正交各向異性功能梯度夾層板的自由振動分析

李華東，朱錫，梅志遠，張穎軍

(海軍工程大學(xué)艦船工程系，湖北武漢430033)

功能梯度材料(functionally graded materials，F(xiàn)GM)［1-2］由2種或2種以上材料按不同組分復(fù)合，其材料性能在某一方向上連續(xù)梯度變化，消除了明顯的界面和性能突變，在工程結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用越來越廣泛。

目前，在單一功能梯度結(jié)構(gòu)和功能梯度夾層結(jié)構(gòu)動態(tài)性能的研究方面，采用高階剪切變形理論和高階層合板理論，Pradyumna等［3-4］分別給出了功能梯度曲板和具有功能梯度芯材的夾層梁自由振動問題的解，而Neves等［5］則采用考慮厚度方向變形的高階剪切變形理論，對功能梯度板和功能梯度夾層板的自由振動和屈曲性能進行研究。而采用Ritz法，Zhao等［6-7］分別對功能梯度板和功能梯度夾層板的自由振動進行了分析。

通過對現(xiàn)有文獻的分析可以看出，目前對于如下形式的功能梯度夾層結(jié)構(gòu):表層為厚度較薄、彈性模量較高的正交各向異性材料，芯材為厚度較大、彈性模量較低的FGM振動特性研究還未見有報道。本文基于Reissner假設(shè)，對表層為正交各向異性復(fù)合材料，芯材為FGM的功能梯度夾層矩形板的自由振動問題進行了研究，F(xiàn)GM芯材的泊松比保持恒定，而彈性模量在厚度上呈任意函數(shù)Eg(z)變化。

1 位移與內(nèi)力分布假設(shè)

如圖1所示，本文研究的功能梯度夾層板的表層較硬(厚度為t)，而芯材較軟(厚度為h)，因而在本文中，采用Reissner理論的下列假設(shè)［8］:1)表層厚度較薄，因而假設(shè)應(yīng)力沿其厚度均勻分布，即處于薄膜應(yīng)力狀態(tài)。2)芯材模量較低，忽略其平行于xy平面的應(yīng)力，即σx=σy=τxy=0。3)只考慮夾層板的反對稱變形模式，即在芯材和表層中，εz=0，σz=0。

圖1 功能梯度夾層矩形板Fig.1 FGM sandwich rectangular plate

1.1 芯材的應(yīng)力和位移場

在本文中，上表層為z軸負方向的面，下表層為z軸正方向的面，則由假設(shè)2及芯材在x、y方向上的平衡方程［9］:

得出

可以看出剪應(yīng)力在梯度芯材上是均勻分布的，而根據(jù)剪切應(yīng)力的邊界條件，在夾層板的上下表面處:

由于上下表層較薄，所以可以假設(shè)剪切應(yīng)力在表層中呈線性分布，得到剪切應(yīng)力τxz、τyz在厚度上方向上的分布如圖2［10］所示。

假設(shè)Qx、Qy為夾層板中的總橫向剪力，則得到芯材中的剪切應(yīng)力［8］為

根據(jù)胡克定律，芯材相應(yīng)的剪應(yīng)力變?yōu)?/p>

式中:u、v和w為芯材中各點在x、y和z軸方向的位移;Gg(z)為芯材在xz和yz平面內(nèi)的剪切模量，其表達式為

將式(1)對z積分，得出

圖2 厚度方向橫向剪應(yīng)力分布假設(shè)Fig.2 The variation assumption of transverse shear stress through the thickness

1.2 表層位移場假設(shè)

假設(shè)u+、v+為下表層中面各點在x、y軸方向的位移，u-、v-為上表層中面各點在x、y軸方向的位移，根據(jù)假設(shè) 1 得［11］:

以上位移的偏導(dǎo)數(shù)

在平面應(yīng)力問題中，物理方程如下:

式中:

由式(3)可以得出表層的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

式中:

根據(jù):

則

1.3 板的內(nèi)力表達式

夾層板總彎矩Mx、Mx和總扭矩Mxy=Myx為［8］

將式(2)、(4)代入上式得

式中:

2 運動方程及求解

2.1 運動方程

對于功能梯度夾層板而言，其仍滿足單層板的如下運動平衡方程:

式中:ω為圓頻率，ρs為功能梯度夾層結(jié)構(gòu)的面密度，其計算式如下

式中:ρf為夾層結(jié)構(gòu)上下表層的體積密度，ρc(z)為FGM芯材密度的分布函數(shù)。

將式(5)代入平衡方程(6)，可得

2.2 方程的求解

首先，根據(jù)“四邊簡支”邊界條件:

設(shè)

由運動方程(6)，得

方程(7)的前2個式子可以簡寫為如下線性方程組的形式

式中:

則

式中:

將式(8)代入平衡方程(7)的第3個式子，得

因為Wmn≠0，則

則，功能梯度夾芯板固有頻率的計算式為

3 功能梯度夾層板固有頻率計算

3.1 彈性模量呈線性分布的FG夾層板固有頻率

夾層板總厚度為50 mm，其上下表層與芯材的厚度分別為5 mm與40 mm，面內(nèi)尺寸:a=b=1 000 mm。表層為正交異性材料，其材料工程彈性常數(shù)為:Ex=140 GPa，Ey=8.6 GPa，Gxy=5 GPa，νxy=0.35，ρf=1.2×10-6kg/mm3。芯材為功能梯度材料，其彈性模量分布遵循:

式中，E0=Eg(0)=55 MPa，而E1=100 MPa、E2=10 MPa分別為芯材上下表面處的彈性模量，芯材泊松比 μ=0.45，ρc=0.8×10-6kg/mm3。

為驗證本文方法計算結(jié)果的正確性，采用有限元仿真軟件ABAQUS對本問題進行計算。在厚度方向上利用20層等厚度的均質(zhì)各向同性材料對FGM芯材進行模擬，單元類型為三維實體線性縮減單元C3D8R，而表層采用skin技術(shù)，單元類型為二維線性縮減殼單元S4R。為與有限元仿真結(jié)果一致，將角頻率轉(zhuǎn)化為頻率f，其計算式如下:

功能梯度矩形夾層板各階固有頻率的有限元仿真結(jié)果和本文解的對比如表1所示，從中可以看出，本文解與有限元仿真結(jié)果相近，最大誤差為2.1%，說明本文方法具有較高的正確性和精確度。

表1 矩形夾層板固有頻率f的對比Table 1 Comparison of natural frequencies f of rectangular sandwich plates

3.2 彈性模量呈冪律分布的FG夾層板固有頻率

計算FGM芯材的彈性模量呈如下冪律分布時，3.1節(jié)中的FG夾層矩形板的固有頻率。芯材彈性模量的分布遵循以下函數(shù)［12-13］:

式中:E1為芯材上表面處的彈性模量，λ為芯材下表面與上表面處的彈性模量的比值，n0為組分材料體積分數(shù)指數(shù)。

對參數(shù)λ和n0、跨厚比δ及面內(nèi)尺寸比κ對表層為正交各向異性材料的功能梯度夾層矩形板固有頻率的影響進行分析，在本節(jié)中，比值δ和κ的定義式如下

同時，定義無量固有頻率的計算式如下［13］

式中，ρf和Ey為表層的密度和彈性模量。

3.2.1 材料參數(shù)對FG夾層板固有頻率的影響

如表2所示，給出了當(dāng)FGM芯材的密度在厚度方向上保持恒定，且a=b=1 000 mm時，λ和n0對正交各向異性功能梯度夾層矩形板的一階固有頻率的影響。從表中可以看出:1)對于不同取值的n0，F(xiàn)G夾層矩形板的一階無量綱固有頻率均隨λ的增大而增大;2)當(dāng)λ＜1時，F(xiàn)G夾層板的一階無量綱固有頻率隨著n0的增大而降低，反之則相反。

表2 FG夾層板的一階無量綱頻率(ρc為常數(shù))Table 2 The non-dimensional fundamental frequencyof FG sandwich plates(ρcis constant)

表2 FG夾層板的一階無量綱頻率(ρc為常數(shù))Table 2 The non-dimensional fundamental frequencyof FG sandwich plates(ρcis constant)

images/BZ_193_397_1612_1105_1671.png0.1 4.17 3.53 2.9 0.2 4.33 3.87 3.42 1 5 5 5 2 5.46 5.66 5.86 5 6.24 6.67 7.08 10 6.95 7.49 7.98

假設(shè)芯材的密度遵循如下與彈性模量一致的分布函數(shù):

式中，ρt=0.8×10-6kg/mm3。

表3 FG夾層板的一階無量綱頻率(ρc=ρc(z))Table 3 The non-dimensional fundamental frequency ω-of FG sandwich plates(ρc= ρc(z))

表3 FG夾層板的一階無量綱頻率(ρc=ρc(z))Table 3 The non-dimensional fundamental frequency ω-of FG sandwich plates(ρc= ρc(z))

images/BZ_193_397_2567_1105_2626.png0.1 4.72 4.3 3.86 0.2 4.83 4.6 4.37 1 5 5 5 2 4.9 4.85 4.81 5 4.45 4.26 4.13 10 3.9 3.63 3.45

如表3所示，當(dāng)FGM芯材密度ρc遵循式(9)變化時，參數(shù)λ和n0對固有頻率的影響與密度ρc保持恒定時不同，可以看出:1)當(dāng)λ＜1時，隨λ的增大而增大，反之則相反;2)對于λ＜1和λ＞1時，隨著n0的增大而降低?？梢钥闯?，當(dāng)FGM芯材的密度在厚度方向上變化時，材料參數(shù)對結(jié)構(gòu)一階固有頻率的影響與密度保持恒定時不同。

3.2.2 跨厚比δ對FG夾層板固有頻率的影響

研究FGM芯材的密度保持恒定且a=b時，F(xiàn)G夾層矩形板的跨厚比δ對不同λ和n0的正交各向異性功能梯度夾層矩形板固有頻率的影響。如圖3所示，分別給出了功能梯度夾層矩形板一階無量綱固有頻率隨跨厚比δ=a/(h+2t)的變化規(guī)律，從圖3中可以看出，對正交各向異性功能梯度夾層板而言，無量綱頻率隨跨厚比δ的增大而升高。

圖3 無量綱固有頻率隨跨厚比δ的變化規(guī)律Fig.3 The non-dimensional fundamental frequencyversus side-to-thickness ratio δ

圖4 無量綱固有頻率隨縱橫比κ的變化規(guī)律Fig.4 The non-dimensional fundamental frequencyversus aspect ratio κ

3.2.3 面內(nèi)縱橫比κ對FG夾層板固有頻率的影響

研究當(dāng)b=1 000 mm且FGM芯材的密度在厚度方向上保持恒定時，面內(nèi)縱橫比κ=a/b對不同λ和n0的正交各向異性FG夾層矩形板無量綱頻率的影響，由圖4可以看出，對正交各向異性功能梯度夾層板而言，隨面內(nèi)縱橫比κ的增大而降低。

4 結(jié)論

基于Reissner假設(shè)，本文對四邊簡支的功能梯度夾層矩形板的自由振動問題進行了研究，得到了表層為正交各向異性材料的FG夾層矩形板固有頻率的理論解，并詳細探討了材料屬性分布參數(shù)λ和n0、結(jié)構(gòu)跨厚比δ及面內(nèi)縱橫比κ對芯材彈性模量在厚度方向上呈冪律分布的FG夾層板固有頻率的影響。通過本文的分析可以看出:

1)對于表層為正交各向異性材料的FG夾層矩形板而言，當(dāng)芯材的密度在厚度方向上保持恒定時，其一階無量綱固有頻率均隨λ的增大而增大;

2)在跨厚比δ和縱橫比κ已定時，當(dāng)λ＜1時，一階無量綱固有頻率隨著n0的增大而降低，反之則相反。

3)在λ已定時，無量綱頻率隨跨厚比δ=a/(h+2t)的增大而升高，隨面內(nèi)縱橫比κ=a/b的增大而降低。

4)而當(dāng)其芯材密度在厚度方向上變化時，F(xiàn)GM芯材的材料屬性分布參數(shù)λ和n0對功能梯度夾層板固有頻率的影響與芯材密度保持恒定時不同，在實際應(yīng)用時，需要針對Ec(z)和ρc(z)特定的分布函數(shù)進行分析。

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