡(jiǎn)單的變量變換這個(gè)問(wèn)題就變換成自由下滑的最速落徑問(wèn)題.

3 阻尼媒質(zhì)中的最速落徑問(wèn)題

由于質(zhì)點(diǎn)在阻尼媒質(zhì)中運(yùn)動(dòng),故質(zhì)點(diǎn)所受主動(dòng)力除了重力外,還有阻尼力mR(v),其大小是速度的函數(shù),方向與速度相反.這里仍然討論從A點(diǎn)自由下滑,方程(1)成立,但是聯(lián)系v和y的動(dòng)能定理方程(2)應(yīng)當(dāng)改寫成

式中

(7)式與(2)式的重要區(qū)別在于(7)式不能直接積分.將y和v看作x的函數(shù),由(7)式對(duì)x求微商得到

式中v′=dv/dx,y和v之間的關(guān)系由上述微分方程表示.

(3)和(5)式由(2)式直接積分導(dǎo)出,并且利用初始條件式確定了積分常數(shù),這兩個(gè)方程都相當(dāng)于變量y和v之間的一個(gè)完整約束,因此可以在泛函中消去變量v.(9)式也來(lái)自于動(dòng)能定理(7),可以看作y和v之間的一個(gè)非完整約束條件,因此,阻尼最速落徑問(wèn)題就是帶有非完整約束條件的變分問(wèn)題,這種問(wèn)題可以引入不定乘子來(lái)求解.

引入不定乘子λ,則從(1)和(9)式導(dǎo)出如下泛函:

對(duì)應(yīng)的Lagrange函數(shù)為

L?中不顯含y和x,故由此得到一個(gè)循環(huán)積分

和一個(gè)Jacobi積分

從上述兩個(gè)積分可以導(dǎo)出新的積分

解(14)式,可以得到λ和v之間的函數(shù)關(guān)系

由Lagrange函數(shù)(11),可以導(dǎo)出對(duì)應(yīng)于變量v的運(yùn)動(dòng)方程

從(12)和(13)式可以得到

由(12)和(16)式可以導(dǎo)出

從(17)和(18)式導(dǎo)出

將(15)式λ=λ(v)代人(19)式后,積分得到以 v為參數(shù)的阻尼最速落徑參數(shù)方程

積分常數(shù)由端點(diǎn)條件

確定.

4 約束與運(yùn)動(dòng)定理相聯(lián)系的意義

經(jīng)典力學(xué)中約束是重要的概念,尤其在分析力學(xué)中可以說(shuō)是奠基性的概念,然而在涉及約束特別是非完整約束的一些基本問(wèn)題時(shí)仍然存在分歧和爭(zhēng)議,文獻(xiàn)[9]及其中收錄的大量參考文獻(xiàn),充分反映了我國(guó)力學(xué)界從上個(gè)世紀(jì)80年代末以來(lái),在這個(gè)領(lǐng)域里的爭(zhēng)鳴、討論和取得的多方面進(jìn)展.但是,傳統(tǒng)的對(duì)約束的研究更多地集中在約束的數(shù)學(xué)層面上,例如,約束方程、Pfaff約束的可積性、微分約束的幾何性質(zhì)以及變分微分的交換性等問(wèn)題上,然而,約束不是單純的數(shù)學(xué)問(wèn)題,而是綜合的力學(xué)物理學(xué)問(wèn)題,80年代以來(lái)的討論說(shuō)明僅僅在數(shù)學(xué)層面上研究約束是不夠的,應(yīng)當(dāng)重視約束力的分析,重視約束條件的實(shí)現(xiàn)方式以及約束的力學(xué)和物理本質(zhì)的研究.關(guān)于第一積分作為非完整約束的研究[10],實(shí)際上已經(jīng)把約束和系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律聯(lián)系起來(lái),本文在一定意義上是上述研究過(guò)程的繼續(xù),得到的結(jié)論表明有些系統(tǒng)的約束條件,并不是來(lái)自具體機(jī)構(gòu)的限制,不是來(lái)自控制機(jī)理的調(diào)節(jié),不是來(lái)自特殊類型力的作用,而是正常系統(tǒng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的表現(xiàn);不僅一些系統(tǒng)的某些運(yùn)動(dòng)積分可以看作約束,而且直接從運(yùn)動(dòng)定理就能夠構(gòu)成約束,特別是微分形式的運(yùn)動(dòng)定理是否能夠直接積分分別對(duì)應(yīng)著完整和非完整約束,顯然,這是一種新型的約束.

5 結(jié) 論

1)本文討論了經(jīng)典最速落徑問(wèn)題的兩種拓展問(wèn)題:一是下滑初速不為零的最速落徑問(wèn)題,指出通過(guò)簡(jiǎn)單的坐標(biāo)變換,這種問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為自由下滑的最速落徑問(wèn)題;二是受到阻尼力作用的最速落徑問(wèn)題,我們完善了文獻(xiàn)[3]中求解該問(wèn)題的步驟和方法.

2)在討論最速落徑問(wèn)題的過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)這也是一種約束條件下的變分問(wèn)題.在相關(guān)泛函被積式中所出現(xiàn)的力學(xué)變量之間存在的約束條件,實(shí)質(zhì)上是運(yùn)動(dòng)定理的表現(xiàn),其中有些可以直接積分而成為有限形式,甚至就是守恒定律,對(duì)應(yīng)的守恒量數(shù)值由初始條件確定;有些不能直接積分,保持著微分或微商形式.這些變量之間的動(dòng)力學(xué)關(guān)系構(gòu)成了系統(tǒng)變量之間的約束條件,其中傳統(tǒng)的最速落徑問(wèn)題中,可以直接積分成為有限形式,是完整約束;而阻尼最速落徑問(wèn)題中不能積分成為有限形式,是非完整約束.

3)阻尼最速落徑問(wèn)題中出現(xiàn)的約束是一種新型的約束,這種系統(tǒng)內(nèi)在的約束條件,源于系統(tǒng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律,文獻(xiàn)[11]指出“當(dāng)應(yīng)用基本原理推導(dǎo)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí),約束本身的性質(zhì)有極大影響. ······因此,必須研究和區(qū)分約束的類型.” “按約束的實(shí)現(xiàn)可分為被動(dòng)約束與主動(dòng)約束.被動(dòng)約束是靠接觸或摩擦被動(dòng)地實(shí)現(xiàn)的.主動(dòng)約束是靠輔助能源主動(dòng)地實(shí)現(xiàn)的,如伺服約束.”然而,本文指出的約束不同于上述主動(dòng)和被動(dòng)約束.這種新型的約束對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式,以及選取研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的方法有什么影響;以及在力學(xué)和物理學(xué)層面上約束本質(zhì)的多樣性,與非完整力學(xué)中處理非完整約束的多種模型之間,是否存在相關(guān)性,存在什么樣的相關(guān)性等問(wèn)題都值得進(jìn)一步深入研究.

[1]Courant R,Hilbert D(translated by Qian M,Guo D R)1958 Methods of Mathematical Physics Vol.I(Beijing:Science Press)pp129–135(in Chinese)[柯朗 R, 希伯爾特D著(錢敏郭敦仁譯)1958數(shù)學(xué)物理方法卷I(北京:科學(xué)出版社)第129—135頁(yè)]

[2]Goldstein H,Poole C,Safko J 2005 Classical Mechanics(3rd Ed.)(Beijing:Higher Education Press)

[3]Smirnov V E(translated by Chen C Z)1958 Textbook of Higher Mathematics Vol.IV-I(Beijing:People Education Press)pp232–234(in Chinese)[斯米爾諾夫 V E 著(陳傳璋譯)1958高等數(shù)學(xué)教程第四卷第一分冊(cè)(北京:人民教育出版社)第232—234頁(yè)]

[4]Zhang H B,Chen L Q,Liu R W 2005 Chin.Phys.B 14 1063

[5]Zhang H B,Chen L Q,Gu S L,Liu C Z 2007 Chin.Phys.16 582

[6]Musielak Z E 2008 J.Phys.A:Math.Their.41 055205

[7]Cieslinski J L,Nikiciuk T 2010 J.Phys.A:Math.Their.43 175205

[8]Ding G T 2011 Acta Phys.Sin.60 044503(in Chinese)[丁光濤 2011物理學(xué)報(bào) 60 044503]

[9]Ding G T 2012 Acta Phys.Sin.61 020204(in Chinese)[丁光濤 2012物理學(xué)報(bào) 61 020204]

[10]Ding G T 2013 Acta Phys.Sin.62 064501(in Chinese)[丁光濤 2013物理學(xué)報(bào) 62 064501]

[11]Luo S K,Zhang Y F 2008 Advances in the Study of Dynamics of Constrained Systems(Beijing:Science Press)(in Chinese)[羅紹凱,張永發(fā)2008約束系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展(北京:科學(xué)出版社)]