高考模擬題精選之數(shù)學（理科）解答題

★★ 難度中等

★★★難度較高

★★ 1. 如圖1所示，已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（x-φ）0<φ

<在區(qū)間[0，π]上的圖象的最高點為A，最低點為B，其中點A的縱坐標為.

（1） 求φ；

（2） 求證：∠AOB<（其中O為原點）.

★★ 2. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.

（1） 求證： acosB+bcosA=c；

（2） 已知△ABC的面積為S，求a2sin2B+b2sin2A.

★★★ 3. 設(shè)函數(shù)f（x）=3x+sinxcosx-5sinx.

（1） 討論f（x）在區(qū)間（0，2π）上的單調(diào)性；

（2） 將f（x）在區(qū)間（0，+∞）上所有的極小值點從小到大依次記作x1，x2，…，xn，求證：所

有點Pn（xn， f（xn））（n∈N*）都在同一直線上.

★★ 4. 甲、乙、丙、丁、戊五名奧運志愿者被隨機分到A，B，C，D四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者.

（1） 求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率；

（2） 求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率.

★★ 5. 空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5（單位： μg/m3）表示每立方米空氣中可吸入肺顆粒物的含量，這個值越高，代表空氣污染越嚴重. PM2.5的濃度與空氣質(zhì)量類別的關(guān)系如下表所示：

從甲城市2013年11月份的30天中隨機抽取15天的PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)莖葉圖如圖2所示.

（1） 試估計甲城市在2013年11月份30天的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)；

（2） 在甲城市這15個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個，設(shè)X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.

★★ 6. 6名參加演講比賽的同學通過抽簽決定出場順序（序號為1，2，3，4，5，6）.

（1） 求甲、乙兩人都沒有抽中6號簽的概率；

（2） 設(shè)在甲、乙兩人之間出場的人數(shù)為ξ，寫出隨機變量ξ的分布列，并求Eξ.

★★ 7. 設(shè)數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項和為Sn，且

是一個首項為2、公差為1的等差數(shù)列.

（1） 求數(shù)列{an}的通項公式；

（2） 設(shè)數(shù)列{an}滿足++…+=（4n-1），n∈N*，求{bn}的通項公式.

★★★ 8. 數(shù)列{an}（n∈N*）各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且滿足2anSn-[an][2]=1.

（1） 求證： 數(shù)列{[Sn][2]}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；

（2） 設(shè)bn=， 求數(shù)列{bn}的前n項和Tn，并求使Tn>（m2-3m）對所有的n∈N*都成立的最大正整數(shù)m.

★★ 9. 如圖3所示，ABCD為正方形，PDCE為直角梯形，∠PDC=90°，平面ABCD⊥平面PDCE，且PD=AD=2EC=2.

（1） 若PE和DC延長交于點F，求證：BF∥平面PAC；

（2） 若Q為EC邊上的動點，求直線BQ與平面PDB所成角正弦值的最小值.

★★★ 10. 已知菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于一點O，∠A=60°，將△BDC沿著BD折起得△BDC′，如圖4所示.

（1） 求證： 平面AOC′⊥平面ABD；

（2） 求使二面角C′-AB-D的正切值為2+2時的BC′與底面ABD所成的角.

★★ 11. 已知橢圓C的方程為+=1 （a>b>0），其離心率為，且橢圓過點

，.

（1） 求橢圓的方程；

（2） 如圖5所示，直線l：x=與x軸交于G點.設(shè)橢圓的左頂點為A，過橢圓右焦點F的直線交橢圓于B，C兩點，AB與AC的延長線分別交直線l于D，E兩點，記△ABC的面積為S1，△ADE的面積為S2，求的最大值.

★★ 12. 已知M（-，0），N（，0）是平面上的兩個定點，動點P滿足PM+PN=2.

（1） 求動點P的軌跡方程；

（2） 已知圓方程為x2+y2=2，過圓上任意一點作圓的切線，切線與（1）中的軌跡交于A，B兩點，O為坐標原點.設(shè)Q為AB的中點，求OQ長度的取值范圍.

★★★ 13. 已知橢圓C：+=1 （a>b>0）的長軸長為4，點P是橢圓上異于短軸端點A，B的任意一點，PA，PB的斜率之積為-.

（1） 求橢圓的方程；

（2） 如果點A是橢圓短軸下方的端點，過點0

，的直線與橢圓交于M，N兩點（M，N點與A點不重合）.證明：以MN為直徑的圓必過A點.當△AMN為等腰直角三角形時，求直線MN的方程.

★★ 14. 設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2x+1+alnx （a>0）.

（1） 試討論f（x）在定義域上的單調(diào)性；

（2） 若f（x）在定義域上有兩個極值點x1，x2，證明： f（x1）+f（x2）>.

★★★ 15. 設(shè)函數(shù)f（x）=x2+alnx+3x （a∈R）.

（1） 若曲線y=f′（x）上的點A到點B（0，3）的距離的最小值為2，求a的值；

（2） 曲線y=f（x）在點M1

，處的切線斜率為2，設(shè)g（x）=f（x）-2x-，h（x）=bx-2，若對任意的x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≥h（x2），求實數(shù)b的取值范圍.

★★★ 16. 已知函數(shù)f（x）=.

（1） 如果常數(shù)k>0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，k]上的最大值并判斷2e與e2的大?。?/p>

（2） 對于a>0，如果函數(shù)g（x）=x2-2axf（x）在（0，+∞）上有且只有一個零點，求a的值.

★★ 難度中等

★★★難度較高

★★ 1. 如圖1所示，已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（x-φ）0<φ

<在區(qū)間[0，π]上的圖象的最高點為A，最低點為B，其中點A的縱坐標為.

（1） 求φ；

（2） 求證：∠AOB<（其中O為原點）.

★★ 2. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.

（1） 求證： acosB+bcosA=c；

（2） 已知△ABC的面積為S，求a2sin2B+b2sin2A.

★★★ 3. 設(shè)函數(shù)f（x）=3x+sinxcosx-5sinx.

（1） 討論f（x）在區(qū)間（0，2π）上的單調(diào)性；

（2） 將f（x）在區(qū)間（0，+∞）上所有的極小值點從小到大依次記作x1，x2，…，xn，求證：所

有點Pn（xn， f（xn））（n∈N*）都在同一直線上.

★★ 4. 甲、乙、丙、丁、戊五名奧運志愿者被隨機分到A，B，C，D四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者.

（1） 求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率；

（2） 求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率.

★★ 5. 空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5（單位： μg/m3）表示每立方米空氣中可吸入肺顆粒物的含量，這個值越高，代表空氣污染越嚴重. PM2.5的濃度與空氣質(zhì)量類別的關(guān)系如下表所示：

從甲城市2013年11月份的30天中隨機抽取15天的PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)莖葉圖如圖2所示.

（1） 試估計甲城市在2013年11月份30天的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)；

（2） 在甲城市這15個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個，設(shè)X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.

★★ 6. 6名參加演講比賽的同學通過抽簽決定出場順序（序號為1，2，3，4，5，6）.

（1） 求甲、乙兩人都沒有抽中6號簽的概率；

（2） 設(shè)在甲、乙兩人之間出場的人數(shù)為ξ，寫出隨機變量ξ的分布列，并求Eξ.

★★ 7. 設(shè)數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項和為Sn，且

是一個首項為2、公差為1的等差數(shù)列.

（1） 求數(shù)列{an}的通項公式；

（2） 設(shè)數(shù)列{an}滿足++…+=（4n-1），n∈N*，求{bn}的通項公式.

★★★ 8. 數(shù)列{an}（n∈N*）各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且滿足2anSn-[an][2]=1.

（1） 求證： 數(shù)列{[Sn][2]}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；

（2） 設(shè)bn=， 求數(shù)列{bn}的前n項和Tn，并求使Tn>（m2-3m）對所有的n∈N*都成立的最大正整數(shù)m.

★★ 9. 如圖3所示，ABCD為正方形，PDCE為直角梯形，∠PDC=90°，平面ABCD⊥平面PDCE，且PD=AD=2EC=2.

（1） 若PE和DC延長交于點F，求證：BF∥平面PAC；

（2） 若Q為EC邊上的動點，求直線BQ與平面PDB所成角正弦值的最小值.

★★★ 10. 已知菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于一點O，∠A=60°，將△BDC沿著BD折起得△BDC′，如圖4所示.

（1） 求證： 平面AOC′⊥平面ABD；

（2） 求使二面角C′-AB-D的正切值為2+2時的BC′與底面ABD所成的角.

★★ 11. 已知橢圓C的方程為+=1 （a>b>0），其離心率為，且橢圓過點

，.

（1） 求橢圓的方程；

（2） 如圖5所示，直線l：x=與x軸交于G點.設(shè)橢圓的左頂點為A，過橢圓右焦點F的直線交橢圓于B，C兩點，AB與AC的延長線分別交直線l于D，E兩點，記△ABC的面積為S1，△ADE的面積為S2，求的最大值.

★★ 12. 已知M（-，0），N（，0）是平面上的兩個定點，動點P滿足PM+PN=2.

（1） 求動點P的軌跡方程；

（2） 已知圓方程為x2+y2=2，過圓上任意一點作圓的切線，切線與（1）中的軌跡交于A，B兩點，O為坐標原點.設(shè)Q為AB的中點，求OQ長度的取值范圍.

★★★ 13. 已知橢圓C：+=1 （a>b>0）的長軸長為4，點P是橢圓上異于短軸端點A，B的任意一點，PA，PB的斜率之積為-.

（1） 求橢圓的方程；

（2） 如果點A是橢圓短軸下方的端點，過點0

，的直線與橢圓交于M，N兩點（M，N點與A點不重合）.證明：以MN為直徑的圓必過A點.當△AMN為等腰直角三角形時，求直線MN的方程.

★★ 14. 設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2x+1+alnx （a>0）.

（1） 試討論f（x）在定義域上的單調(diào)性；

（2） 若f（x）在定義域上有兩個極值點x1，x2，證明： f（x1）+f（x2）>.

★★★ 15. 設(shè)函數(shù)f（x）=x2+alnx+3x （a∈R）.

（1） 若曲線y=f′（x）上的點A到點B（0，3）的距離的最小值為2，求a的值；

（2） 曲線y=f（x）在點M1

，處的切線斜率為2，設(shè)g（x）=f（x）-2x-，h（x）=bx-2，若對任意的x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≥h（x2），求實數(shù)b的取值范圍.

★★★ 16. 已知函數(shù)f（x）=.

（1） 如果常數(shù)k>0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，k]上的最大值并判斷2e與e2的大??；

（2） 對于a>0，如果函數(shù)g（x）=x2-2axf（x）在（0，+∞）上有且只有一個零點，求a的值.

★★ 難度中等

★★★難度較高

★★ 1. 如圖1所示，已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（x-φ）0<φ

<在區(qū)間[0，π]上的圖象的最高點為A，最低點為B，其中點A的縱坐標為.

（1） 求φ；

（2） 求證：∠AOB<（其中O為原點）.

★★ 2. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.

（1） 求證： acosB+bcosA=c；

（2） 已知△ABC的面積為S，求a2sin2B+b2sin2A.

★★★ 3. 設(shè)函數(shù)f（x）=3x+sinxcosx-5sinx.

（1） 討論f（x）在區(qū)間（0，2π）上的單調(diào)性；

（2） 將f（x）在區(qū)間（0，+∞）上所有的極小值點從小到大依次記作x1，x2，…，xn，求證：所

有點Pn（xn， f（xn））（n∈N*）都在同一直線上.

★★ 4. 甲、乙、丙、丁、戊五名奧運志愿者被隨機分到A，B，C，D四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者.

（1） 求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率；

（2） 求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率.

★★ 5. 空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5（單位： μg/m3）表示每立方米空氣中可吸入肺顆粒物的含量，這個值越高，代表空氣污染越嚴重. PM2.5的濃度與空氣質(zhì)量類別的關(guān)系如下表所示：

從甲城市2013年11月份的30天中隨機抽取15天的PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)莖葉圖如圖2所示.

（1） 試估計甲城市在2013年11月份30天的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)；

（2） 在甲城市這15個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個，設(shè)X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.

★★ 6. 6名參加演講比賽的同學通過抽簽決定出場順序（序號為1，2，3，4，5，6）.

（1） 求甲、乙兩人都沒有抽中6號簽的概率；

（2） 設(shè)在甲、乙兩人之間出場的人數(shù)為ξ，寫出隨機變量ξ的分布列，并求Eξ.

★★ 7. 設(shè)數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項和為Sn，且

是一個首項為2、公差為1的等差數(shù)列.

（1） 求數(shù)列{an}的通項公式；

（2） 設(shè)數(shù)列{an}滿足++…+=（4n-1），n∈N*，求{bn}的通項公式.

★★★ 8. 數(shù)列{an}（n∈N*）各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且滿足2anSn-[an][2]=1.

（1） 求證： 數(shù)列{[Sn][2]}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；

（2） 設(shè)bn=， 求數(shù)列{bn}的前n項和Tn，并求使Tn>（m2-3m）對所有的n∈N*都成立的最大正整數(shù)m.

★★ 9. 如圖3所示，ABCD為正方形，PDCE為直角梯形，∠PDC=90°，平面ABCD⊥平面PDCE，且PD=AD=2EC=2.

（1） 若PE和DC延長交于點F，求證：BF∥平面PAC；

（2） 若Q為EC邊上的動點，求直線BQ與平面PDB所成角正弦值的最小值.

★★★ 10. 已知菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于一點O，∠A=60°，將△BDC沿著BD折起得△BDC′，如圖4所示.

（1） 求證： 平面AOC′⊥平面ABD；

（2） 求使二面角C′-AB-D的正切值為2+2時的BC′與底面ABD所成的角.

★★ 11. 已知橢圓C的方程為+=1 （a>b>0），其離心率為，且橢圓過點

，.

（1） 求橢圓的方程；

（2） 如圖5所示，直線l：x=與x軸交于G點.設(shè)橢圓的左頂點為A，過橢圓右焦點F的直線交橢圓于B，C兩點，AB與AC的延長線分別交直線l于D，E兩點，記△ABC的面積為S1，△ADE的面積為S2，求的最大值.

★★ 12. 已知M（-，0），N（，0）是平面上的兩個定點，動點P滿足PM+PN=2.

（1） 求動點P的軌跡方程；

（2） 已知圓方程為x2+y2=2，過圓上任意一點作圓的切線，切線與（1）中的軌跡交于A，B兩點，O為坐標原點.設(shè)Q為AB的中點，求OQ長度的取值范圍.

★★★ 13. 已知橢圓C：+=1 （a>b>0）的長軸長為4，點P是橢圓上異于短軸端點A，B的任意一點，PA，PB的斜率之積為-.

（1） 求橢圓的方程；

（2） 如果點A是橢圓短軸下方的端點，過點0

，的直線與橢圓交于M，N兩點（M，N點與A點不重合）.證明：以MN為直徑的圓必過A點.當△AMN為等腰直角三角形時，求直線MN的方程.

★★ 14. 設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2x+1+alnx （a>0）.

（1） 試討論f（x）在定義域上的單調(diào)性；

（2） 若f（x）在定義域上有兩個極值點x1，x2，證明： f（x1）+f（x2）>.

★★★ 15. 設(shè)函數(shù)f（x）=x2+alnx+3x （a∈R）.

（1） 若曲線y=f′（x）上的點A到點B（0，3）的距離的最小值為2，求a的值；

（2） 曲線y=f（x）在點M1

，處的切線斜率為2，設(shè)g（x）=f（x）-2x-，h（x）=bx-2，若對任意的x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≥h（x2），求實數(shù)b的取值范圍.

★★★ 16. 已知函數(shù)f（x）=.

（1） 如果常數(shù)k>0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，k]上的最大值并判斷2e與e2的大??；

（2） 對于a>0，如果函數(shù)g（x）=x2-2axf（x）在（0，+∞）上有且只有一個零點，求a的值.