“三數(shù)”的選用

陳德前

對(duì)于一組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，都有平均數(shù)和中位數(shù)，有時(shí)有眾數(shù)，但是對(duì)于一組表示實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，這三個(gè)數(shù)不一定都有意義，應(yīng)該關(guān)心哪個(gè)數(shù)，取決于所要調(diào)查的目標(biāo)。

例1 （2013年貴州省貴陽(yáng)市中考題）在端午節(jié)到來(lái)之前，兒童福利院對(duì)全體小朋友愛(ài)吃哪幾種粽子作調(diào)查，以決定最終買哪種粽子。下面的調(diào)查數(shù)據(jù)中最值得關(guān)注的是（ ）

A.方差 B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.眾數(shù)

解析 本題決定最終買哪種粽子，應(yīng)該考慮大部分小朋友喜歡的種類，平均數(shù)受極值干擾，中位數(shù)代表了這組數(shù)據(jù)值大小的“中點(diǎn)”，都不能反映大部分小朋友喜好，而方差反映喜好人數(shù)的波動(dòng)情況，不能反映喜好的集中趨勢(shì)，只有眾數(shù)符合要求。故答案選D。

說(shuō)明 眾數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”。眾數(shù)并沒(méi)有通常意義上的“平均”的含義。但眾數(shù)在數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最頻繁，說(shuō)明該數(shù)值在數(shù)據(jù)中最具有代表性，因而從另一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)據(jù)的集中化趨勢(shì)。眾數(shù)不會(huì)受到極端值的影響，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，我們往往關(guān)心眾數(shù)。通常的“最佳”“最受歡迎”“最暢銷”等的評(píng)選活動(dòng)都是用投票的方法取眾數(shù)得到的。

例2 （2013年山東省濰坊市中考題）在某?！拔业闹袊?guó)夢(mèng)”演講比賽中，有9名學(xué)生參加決賽，他們決賽的最終成績(jī)各不相同。其中的一名學(xué)生要想知道自己能否進(jìn)入前5名，不僅要了解自己的成績(jī)，還要了解這9名學(xué)生成績(jī)的（ ）

A.眾數(shù) B.方差 C.平均數(shù) D.中位數(shù)

解析 9名選手的得分各不相同，則這組得分的中位數(shù)為第5名的分?jǐn)?shù)，要想知道自己能否進(jìn)入前5名，必須將自己的成績(jī)與第5名成績(jī)相對(duì)比，知道第5名的分?jǐn)?shù)和自己的分?jǐn)?shù)，就可判斷能否進(jìn)入前5名，故答案選D。

說(shuō)明 中位數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的中等水平。

例3 （2013年四川省巴中市中考題）體育課上，某班兩個(gè)同學(xué)分別進(jìn)行了5次短跑訓(xùn)練，要判斷哪一個(gè)同學(xué)的成績(jī)比較穩(wěn)定，通常需要比較兩個(gè)同學(xué)成績(jī)的（ ）

A.平均數(shù) B.方差 C.頻數(shù)分布 D.中位數(shù)

解析 由于方差能反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，需要比較這兩個(gè)同學(xué)5次短跑訓(xùn)練成績(jī)的方差。故答案選B。

說(shuō)明 要判斷哪兩個(gè)同學(xué)的成績(jī)比較穩(wěn)定，通常需要比較這兩個(gè)同學(xué)的多次成績(jī)的方差。

例4 某校舉辦校園歌詠比賽，選出10個(gè)同學(xué)擔(dān)任評(píng)委，并事先擬定從如下四種方案中選擇合理方案來(lái)確定演唱者的最后得分（每個(gè)評(píng)委打分最高為10分） 。

方案1：所有評(píng)委給分的平均分；

方案2：在所有評(píng)委中，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，再計(jì)算剩余評(píng)委的平均分；

方案3：所有評(píng)委給分的中位數(shù)；

方案4：所有評(píng)委給分的眾數(shù)。

為了探究上述方案的合理性，先對(duì)某個(gè)同學(xué)的演唱成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，上圖是這個(gè)同學(xué)的得分統(tǒng)計(jì)圖：

（1）分別按上述四種方案計(jì)算這個(gè)同學(xué)演唱的最后得分；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)說(shuō)明哪些方案不適合作為這個(gè)同學(xué)演唱的最后得分？

分析 （1）平均分等于總分?jǐn)?shù)除以總?cè)藬?shù)，中位數(shù)是第5個(gè)和第6個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，即（8+8）÷2=8，出現(xiàn)次數(shù)最多的分?jǐn)?shù)是8和8.4，所以眾數(shù)是8和8.4；（2）方案一受極值影響，方案4不符合實(shí)際意義。

解 （1）方案1最后得分：×（3.2+7.0+7.8+3×8+3×8.4+9.8）=7.7；方案2最后得分：×（7.0+7.8+3×8+3×8.4）=8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4。

（2）因?yàn)榉桨?中的平均數(shù)受極端數(shù)值的影響，不能反映這組數(shù)據(jù)的“平均水平”，所以方案1不適合作為最后得分的方案。因?yàn)榉桨?中的眾數(shù)有兩個(gè)，眾數(shù)失去了實(shí)際意義，所以方案4不適合作為最后得分的方案。

說(shuō)明 解決這類問(wèn)題，首先讀懂統(tǒng)計(jì)圖的橫縱坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義。利用“三數(shù)”解題時(shí)，要看是否受極值影響的同時(shí)，還要考慮實(shí)際意義。

對(duì)于一組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，都有平均數(shù)和中位數(shù)，有時(shí)有眾數(shù)，但是對(duì)于一組表示實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，這三個(gè)數(shù)不一定都有意義，應(yīng)該關(guān)心哪個(gè)數(shù)，取決于所要調(diào)查的目標(biāo)。

例1 （2013年貴州省貴陽(yáng)市中考題）在端午節(jié)到來(lái)之前，兒童福利院對(duì)全體小朋友愛(ài)吃哪幾種粽子作調(diào)查，以決定最終買哪種粽子。下面的調(diào)查數(shù)據(jù)中最值得關(guān)注的是（ ）

A.方差 B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.眾數(shù)

解析 本題決定最終買哪種粽子，應(yīng)該考慮大部分小朋友喜歡的種類，平均數(shù)受極值干擾，中位數(shù)代表了這組數(shù)據(jù)值大小的“中點(diǎn)”，都不能反映大部分小朋友喜好，而方差反映喜好人數(shù)的波動(dòng)情況，不能反映喜好的集中趨勢(shì)，只有眾數(shù)符合要求。故答案選D。

說(shuō)明 眾數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”。眾數(shù)并沒(méi)有通常意義上的“平均”的含義。但眾數(shù)在數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最頻繁，說(shuō)明該數(shù)值在數(shù)據(jù)中最具有代表性，因而從另一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)據(jù)的集中化趨勢(shì)。眾數(shù)不會(huì)受到極端值的影響，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，我們往往關(guān)心眾數(shù)。通常的“最佳”“最受歡迎”“最暢銷”等的評(píng)選活動(dòng)都是用投票的方法取眾數(shù)得到的。

例2 （2013年山東省濰坊市中考題）在某?！拔业闹袊?guó)夢(mèng)”演講比賽中，有9名學(xué)生參加決賽，他們決賽的最終成績(jī)各不相同。其中的一名學(xué)生要想知道自己能否進(jìn)入前5名，不僅要了解自己的成績(jī)，還要了解這9名學(xué)生成績(jī)的（ ）

A.眾數(shù) B.方差 C.平均數(shù) D.中位數(shù)

解析 9名選手的得分各不相同，則這組得分的中位數(shù)為第5名的分?jǐn)?shù)，要想知道自己能否進(jìn)入前5名，必須將自己的成績(jī)與第5名成績(jī)相對(duì)比，知道第5名的分?jǐn)?shù)和自己的分?jǐn)?shù)，就可判斷能否進(jìn)入前5名，故答案選D。

說(shuō)明 中位數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的中等水平。

例3 （2013年四川省巴中市中考題）體育課上，某班兩個(gè)同學(xué)分別進(jìn)行了5次短跑訓(xùn)練，要判斷哪一個(gè)同學(xué)的成績(jī)比較穩(wěn)定，通常需要比較兩個(gè)同學(xué)成績(jī)的（ ）

A.平均數(shù) B.方差 C.頻數(shù)分布 D.中位數(shù)

解析 由于方差能反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，需要比較這兩個(gè)同學(xué)5次短跑訓(xùn)練成績(jī)的方差。故答案選B。

說(shuō)明 要判斷哪兩個(gè)同學(xué)的成績(jī)比較穩(wěn)定，通常需要比較這兩個(gè)同學(xué)的多次成績(jī)的方差。

例4 某校舉辦校園歌詠比賽，選出10個(gè)同學(xué)擔(dān)任評(píng)委，并事先擬定從如下四種方案中選擇合理方案來(lái)確定演唱者的最后得分（每個(gè)評(píng)委打分最高為10分） 。

方案1：所有評(píng)委給分的平均分；

方案2：在所有評(píng)委中，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，再計(jì)算剩余評(píng)委的平均分；

方案3：所有評(píng)委給分的中位數(shù)；

方案4：所有評(píng)委給分的眾數(shù)。

為了探究上述方案的合理性，先對(duì)某個(gè)同學(xué)的演唱成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，上圖是這個(gè)同學(xué)的得分統(tǒng)計(jì)圖：

（1）分別按上述四種方案計(jì)算這個(gè)同學(xué)演唱的最后得分；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)說(shuō)明哪些方案不適合作為這個(gè)同學(xué)演唱的最后得分？

分析 （1）平均分等于總分?jǐn)?shù)除以總?cè)藬?shù)，中位數(shù)是第5個(gè)和第6個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，即（8+8）÷2=8，出現(xiàn)次數(shù)最多的分?jǐn)?shù)是8和8.4，所以眾數(shù)是8和8.4；（2）方案一受極值影響，方案4不符合實(shí)際意義。

解 （1）方案1最后得分：×（3.2+7.0+7.8+3×8+3×8.4+9.8）=7.7；方案2最后得分：×（7.0+7.8+3×8+3×8.4）=8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4。

（2）因?yàn)榉桨?中的平均數(shù)受極端數(shù)值的影響，不能反映這組數(shù)據(jù)的“平均水平”，所以方案1不適合作為最后得分的方案。因?yàn)榉桨?中的眾數(shù)有兩個(gè)，眾數(shù)失去了實(shí)際意義，所以方案4不適合作為最后得分的方案。

說(shuō)明 解決這類問(wèn)題，首先讀懂統(tǒng)計(jì)圖的橫縱坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義。利用“三數(shù)”解題時(shí)，要看是否受極值影響的同時(shí)，還要考慮實(shí)際意義。

對(duì)于一組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，都有平均數(shù)和中位數(shù)，有時(shí)有眾數(shù)，但是對(duì)于一組表示實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，這三個(gè)數(shù)不一定都有意義，應(yīng)該關(guān)心哪個(gè)數(shù)，取決于所要調(diào)查的目標(biāo)。

例1 （2013年貴州省貴陽(yáng)市中考題）在端午節(jié)到來(lái)之前，兒童福利院對(duì)全體小朋友愛(ài)吃哪幾種粽子作調(diào)查，以決定最終買哪種粽子。下面的調(diào)查數(shù)據(jù)中最值得關(guān)注的是（ ）

A.方差 B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.眾數(shù)

解析 本題決定最終買哪種粽子，應(yīng)該考慮大部分小朋友喜歡的種類，平均數(shù)受極值干擾，中位數(shù)代表了這組數(shù)據(jù)值大小的“中點(diǎn)”，都不能反映大部分小朋友喜好，而方差反映喜好人數(shù)的波動(dòng)情況，不能反映喜好的集中趨勢(shì)，只有眾數(shù)符合要求。故答案選D。

說(shuō)明 眾數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”。眾數(shù)并沒(méi)有通常意義上的“平均”的含義。但眾數(shù)在數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最頻繁，說(shuō)明該數(shù)值在數(shù)據(jù)中最具有代表性，因而從另一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)據(jù)的集中化趨勢(shì)。眾數(shù)不會(huì)受到極端值的影響，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，我們往往關(guān)心眾數(shù)。通常的“最佳”“最受歡迎”“最暢銷”等的評(píng)選活動(dòng)都是用投票的方法取眾數(shù)得到的。

例2 （2013年山東省濰坊市中考題）在某?！拔业闹袊?guó)夢(mèng)”演講比賽中，有9名學(xué)生參加決賽，他們決賽的最終成績(jī)各不相同。其中的一名學(xué)生要想知道自己能否進(jìn)入前5名，不僅要了解自己的成績(jī)，還要了解這9名學(xué)生成績(jī)的（ ）

A.眾數(shù) B.方差 C.平均數(shù) D.中位數(shù)

解析 9名選手的得分各不相同，則這組得分的中位數(shù)為第5名的分?jǐn)?shù)，要想知道自己能否進(jìn)入前5名，必須將自己的成績(jī)與第5名成績(jī)相對(duì)比，知道第5名的分?jǐn)?shù)和自己的分?jǐn)?shù)，就可判斷能否進(jìn)入前5名，故答案選D。

說(shuō)明 中位數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的中等水平。

例3 （2013年四川省巴中市中考題）體育課上，某班兩個(gè)同學(xué)分別進(jìn)行了5次短跑訓(xùn)練，要判斷哪一個(gè)同學(xué)的成績(jī)比較穩(wěn)定，通常需要比較兩個(gè)同學(xué)成績(jī)的（ ）

A.平均數(shù) B.方差 C.頻數(shù)分布 D.中位數(shù)

解析 由于方差能反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，需要比較這兩個(gè)同學(xué)5次短跑訓(xùn)練成績(jī)的方差。故答案選B。

說(shuō)明 要判斷哪兩個(gè)同學(xué)的成績(jī)比較穩(wěn)定，通常需要比較這兩個(gè)同學(xué)的多次成績(jī)的方差。

例4 某校舉辦校園歌詠比賽，選出10個(gè)同學(xué)擔(dān)任評(píng)委，并事先擬定從如下四種方案中選擇合理方案來(lái)確定演唱者的最后得分（每個(gè)評(píng)委打分最高為10分） 。

方案1：所有評(píng)委給分的平均分；

方案2：在所有評(píng)委中，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，再計(jì)算剩余評(píng)委的平均分；

方案3：所有評(píng)委給分的中位數(shù)；

方案4：所有評(píng)委給分的眾數(shù)。

為了探究上述方案的合理性，先對(duì)某個(gè)同學(xué)的演唱成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，上圖是這個(gè)同學(xué)的得分統(tǒng)計(jì)圖：

（1）分別按上述四種方案計(jì)算這個(gè)同學(xué)演唱的最后得分；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)說(shuō)明哪些方案不適合作為這個(gè)同學(xué)演唱的最后得分？

分析 （1）平均分等于總分?jǐn)?shù)除以總?cè)藬?shù)，中位數(shù)是第5個(gè)和第6個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，即（8+8）÷2=8，出現(xiàn)次數(shù)最多的分?jǐn)?shù)是8和8.4，所以眾數(shù)是8和8.4；（2）方案一受極值影響，方案4不符合實(shí)際意義。

解 （1）方案1最后得分：×（3.2+7.0+7.8+3×8+3×8.4+9.8）=7.7；方案2最后得分：×（7.0+7.8+3×8+3×8.4）=8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4。

（2）因?yàn)榉桨?中的平均數(shù)受極端數(shù)值的影響，不能反映這組數(shù)據(jù)的“平均水平”，所以方案1不適合作為最后得分的方案。因?yàn)榉桨?中的眾數(shù)有兩個(gè)，眾數(shù)失去了實(shí)際意義，所以方案4不適合作為最后得分的方案。

說(shuō)明 解決這類問(wèn)題，首先讀懂統(tǒng)計(jì)圖的橫縱坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義。利用“三數(shù)”解題時(shí)，要看是否受極值影響的同時(shí)，還要考慮實(shí)際意義。