有限元方法研究修正偶應力Mindlin層合板的尺寸效應

陳萬吉，楊勝奇

(沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136)

航空宇航工程

有限元方法研究修正偶應力Mindlin層合板的尺寸效應

陳萬吉，楊勝奇

(沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136)

修正偶應力層合板的模型已由作者提出。受邊界條件和板形狀限制，只能夠研究承受雙正弦載荷四邊簡支板的尺寸效應?；谛拚紤碚?，提出了一種新的板單元，用于分析具有復雜邊界條件的復合材料Mindlin層合板的尺寸效應。該單元是四邊形單元，并能夠同時滿足C0連續(xù)條件和C1弱連續(xù)條件。為了驗證該單元的性能和精度，給出了具有不同邊界條件和載荷的算例。數(shù)值結(jié)果表明，提出的單元不僅能夠捕捉到尺寸效應，而且結(jié)果與已發(fā)表論文中的解析解吻合，具有較高的精度。

四邊形板單元；Mindlin層合板；修正偶應力理論；尺寸效應；材料長度尺寸參數(shù)

復合材料層合板由于其優(yōu)越的力學性能，得到了廣泛的應用。當復合材料層合板進入微米量級時，由于層合板纖維和基體中存在雜質(zhì)，晶格錯位和微裂紋，使得層合板的強度和剛度大于經(jīng)典層合板理論的結(jié)果(這種現(xiàn)象被稱為尺寸效應)。經(jīng)典層合板理論不再適用于研究復合材料層合板的微觀結(jié)構(gòu)。材料的細觀結(jié)構(gòu)理論亟待發(fā)展。許多實驗[1-3]也證實了材料進入微米量級時，微觀結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生尺寸效應。為了解決此問題，人們在傳統(tǒng)連續(xù)體力學基礎(chǔ)上，提出了偶應力理論，應變梯度理論等細觀理論。

本文應用偶應力理論來計算尺寸效應。偶應力理論可以看成一種特殊的應變梯度理論，兩種理論的本構(gòu)關(guān)系可以統(tǒng)一表達為：σij=Cijkl(εkl-12▽2εkl)，其中σij,εij和Cijkl分別是應力張量，應變張量和彈性模量張量。不同在于：偶應力理論用轉(zhuǎn)動來描述曲率(εkl=ωk,l)，而應變梯度理論用應變來描述曲率(εkl=εkl)。

1963年，Mindlin[4]提出了經(jīng)典的偶應力理論，在該理論中，應變是對稱，而曲率不對稱。而且該理論中只含有一個細觀材料長度參數(shù)。1965年，Neuber[5]提出一種偶應力理論，含有四個材料長度尺寸參數(shù)。然而，由于上述理論中曲率不對稱性，使其不便應用于工程實際中。

2002年，Yang[6]提出一種修正偶應力理論，該理論中應變和曲率都是對稱的。2009年，Tsiatas[7]基于修正偶應力理論，建立了Kirchhoff板模型。2011年，Ma等[8]基于修正偶應力理論，建立了Mindlin板模型。2012年，Reddy[9]基于修正偶應力理論，提出了一種高階理論用于分析功能梯度板。2014年，Jung[10]基于修正偶應力，建立了S形功能梯度材料的彈性介質(zhì)納米板。Shaat[11]基于修正偶應力，分析了具有表面效應的Kirchhoff納米板的彎曲問題。Romanoff[12]用網(wǎng)狀芯的夾芯板作為試驗材料，驗證了修正偶應力Timoshenko梁理論。上述偶應力理論僅適用于各向同性材料。

陳萬吉等首次提出適用于各向異性材料的新修正偶應力理論[17]，建立了一系列復合材料層合梁/板模型[13-17]。并基于新修正偶應力，研究了復合材料層合梁/板的振動[18]、穩(wěn)定[19]和大變形[20]問題。

上述文章都是使用解析法來研究偶應力理論，然而尋找具有復雜邊界條件的偶應力的解析解是十分困難的。特別是偶應力層合板，到目前為止，只能夠計算承受雙正弦載荷的四邊簡支板。2013年，Roque[21]用無網(wǎng)格，研究了基于修正偶應力的Mindlin板。同年，Zhang[22]基于修正偶應力，提出了一種Mindlin板單元。

本文基于新修正偶應力理論，提出了一種新的板單元，用于分析復合材料Mindlin層合板的尺寸效應。使用有限元方法來分析偶應力層合板的尺寸效應，則不受邊界條件，載荷和板形狀的限制，而且列式要比解析解簡單。

1 偶應力Mindlin層合板理論公式

1.1 修正偶應力Mindlin層合板的位移場

如圖1所示，建立直角坐標系，Mindlin板的位移場為：

圖1 層合板示意圖

(1)

其中θx和θy分別是截面上繞y軸和x軸的轉(zhuǎn)角(如圖1所示)。

1.2 修正偶應力Mindlin層合板的應變和曲率

Mindlin板的應變和曲率為：

(2)

(3)

1.3 修正偶應力Mindlin層合板的本構(gòu)方程

基于整體坐標(x,y,z)，建立第k層的本構(gòu)方程：

σk=Qkε

(4)

(5)

Qk=TkTCkTk

(6)

其中：

(7)

(8)

(9)

φk是每層的鋪設(shè)角。

2 有限元分析

本文提出的四邊形單元必須同時滿足C0連續(xù)條件和C1弱連續(xù)條件，采用四邊形薄板單元REC4[23]構(gòu)造滿足C0連續(xù)條件的橫向位移函數(shù)w0，采用精化不協(xié)調(diào)元RPQ4[24]構(gòu)造滿足C1連續(xù)條件的橫向位移函數(shù)w*。

2.1 滿足C0連續(xù)條件的橫向位移函數(shù)w0

四邊形薄板單元REC4可以滿足C0連續(xù)條件，REC4的橫向位移函數(shù)w0為：

w0(x,y)=Xβ

(10)

X=[1xyx2xyy2x3x2yxy2y3x3yxy3]

(11)

β={β1β2β3β4β5β6β7β8β9β10β11β12}T

(12)

用12個節(jié)點位移參數(shù)確定參數(shù)β，得：

q=Aβ

(13)

則

β=A-1q

(14)

單元函數(shù)w0可以表示為：

w0(x,y)=XA-1q=Fq

(15)

橫向位移w0的二階導可以寫為：

其中，B=[B1B2B3B4]

(16)

2.2 滿足C′連續(xù)條件的橫向位移函數(shù)w*

四邊形精化不協(xié)調(diào)元RPQ4可以滿足C1連續(xù)條件，RPQ4的橫向位移函數(shù)w*為：

w*=w0+p(Bc-B0)q=F*q

(17)

把公式(15)代入公式(17)，得

F*=F+p(Bc-B0)

(18)

矩陣Bc可以表示為:

Bc=Bca+1.9(Bca-Bcb)

(19)

矩陣Bca可以表示為:

Bca=[Bca1Bca2Bca3Bca4]

(20)

同理，矩陣Bcb可以表示為:

Bcb=[Bcb1Bcb2Bcb3Bcb4]

(21)

通過下標輪換可以求得Bcb2，Bcb3和Bcb4。

2.3 四邊形單元的位移函數(shù)

位移函數(shù)可以由節(jié)點變量和形函數(shù)表示為：

(22)

2.4 四邊形單元的應變和剛度矩陣

基于應變-位移關(guān)系，應變可寫為：

ε=[?]u*=Bqe

(23)

(24)

單元剛度矩陣Ke可以由下式得到，

(25)

3 數(shù)值算例

在本文中，使用提出的四邊形單元分析了兩種Mindlin層合微板的算例。解析解可以用來檢驗有限元法的可靠性，目前，偶應力理論的解析解很少。算例1是承受雙正弦載荷的四邊簡支板，我們已求得解析解，通過比較檢驗了該有限元模型的可靠性和精度，同時用于驗證尺寸效應。算例2是承受均布載荷的四邊固支板，說明使用該單元計算尺寸效應的優(yōu)勢：能夠計算具有不同邊界條件和載荷的Mindlin層合板的尺寸效應，而解析解只能夠計算承受雙正弦載荷的四邊簡支板。網(wǎng)格劃分參見圖1。

圖2 四分之一板網(wǎng)格圖

板的尺寸：板長L=200 μm，厚h=25 μm,q0=1 N/(mm)2，鋪設(shè)角[0°/90°/0°]。

算例1:驗證有限元的可靠性

四邊簡支板承受雙正弦載荷：fw=q0sin(πx/L)sin(πy/L)，邊界條件如表1所示，選取16×16的網(wǎng)格。

表2中列出的材料細觀長度參數(shù)l=h/4時，有限元不同網(wǎng)格的結(jié)果和解析解的比較。為了驗證單元的準確性，修正偶應力Mindlin復合材料層合板的解析解[15]在表2中給出。數(shù)值結(jié)果顯示，本文的有限元法與解析解吻合。

表3列出在16×16網(wǎng)格下，不同材料細觀長度參數(shù)(1=0～1=h)的Mindlin層合板的位移、轉(zhuǎn)角和應力的最大值，用來驗證尺寸效應。結(jié)果表明：隨著材料常數(shù)的增大，偶應力層合板的位移，轉(zhuǎn)角和應力變小。

表1 算例1的邊界條件

表2 位移，轉(zhuǎn)角和應力的最大值(l=h/4)

表3 位移，轉(zhuǎn)角和應力的最大值(網(wǎng)格:16×16)

算例2:有限元法計算偶應力層合板

四邊固支板承受均布載荷：fw=q0，邊界條件如表4所示，選取16×16的網(wǎng)格。

在圖3，4和5，中分別列出了板的位移，轉(zhuǎn)角和應力曲線。數(shù)值結(jié)果顯示，隨著材料常數(shù)的增大，偶應力層合板的位移，轉(zhuǎn)角和應力要比經(jīng)典彈性理論的小(尺寸效應)。說明該單元能夠計算不同邊界條件，不同載荷的偶應力層合板問題。

表4 算例2的邊界條件

圖3 板的位移(y=0.5L)

3 結(jié)論

本文提出了一種新的四邊形板單元，用于分析修正偶應力復合材料Mindlin層合板的尺寸效應。該單元能同時滿足C0連續(xù)條件和C1弱連續(xù)條件。為了驗證該單元的性能和精度，本文給出了具有不同邊界條件和載荷的算例。數(shù)值結(jié)果表明提出的單元不僅能夠捕捉到尺寸效應，而且結(jié)果與已發(fā)表論文中的解析解[10]吻合，具有較高的精度。該單元的提出，拓展了偶應力層合板的研究范圍，能夠研究具有復雜邊界條件的復合材料層合板的尺寸效應，而不僅僅局限于研究承受雙正弦載荷的四邊簡支板。

圖4 板的轉(zhuǎn)角

圖5 板的應力σx和σy(x=L/2,y=L/2)

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(責任編輯：劉劃 英文審校：劉敬鈺)

StudyonthescaleeffectofMindlinlaminatedplatebasedonmodifiedcouplestresstheorybyfiniteelementmethod

CHEN Wan-ji，YANG Sheng-qi

(Key Laboratory of Liaoning Province for Composite Structural Analysis of Aerocraft and Simulation,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

Models of composite laminated plates based on modified couple stress theory have been proposed by authors,but the investigation of the scale effect is limited to a simply supported rectangular plate subject to bending loads offw=q0sin(πx/a)sin(πy/a).In this paper,a novel plate element based on modified couple stress theory is presented to further the study of the scale effects for more complex boundary conditions and load cases on composite Mindlin laminated plate.The present element is a refined quadrilateral one in which theC1weak-continuity condition andC0continuity condition can be satisfied simultaneously.To verify the applicability and accuracy of the present element,examples with various boundary conditions and loads are examined.The numerical results based on the current element can not only capture the scale effects of microstructure,but also coincide with analytical results in the pre-existing literatures with high calculating precision.

rectangular plate element;eddy laminated plate;modified couple stress theory;scale effect;material length scale parameter

2014-04-21

國家自然科學基金(項目編號：11072156)

陳萬吉(1941-)，男，遼寧鞍山人，教授，博士生導師，主要研究方向：多尺度層合板理論，復合材料結(jié)構(gòu)高階理論及工程應用，E-mail:chenwj@dlut.edu.cn。

2095-1248(2014)03-0001-08

TB12

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2014.03.001