考慮橫法向熱應變的C0型Reddy層合梁理論

吳 振，范曉燕

(1.沈陽航空航天大學 航空航天工程學部(院)，沈陽 110136； 2.遼寧省飛行器復合材料結構分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136)

考慮橫法向熱應變的C0型Reddy層合梁理論

吳 振1,2，范曉燕1

(1.沈陽航空航天大學 航空航天工程學部(院)，沈陽 110136； 2.遼寧省飛行器復合材料結構分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136)

考慮橫法向熱變形和自由表面條件，發(fā)展了C0型Reddy層合梁理論?？紤]了橫法向熱應變，發(fā)展的C0型Reddy層合梁理論沒有增加額外位移變量。發(fā)展模型的位移場不含有橫向位移一階導數，方便構造多節(jié)點高階單元?；谔撐灰圃?，推導出復合材料層合梁的平衡方程并分析簡支復合材料層合/夾層梁熱膨脹問題。數值結果表明，建立的模型能準確分析復合材料層合/夾層梁熱膨脹問題。然而，忽略橫法向熱應變的理論誤差較大。

C0型Reddy層合梁理論；熱膨脹；層合/夾層梁；解析解；熱應力

由于其具有高強度和低密度、抗疲勞和耐腐蝕等優(yōu)良特性，復合材料層合結構廣泛應用于先進的飛行器和航空航天結構中。復合材料層合結構通常處于熱環(huán)境狀態(tài)，這使得復合材料構件不僅受力載荷作用，還受溫度載荷作用。由于溫度變化和各層的熱膨脹系數不協調，復合材料層合結構會出現較大熱變形和熱應力，從而可能導致結構破壞失效。因此，復合材料層合結構的結構設計中必須考慮溫度變化引起的熱應力。

通過使用橫向剪切應力自由表面條件，Reddy[1]發(fā)展了三階理論，即Reddy理論。Reddy理論不需使用剪切修正系數，橫向剪應力沿板厚度方向呈拋物線分布。Khdeir和Reddy[2]研究了正交鋪設復合材料矩形層合板的熱彈性響應?；赗eddy理論，Shahrokh 等[3]提出了圓形/環(huán)形板壓電層自由振動的精確解。陳萬吉等[4]建立了基于新修正偶應力理論的復合材料Reddy板理論模型?；赗eddy理論各國學者正開展大量研究及應用[5]。由于Reddy理論有效且簡單，Reddy理論廣泛應用于復合材料層合結構中。然而，Reddy理論位移場含有橫向位移一階導數，難以構造多節(jié)點高階單元。

為了解決Reddy理論難以構造多節(jié)點高階協調單元問題，Bhar等[6]發(fā)展了C0型Reddy理論，并分析了復合材料層合/夾層結構的彎曲問題。此理論位移場不含有橫向位移一階導數，構造有限元時避免使用C1型插值函數，便于構造多節(jié)點高階協調單元。然而，C0型Reddy理論[6]忽略了橫法向熱應變，以至于不能準確分析復合材料層合結構的熱膨脹問題。為了推廣C0型Reddy理論[6]分析復合材料層合/夾層結構熱膨脹問題，本文建立了考慮橫法向熱應變的C0型Reddy層合梁理論模型。由于考慮了橫法向熱應變，本文建議的理論模型能準確分析復合材料層合/夾層梁熱膨脹問題，而且不增加額外位移變量。如果不考慮溫度載荷，此理論能自動退化為C0型Reddy層合梁理論[6]。數值結果表明：對于復合材料層合/夾層梁熱膨脹問題，本文建議的模型精度高于C0型Reddy層合梁理論[6]。

1 理論公式

為了考慮橫法向應變，本文將溫度變化引起的橫法向熱應變引入到橫向位移場。由溫度變化引起的橫法向熱應變可寫為[7]：

(1)

ΔT(x,z)=f(z)T(x)

其中，f(z)為沿厚度方向分布溫度構形，T(x)為溫度面內分布函數。

沿厚度方向積分方程(1)，可得到溫度變化產生的橫法向熱變形：

(2)

1.1 三階理論(TOT)

使用泰勒級數展開，面內位移沿厚度方向取三次多項式，而橫向位移沿厚度方向假定為常數。則三階理論(TOT)的位移場為[8]：

u=u0+zu1+z2u2+z3u3

w=w0

(3)

1.2 Reddy層合梁理論(RT)

基于三階理論(TOT)，使用橫向剪切自由表面條件，可獲得Reddy層合梁理論[1]：

w=w0

(4)

1.3 C0型Reddy層合梁理論(RT-C0)[6]

基于三階理論(TOT)，使用橫向剪切自由表面條件消去橫向位移的一階導數獲得C0型Reddy層合梁理論的位移場：

u=u0+Ψ1u1+Ψ2u3

w=w0

(5)

其中，Ψ1=z，Ψ2=z2。

1.4 考慮橫法向熱應變的C0型Reddy層合梁理論

為了分析復合材料層合/夾層梁的熱膨脹問題，通過將橫法向熱應變引入三階理論(TOT)的橫向位移中，考慮橫法向熱應變的C0型Reddy層合梁理論初始位移場可寫為：

u=u0+zu1+z2u2+z3u3

橫向剪切應變表達式為：

(6)

通過使用橫向剪切應變自由表面條件，消去橫向位移一階導數，考慮橫法向熱應變的C0型Reddy層合梁理論公式為：

(7)

其中，

公式(7)表明，如果不考慮溫度載荷，本文發(fā)展的模型自動退化為不考慮橫法向應變的C0型Reddy理論[6]。根據位移-應變關系，可得到考慮橫法向熱應變的C0型Reddy層合梁理論的應變：

(8)

公式(8)表明，溫度項對面內應變和橫向剪切應變均有影響，因此C0型Reddy層合梁理論分析復合材料層合/夾層梁的熱膨脹問題精度較高。

1.5 考慮橫法向熱應變的C0型Reddy層合梁理論的解析解

考慮橫向剪切變形的熱彈性本構關系可表示為：

(9)

αx表示為沿x軸方向的熱膨脹系數，ΔT表示溫度變化，Q為偏軸剛度系數矩陣，

其中m=cosφk，n=sinφk,(φk為鋪設角)

使用虛位移原理可得到平衡方程。虛功方程可寫成：

δU-δW=0

(10)

其中：δU為變形所產生的變形能，δW為外力所做的虛功。

(11)

其中，Px和Pz分別為作用在x和z方向上的外載荷，對于只有熱載荷作用下的復合材料層合結構，Px=Pz=0，因此δW=0，從而δU=0。

把公式(7)代入幾何方程，然后代入公式(11)，并使用分步積分，可得到平衡方程為：

(12)

為檢驗本文發(fā)展的考慮橫法向熱應變的C0型Reddy層合梁理論的性能，將研究在熱載荷作用下的簡支梁，其邊界條件為[9]：

(13)

滿足邊界條件的未知位移變量可假設如下形式：

(14)

其中，α=mπ/l，(位移模數m=1,2,3,…,∞)

(15)

其中，

通過求解方程(15)得到u0m,u1m,u3m,w0m。

面內位移和面內應力可分別表示為：

(16)

x=l/2

由于考慮橫法向熱應變的C0型Reddy層合梁理論為單層理論，沒有考慮層間應力連續(xù)條件。因此，不能直接應用本構方程計算層間應力。為了獲得準確橫向剪切應力，三維平衡方程方法將被使用。后處理得到的橫向剪切應力可表示為：

(17)

2 算例與分析

為驗證考慮橫法向熱應變的C0型Reddy層合梁理論性能，將研究兩邊簡支復合材料層合/夾層梁的熱膨脹問題。梁的長度為l，厚度為h。圖1給出受熱載荷作用下的簡支梁。

圖1 簡支梁的受力示意圖

2.1 復合材料層合梁的熱膨脹問題

在溫度場函數ΔT=T0sin(πx/l)的影響下，分析兩邊簡支三層[0°/90°/0°]復合材料層合梁的熱膨脹問題。材料常數[10]：EL=181 GPa，ET=10.3 GPa，GLT=7.17 GPa，GTT=2.87 GPa，vLT=0.28，vTT=0.33，αL=0.02×10-6/K，αT=22.5×10-6/K；其中L表示纖維方向，T表示垂直纖維方向。

圖2給出對稱三層梁[0°/90°/0°]面內應力沿厚度方向分布。結果表明，考慮橫法向熱應變的C0型Reddy層合梁理論的計算結果與解析解[11]基本一致。然而，忽略橫法向熱應變的Reddy理論(RT)和C0型Reddy理論(RT-C0)計算的結果精度較低。圖3給出了基于不同理論模型

圖2 沿厚度方向分布面內應力(l/h=5)

計算的橫向剪切應力比較，數值結果表明三種理論計算橫向剪切應力精度相當。

圖3 沿厚度方向分布橫向剪切應力(l/h=5)

2.2 復合材料夾層梁熱膨脹問題

在熱載荷ΔT=T0sin(πx/l)作用下復合材料夾層梁熱膨脹問題。材料常數[11]：表面層(h/10×2)：EL=E0，ET=0.04E0，GLT=0.008E0，GTT=0.02E0，vLT=0.25，E0=144.8 GPa，αL=0.139×10-6/K，αT=9×10-6/K；

位移和應力進行無量綱化：

此例題研究復合材料夾層梁[0°/core/0°]熱膨脹問題，圖4-6分別是夾層梁面內位移，面內應力和橫向剪切應力沿厚度方向的分布圖，結果表明考慮橫法向熱應變的C0型Reddy層合梁理論計算結果與解析解[11]符合較好。而Reddy理論(RT)和C0型Reddy理論(RT-C0)計算的結果精度較低。對于復合材料夾層梁的熱膨脹問題，不能忽略橫法向熱應變。

圖4 沿厚度方向分布面內位移(l/h=5)

圖5 沿厚度方向分布面內應力(l/h=5)

圖6 沿厚度方向分布橫向剪切應力(l/h=5)

3 結論

為推廣C0型Reddy層合梁理論分析復合材料層合結構的熱膨脹問題，本文發(fā)展了考慮橫法向熱應變的C0型Reddy層合梁理論。基于虛位移原理，本文推導了復合材料層合梁平衡方程，并給出了簡支梁熱膨脹問題的解析解。通過分析復合材料層合/夾層梁熱膨脹問題，可得出如下結論：

(1)由于忽略橫法向熱應變，Reddy理論(RT)和C0型Reddy理論(RT-C0)不能準確計算在溫度載荷作用下復合材料層合梁的面內應力，不能準確計算夾層梁面內位移，面內應力和橫向剪切應力。

(2)考慮橫法向熱應變并滿足橫向剪切應力自由表面條件，本文考慮橫法向熱應變的C0型Reddy層合梁理論能準確分析復合材料層合/夾層梁的熱膨脹問題。發(fā)展的模型與C0型Reddy層合梁理論位移變量個數同樣。

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(責任編輯：宋麗萍 英文審校：劉紅江)

C0-typeReddy′sbeamtheoryconsideringtransversenormalthermalstrain

WU Zhen1,2,FAN Xiao-yan1

(1.Foculty of Aerospace Engineering,Shenyang erospace University,Shenyang 110136,China;2.Key Laboratory of Liaoning Province for Composite Structural Analysis of Aerocraft and Simulation,Shenyang 110136,China)

By considering the transverse normal thermal deformation and the free surface conditions,a C0-type Reddy′s theory for laminated composite beams is proposed.Although transverse normal strain is taken into account,the number of the unknown offset variables in the proposed model is not increased.Moreover,the first derivatives of transverse displacement are taken out from the in-plane displacement fields,so that it is convenient to construct higher-order elements.Based on the principle of virtual displacement,the equations of equilibrium for laminated composite beams are presented,and the thermal expansion problems of laminated composite and sandwich beams are studied.Numerical results show that C0-type Reddy′s beam theory considering transverse normal thermal strain can accurately analyze the thermal expansion problems of laminated composite structures.However,the models neglecting transverse normal strain are less accurate.

C0-type Reddy′s beam theory;thermal expansion;laminated composite and sandwich beams;analytical solution;thermal stress

2014-01-03

國家自然科學基金(項目編號：11272217)；遼寧高校優(yōu)秀人才支持項目(項目編號：LR201033)

吳振(1977-)，男，黑龍江佳木斯人，教授，博士生導師，主要研究方向：復合材料力學研究，E-mail:wuzhenhk@163.com。

2095-1248(2014)03-0009-05

TB12

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2014.03.002