讓數(shù)學概念教學更精彩

謝志華

數(shù)學概念是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是人們通過實踐，從數(shù)學研究對象的許多屬性中，抽出其本質(zhì)屬性概括而形成的。它是進行數(shù)學推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學思想方法的出發(fā)點。人教版《數(shù)學》八年級上冊《一次函數(shù)》第一節(jié) “變量與函數(shù)”就是一節(jié)概念課課型。函數(shù)是數(shù)學中最重要的基本概念之一，它揭示了現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系之間相互依存和變化的實質(zhì)，是刻畫和研究現(xiàn)實世界變化規(guī)律的重要模型，是初中數(shù)學函數(shù)入門。如何讓枯燥的概念課生動有趣呢？我們一起來欣賞課堂的幾個優(yōu)秀片段：

概念的引入——借助具體事例

師：同學們，很高興今天跟同學們一起探討數(shù)學問題，一起攀登數(shù)學的高峰，說起高峰，世界上最高的山峰是哪一座？

生：珠穆朗瑪峰。

師：我國是第一個讓奧運圣火照亮世界之巔的國家，請看這歷史性的一刻（出示視頻）。

師：老師截取了其中兩張圖片，請看一看運動員衣著有什么不同？

生：山頂上的運動員穿的是厚厚地棉襖，山腳下的運動員穿的是薄薄的運動服。

師：為什么會有衣著差異？

生：氣溫不同，山頂?shù)臍鉁氐停侥_下氣溫更高一些。

師：海拔高度變化了，氣溫也隨著改變。我們就說氣溫隨海拔高度的變化而變化。

師：看一個視頻——加油機給汽車加油（課件出示視頻）。

師：這是什么？

生：加油機顯示屏。

師：加油機在加油過程中，總金額隨什么的變化而變化。

生：加油量的變化而變化。

師：單價一定時，總金額隨加油量的變化而變化。

師：上述兩個問題有什么共同特點？

生：第一個情境中有兩個量，第二個情境中有3個量。

師：我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量。

師：第一個情境中的兩個量是變量還是常量？（兩個變量），第二個情境中3個量呢？（兩個變量與一個常量）。

師：兩個情境中的變量有什么共同特點？

生：一個量隨另一個量的變化而變化。

師：兩個變量之間存在怎樣的聯(lián)系呢？那么這節(jié)課我們就一起來研究兩個變量之間的關(guān)系。（板書課題：變量與函數(shù)）

教師從學生熟悉的、具有生活意義的情境入手， 體會數(shù)學與生活的密切聯(lián)系；讓學生發(fā)現(xiàn)兩個變量之間存在著相互依存關(guān)系，直觀感知上述每一問題中都存在兩個變量，并且一個量會隨另一個量的變化而變化，從而引出本節(jié)課課題——變量與函數(shù)。

概念的明確——下定義

師：同學們，下面我們一起來嘗試一個活動，我這里有兩個顯示屏，左邊的為輸入屏，右邊為顯示屏，老師隨意地在左屏幕中輸入一個數(shù)，請看右邊屏幕輸出一個什么數(shù)？假如設(shè)左邊輸入數(shù)為x，右邊輸出數(shù)為y。（請同學進行現(xiàn)場電腦操作）

師：在這個變化過程中，有幾個變量？分別是x與y，哪個量會隨哪個量的變化而變化？

生1：y隨x的變化而變化

生2：每輸入一個值，右邊就會顯示一個值。

生3：也就是說x每取定一個值，y都有唯一的確定值與其對應。

師：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么就說x叫做自變量，y是x的函數(shù)。

利用課件讓學生在輸入屏中任意輸入數(shù)字，觀察顯示屏中的數(shù)據(jù)并用表格記錄數(shù)據(jù)，直觀體會到兩個變量之間的“單值對應”關(guān)系。學生合作交流探究，師生共同歸納出函數(shù)的概念。通過讓學生動手操作，感知函數(shù)的存在和意義，體會變量之間的相互依存關(guān)系和規(guī)律，領(lǐng)會和理解函數(shù)基本概念中所包含的三個要素：（1）一個變化過程；（2）兩個變量；（3）一種單值對應關(guān)系。在教學過程中，教師引導學生認真思考，“思”有所“得”，“思”有所“悟”，不僅使學生認識到引進常量、變量、函數(shù)概念的必要性，而且感悟并逐步學會如何給數(shù)學概念下定義的方法。

概念的辨析——恰當使用反例

師：生活中大量存在函數(shù)的例子，你能不能舉出生活中一些有關(guān)函數(shù)的例子嗎？

生：當單價一定時，總價與數(shù)量有函數(shù)關(guān)系。

數(shù)學活動：（1）學生動手操作并觀察：彈簧測力計的彈簧伸長長度與所掛鉤碼質(zhì)量的變化過程。（2）教師再演示一個實驗——往量筒加水的變化過程，請觀察并說出存在的函數(shù)。（學生回答，師生共同判斷）

師：同學們多觀察生活中的數(shù)學問題，你會發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系無處不在。

師：老師再舉一個例子，你們看看是不是函數(shù)關(guān)系？

生1：從1984年～2010年，人口數(shù)變化雖然是逐年增加，但是增加的數(shù)量不一樣，所以y不是x的函數(shù)。

生2：我也贊同y不是x函數(shù)關(guān)系，有兩個變量，但它們之間不能用關(guān)系式來表示。

生3：我認為是，因為每年都對應著一個確定的人口數(shù)，應該是吧。

師：y到底是不是x的函數(shù)呢？我們回到函數(shù)中定義中，看一看這個問題是否符合函數(shù)定義。

在這個變化過程中，有幾個變量？（兩個），這兩個變量是否相關(guān)聯(lián)？（是），當對于每一個年份x確定一個值時，人口數(shù)y都有唯一個確定的值與其對應，對吧？你們說說y是不是x的函數(shù)。

生：是（齊聲）。

學生試著列舉出生活中一些有關(guān)函數(shù)的例子，師生共同分析、判斷，再通過實驗來加深認識，讓學生動手操作并觀察彈簧測力計的彈簧伸長長度與所掛鉤碼質(zhì)量的變化過程。師生共同體驗函數(shù)的存在， 培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，加強學科間的滲透與知識間的聯(lián)系，同時增強學生學數(shù)學、用數(shù)學的意識。讓學生進一步認識函數(shù)的概念，體會變量間“單值對應”的不同形式，即函數(shù)的表示方法通常有三種形式：圖像法、列表法、解析式法，從而反復加深對函數(shù)概念的理解。endprint

概念的應用——納入概念系統(tǒng)

函數(shù)在生活中也有廣泛的應用。請看課本P74練習，哪個是自變量，哪個是自變量的函數(shù)？（請同學們上黑板前板演）

再看一個例題：一輛汽車的油箱中現(xiàn)有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛里程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1 L/km。

（1）寫出表示y與x的函數(shù)關(guān)系的式子；

（2）指出自變量x的取值范圍；

（3）汽車行駛200 km時，油箱中還有多少油？

……

練習：情境1中，珠穆朗瑪峰的氣溫T（℃）與高度d（m）的關(guān)系可以近似的用T=來表示。請你根據(jù)這個關(guān)系式回答下列問題：

（1）填寫下表：

（2）由上你能算出奧運火炬手登珠峰至8 000 m處氣溫是多少？

問：當?shù)巧疥爢T登珠峰至8 000 m時，氣溫是多少攝氏度？-18攝氏度的含義是零下18攝氏度，那同學們說說登山要不要穿棉襖？

……

講解例題時教師采用了啟發(fā)誘導、合作探究、反思小結(jié)的方式進行教學，同時從問題（1）中牽引出新知識點：函數(shù)關(guān)系式也可以叫做函數(shù)解析式，進一步鞏固所學函數(shù)的概念，體會數(shù)學的應用價值。從問題（2）引出確定自變量的取值范圍還要注意問題的實際意義，問題（3）強化函數(shù)關(guān)系式的運用，即自變量在取值范圍內(nèi)取值時，可根據(jù)函數(shù)解析式求出對應的函數(shù)值，練習一方面是呼應視頻情境中的問題，使整堂課成為一個有機整體，另一方面是為了讓學生通過經(jīng)歷運算、觀察、猜想、驗證這一過程，體驗數(shù)學充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹性及數(shù)學結(jié)論的確定性，此環(huán)節(jié)精心設(shè)計，獨具匠心。

綜觀本節(jié)課，教師靈活地整合教材資源，各教學片段都力求通過實踐與探索，讓學生參與函數(shù)概念的形成過程。基本環(huán)節(jié)“概念的引入—概念的明確—概念的辨析—概念的應用”，遵循從特殊到一般，具體到抽象，由淺入深，由易到難的認識規(guī)律，強化數(shù)學的應用與建模意識，提高學生分析問題和解決問題的能力。問題設(shè)置巧妙，層層遞進，情境選擇恰當，充分發(fā)揮多媒體的聲、像、動畫特征，使抽象問題形象化，靜態(tài)問題動態(tài)化，直觀、深刻地揭示函數(shù)概念的本質(zhì)。整個教學過程特點突出：創(chuàng)設(shè)情境，引人入勝，過程凸現(xiàn)，緊扣重點，動態(tài)顯現(xiàn)，化難為易，例子展現(xiàn)，多方滲透。整個概念課堂因片段而豐富，因主線而美麗，因生動而精彩。（作者單位： 江西省贛州市文清實驗學校）

□責任編輯 周瑜芽

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