非奇異H-矩陣判定準(zhǔn)則

韓貴春,高會(huì)雙,肖麗霞

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028000)

非奇異H-矩陣判定準(zhǔn)則

韓貴春,高會(huì)雙,肖麗霞

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028000)

利用矩陣雙對(duì)角占優(yōu)理論給出了含有非零元鏈、不可約矩陣為非奇異H-矩陣的兩個(gè)判別方法, 推廣了已有的相關(guān)結(jié)果.

a-雙對(duì)角占優(yōu)矩陣;非奇異H-矩陣;不可約矩陣;非零元素鏈

非奇異H-矩陣是在數(shù)值代數(shù)、數(shù)學(xué)物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域中具有廣泛應(yīng)用的重要矩陣類, 其判定條件一直是人們研究的熱點(diǎn). 近幾年來, 諸學(xué)者得到一些新的結(jié)論[1-7].本文以文獻(xiàn)[1]中關(guān)于非奇異H-矩陣判定條件的結(jié)論為基礎(chǔ), 給出了含有非零元鏈、不可約矩陣為非奇異H-矩陣的判別方法.

1 記號(hào)與定義

令Cn×n表示n階復(fù)方陣的集合,設(shè)A=(aij)∈Cn×n,記:

為行文方便,Ri(A)、Ci(A)(i∈N)分別簡記為Ri、Ci(i∈N).

若|aii|≥(>)Ri(?i∈N), 則稱A為(嚴(yán)格)對(duì)角占優(yōu)矩陣, 記為A∈D0(A∈D); 若|aiiajj|≥(>)RiRj(?(i,j)∈M), 則稱A為(嚴(yán)格)雙對(duì)角占優(yōu)矩陣,記為A∈DD0(A∈DD);若存在正對(duì)角陣X=diag(x1,x2,….xn)使得AX∈D, 則稱A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣, 記為A∈D*(等價(jià)定義為非奇異H-矩陣[2]. 所以非奇異H-矩陣主對(duì)角元素aii≠0(i∈N), 本文中總假定所涉及矩陣主對(duì)角元素aii≠0(i∈N).

定義1[8]設(shè)A=(aij)∈Cn×n, 若存在α∈[0,1], 使:

|aiiajj|≥(>)(RiRj)α(CiCj)1-α,?(i,j)∈M.

則稱A為(嚴(yán)格)α-雙對(duì)角占優(yōu)矩陣,記為A∈DD(α0)(A∈DD(α));

引理1[8]設(shè)A=(aij)∈Cn×n, 若A∈DD(α),則A為非奇異H-矩陣.

引理2[9]設(shè)A=(aij)∈Cn×n, 且A∈DD(α0), 若對(duì)于每一滿足|aiiajj|=(RiRj)α(CiCj)1-α的 (i,j)∈M都有A的一個(gè)非零元素鏈ai0i1,ai1i2, …,airj0或aj0j1,aj1j2, …,ajtj0,使得i0=i,j0∈J(A) 或i0=j,j0∈J(A), 其中:

J(A)={i||aiiajj|>(RiRj)α(CiCj)1-α,(i,j)∈N}≠?,

則A為非奇異H-矩陣.

令Γ(A)表示A的有向圖;E(A)表示Γ(A)的邊集;S(A)表示Γ(A)的回路集合;i∈υ∈S(A)表示i為回路υ的一個(gè)頂點(diǎn).

引理3[10]設(shè)A=(aij)∈Cn×n不可約,A∈DD1(α0).若有ei*j*∈E(A)((i*,j*)∈M), 使得|ai*i*aj*j*|>(Ri*Rj*)α(Ci*Cj*)1-α成立,則A為非奇異H-矩陣.

2 有關(guān)的主要結(jié)論

在本文中,記號(hào)同文獻(xiàn)[1].下面引入文獻(xiàn)[1]中的主要結(jié)論：

M1={(i,j)|RiRj<|aiiajj|

M2={(i,j)|CiCj<|aiiajj|

M3={(i,j)||aiiajj|≥CiCj>RiRj} ;

M4={(i,j)||aiiajj|≥RiRj>CiCj};

M5={(i,j)||aiiajj|>RiRj=CiCj} ;

M6={(i,j)||aiiajj|≤RiRj,|aiiajj|≤CiCj}.

顯然有M=M1∪M2∪M3∪M4∪M5∪M6.

令:

則γij>αij>1,γij>βij>1;zij>xij>1,zij>yij>1.

定理1[1]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,M6=?, 如果A滿足不等式:

則A為非奇異H-矩陣.

3 定理1的推廣

將文獻(xiàn)[1]的結(jié)果推廣到非零元鏈、不可約矩陣類型中.

定理2 設(shè)A=(aij)∈Cn×n,M6=?， 若對(duì)任意的(s,t)∈M1, (i,j)∈M2,A滿足不等式:

logγstβst≤logzijxij,

(1)

且對(duì)于滿足:

logγstβst=logzijxij,

(2)

的(s,t)∈M1, (i,j)∈M2都在非零元素鏈as0s1,as1s2, …,asht0或at0t1,at1t2,…,atks0和ai0i1,ai1i2, …,aipj0或aj0j1,aj1j2,…,ajqi0使得:s0=s,t0∈G(A)或s0=t,t0∈G(A) 和i0=i,j0∈G(A)或i0=j,j0∈G(A), 其中:

G(A)={i|logγstβj0j1,st

(3)

則A為非奇異H-矩陣.

證明由指標(biāo)集M1、M2的取法知, 對(duì)于任意的(s,t)∈M1, (i,j)∈M2有:

0

0

由式(1)知,必存在常數(shù)α∈(0,1),滿足:

0

(4)

由式(4)中的logγstβst≤α, 對(duì)任意的(s,t)∈M1,γst=αstβst, 有:

|assatt|≥(RsRt)α(CsCt)1-α.

由式(4)中的α≤logzijxij, 對(duì)任意的(i,j)∈M2,zij=xijyij>1,有:

|aiiajj|≥(RiRj)α(CiCj)1-α.

對(duì)任意的(k,l)∈M3∪M4∪M5, 及任意的α∈(0,1), 顯然有:

|akkall|>(RkRl)α(CkCl)1-α.

綜上可得,對(duì)任意的(i,j)∈M1∪M2∪M3∪M4∪M5=M, 存在α∈(0,1)使得:

|aiiajj|≥(RiRj)α(CiCj)1-α.

由式(2)及定理?xiàng)l件可得,對(duì)于滿足條件:

|assatt|=(RsRt)α(CsCt)1-α;

|aiiajj|=(RiRj)α(CiCj)1-α,

的(s,t)∈M1, (i,j)∈M2存在非零元素鏈as0s1,as1s2, …,askt0或at0t1,at1t2,…,atks0和ai0i1,ai1i2, …,aipj0或aj0j1,aj1j2,…,ajqi0使得s0=s,t0∈J(A)或s0=t,t0∈J(A)和i0=i,j0∈J(A)或i0=j,j0∈J(A).而由式(4)可得J(A)≠?, 故根據(jù)引理2知,A為非奇異H-矩陣.

定理3 設(shè)A=(aij)∈Cn×n不可約,M6=?,且對(duì)任意的(s,t)∈M1, (i,j)∈M2,A滿足不等式:

logγstβst≤logzijxij.

若有ei*j*∈E(A)((i*,j*)∈M2)使得:

logγstβst

(5)

則A為非奇異H-矩陣.

證明類似于定理2的證明可得,對(duì)任意的(i,j)∈M1∪M2∪M3∪M4∪M5=M, 存在α∈(0,1)使得:

|aiiajj|≥(RiRj)α(CiCj)1-α.

即A∈DD1(α0), 且由條件知A不可約.又由式(5)可得存在某一ei*j*∈E(A)((i*,j*)∈M2?M)滿足:

|ai*i*aj*j*|>(Ri*Rj*)α(Ci*Cj*)1-α.

綜上,由引理3可得,A為非奇異H-矩陣.

[1]李敏,孫玉祥.α-對(duì)角占矩陣的討論及其應(yīng)用[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2009,26(5):941-945.

[2]Bru R,Corral C,Gimenez I,et al.Classes of general H-matrices[J]. Linear Algebra and Applications,2008,429:2358-2366.

[3]Yao-tang Li,Yan-yan Li.Some new bounds on eigenvalues of the Hadamard product and Fan product of matrices[J]. Linear Algebra and Appl,2010,432:536-545.

[4]GUO Zhijun,YAN Jianguang. A new criteria for a matrix is not generalized strictly diagonally dominant matrix[J]. Applied Mathematical Sciences,2011,5:273-278.

[5]Hadjidimos A,Lapidakis M,Tzoumas M.On iterative solution for linear complementarity problem with an H+-matrix [J]. SIAM J MATRIX ANAL APLL,2012,33(1):97-100.

[6]李敏,李慶春.非奇異H-矩陣的新判定準(zhǔn)則[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2012,29(5):715-719.

[7]高慧敏,陸全,徐仲,等.非奇異H-矩陣的一組細(xì)分迭代判定條件[J].數(shù)學(xué)雜志,2013,33(2):329-337.

[8]黃庭祝.Ostrowski定理的推廣與非奇異H-矩陣的條件[J].計(jì)算數(shù)學(xué),1994,16(1):19-24

[9]李慶春.廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的判定[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1999(1):87-92.

[10]李陽,宋岱山,路永潔.α-雙對(duì)角占優(yōu)與非奇異H-矩陣的判定[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2005,28(12):1624-1626.

責(zé)任編輯：時(shí)凌

CriteriaforNonsingularH-Matrices

HAN Gui-chun,GAO Hui-shuang,XIAO Li-xiao

(School of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao 028000,China)

In this paper, two criteria for nonsingularH-matrices for nonzero elements chains and irreducible matrices are given by using the theory of double diagonally dominant matrices.The known result is generalized.

α-double diagonally dominant matrices; nonsingularH-matrices; chain of nonzero elements; irreducible matrices

2013-12-30.

內(nèi)蒙古民族大學(xué)科學(xué)研究基金項(xiàng)目(NMD1226).

韓貴春(1978- ), 女,碩士,講師,主要從事數(shù)值代數(shù)與矩陣的研究.

O151.21

A

1008-8423(2014)01-0068-03