淺談函數(shù)與方程中的零點問題

劉春秀

摘 要 方程的根與函數(shù)的零點將方程與函數(shù)緊密聯(lián)系在一起，它告訴我們求方程的根可以通過求函數(shù)的零點產(chǎn)生，當然，求函數(shù)的零點也可以通過求方程的根產(chǎn)生。二分法是通過函數(shù)的零點求方程的近似解的一種方法，在用二分法求方程的近似解中均蘊涵了“函數(shù)與方程的思想”和“數(shù)形結(jié)合的思想”。

關(guān)鍵詞 函數(shù) 方程 零點

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）09-0088-02

函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學中的一種基本思想和方法，涉及的知識點多，幾乎滲透到中學數(shù)學的各個領域，也是高考考查的重點，我們只有教會學生去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，才能達到解決問題的目的。函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達到化難為易，化繁為簡的目的。函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的基本思想，也是歷年高考的重點。

函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系十分密切。函數(shù)的思想是分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關(guān)系，利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)將一些方程、不等式的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題。具體體現(xiàn)有求方程的根的問題、不等式問題和某些代數(shù)的問題，巧用函數(shù)的思想，會使問題迎刃而解。方程的思想是分析數(shù)學問題中變量間的等量關(guān)系，利用解方程或方程組進一步去分析問題并解決問題。具體體現(xiàn)有求函數(shù)的值域的問題、解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題都可利用解二元方程組來巧妙解決。

方程的根與函數(shù)的零點將方程與函數(shù)緊密聯(lián)系在一起，他告訴我們求方程的根可以通過求函數(shù)的零點產(chǎn)生，當然，求函數(shù)的零點也可以通過求方程的根產(chǎn)生。二分法是通過函數(shù)的零點求方程的近似解的一種方法，在用二分法求方程的近似解中均蘊涵了“函數(shù)與方程的思想”和“數(shù)形結(jié)合的思想”。

函數(shù)零點的概念是在分析了眾多圖像的基礎上，由圖像與x 軸的位置關(guān)系得到的一個形象的概念，準確認識零點的概念要注意以下幾點：（1）函數(shù)的零點是實數(shù)，是函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標，而不是一個點；（2）函數(shù)y=f（x）的零點也是方程f（x）=0的實數(shù)解；（3）并非所有的函數(shù)都有零點。

判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：（1）函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)y=f（x），當y=0時，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f（x）看做二元方程y-f（x）=0。令f（x）=0直接求出方程的解，有幾個解函數(shù)就有幾個零點，這里涉及到解方程的問題數(shù)零點就是函數(shù)的圖像與x軸的交點的橫坐標就是對應方程的根，函數(shù)有幾個零點對應方程就有幾個根。對于二次函數(shù)的零點非常有研究的價值：它涉及判別式、韋達定理、二次函數(shù)的圖像等重要知識點。研究二次函數(shù)的零點有利于培養(yǎng)學生綜合運用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等多種數(shù)學思想方法（2）如果函數(shù) y=f（x） 在[a，b]上圖象是連續(xù)的，并且在閉區(qū)間的兩個端點上的函數(shù)值互異即f（a）f（b）﹤0，且是單調(diào)函數(shù)，那么，這個函數(shù)在（a，b）內(nèi)必有惟一的一個零點。利用零點存在定理結(jié)合函數(shù)圖像與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）確定函數(shù)零點的個數(shù)；（3）通過函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)，或?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖像交點的個數(shù)來確定函數(shù)零點的個數(shù)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的應用。數(shù)形結(jié)合是一個重要的數(shù)學思想，就是使抽象思維和形象思維相互作用，實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，將抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來研究數(shù)學問題。利用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學問題也與目前提倡的新課程改革的思想是一致的結(jié)合二次函數(shù)的圖象與坐標軸交點的個數(shù)，判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數(shù)；理解二次函數(shù)的零點與一元二次方程根的聯(lián)系。能合理地運用從特殊到一般的方法，歸納出一般函數(shù)零點的概念，感悟函數(shù)與方程的聯(lián)系以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想。

對于函數(shù)零點存在性的定理，首先，我們知道它只能判斷方程的根是存在的，至于方程的根是什么，我們不得而知。其次，當不滿足零點存在性定理的條件時，并不能說函數(shù)的零點一定不存在，這個定理具有局限性。其目的就是通過找函數(shù)的零點來研究方程的根，進一步突出函數(shù)思想的應用，也為二分法求函數(shù)的零點或方程的近似解做好知識上和思想上的準備，讓學生通過感知體驗并加以確認，要結(jié)合具體的實例，加強對定理進行的全面認識。

所謂二分法就是通過不斷地把函數(shù)零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到y(tǒng)=f（x）的零點的近似值的方法。用二分法求函數(shù)的零點或方程的近似解的過程中要注意：首先要選好計算的初始區(qū)間，這個區(qū)間既要符合條件，又要使其長度盡量小，其次要依據(jù)條件給定的精確度檢驗所得到的區(qū)間是否滿足精確度要求，以決定是否停止計算。這當中蘊含了算法思想、符號化、模型化的思想，這些思想是現(xiàn)代數(shù)學的重要思想，是信息技術(shù)與數(shù)學內(nèi)容有機的結(jié)合，在學習中注意體會并加以運用，有利于我們數(shù)學能力的培養(yǎng)，綜合素質(zhì)的提高。

從高考的實際出發(fā)，函數(shù)與方程體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，要準確認識零點的概念，能利用適當?shù)姆椒ㄅ袛嗔泓c的存在或確定零點，在合情推理中讓學生體會到判定定理的重要性，從中體會用函數(shù)系統(tǒng)的角度去思考方程的思想，培養(yǎng)學生自主發(fā)現(xiàn)，探究實踐的能力。

參考文獻：

[1]慕澤剛.函數(shù)與方程的思想方法[J].數(shù)理報，2005，（03）.

[2]楊慶.例談函數(shù)和方程思想在解題中的應用[J].湖北大學成人教育學院學報，2001，（02）.

（責任編輯 劉凌芝）endprint