簡單平面桁架的穩(wěn)定性及極限承載基于有限元的幾何非線性分析

王國權(quán)++張寶勤

摘 要：本文首先介紹了分析壓桿穩(wěn)定的線性有限單元，然后引入對幾何非線性問題的一般討論，提出了結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣。最后介紹了求解幾何非線性方程的牛頓——拉斐遜法，應(yīng)用此方法通過編程分析得出簡單桁架荷載—位移曲線。

關(guān)鍵詞：穩(wěn)定性；有限元；幾何非線性；切線剛度矩陣；簡單桁架

桁架是由一些細長桿在其兩端連接（利用焊接或鉚接等方法）而成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。它在橋梁、起重機與屋架等工程對象中得到廣泛的應(yīng)用。如果桁架所有桿件的軸線與其受到的載荷均在一個平面內(nèi)，稱此類桁架為平面桁架，否則稱為空間桁架。

結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，任何結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)可能有三種形式：穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)。

假設(shè)結(jié)構(gòu)在平衡狀態(tài)附近作無限小偏離后，如果結(jié)構(gòu)仍能恢復(fù)到平衡狀態(tài)，則這種平衡狀態(tài)為穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；如果結(jié)構(gòu)在微小擾動作用下偏離其平衡狀態(tài)后，不能再恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，反而繼續(xù)偏離下去，則這種平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；如果結(jié)構(gòu)在微小偏離其平衡狀態(tài)后，既不能再恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，也不繼續(xù)偏離下去，而是在新的位置形成新的平衡，則這種平衡狀態(tài)為隨遇平衡狀態(tài)，隨遇平衡狀態(tài)往往是從穩(wěn)定平衡狀態(tài)向不穩(wěn)定平衡狀態(tài)過渡的一種中間狀態(tài)。

1.壓桿穩(wěn)定的線性有限單元法——瑞利-里茲法

變形體的虛位移原理表明：變形體處于平衡狀態(tài)的充分和必要條件是，對與支承約束條件相協(xié)調(diào)的任意微小虛位移，外力虛功與內(nèi)力虛功的總和等于零。

如以δWe代表外力因虛位移而作的虛功，以δWi代表內(nèi)力因虛位移所做的虛功，則當該變形體處于平衡狀態(tài)時，應(yīng)滿足δWe+δWi=0 （1）

在保守系統(tǒng)中，外力虛功等于虛位移引起的外力勢能改變的負值，則δWe可改寫為-δV。內(nèi)力虛功等于虛位移引起的變形體內(nèi)應(yīng)變能的變化的負值，則δWi可改寫為：-δU，則式（a）可寫為虛位移是滿足體系支承約束條件下的一個微小位移變化，是實際位移的一階變分，因此虛應(yīng)變能δu就是實際應(yīng)變能的一階變分，-δWe就是實際外力勢能（-We）的一階變分，簡寫為-δWe。故式（b）可以寫成：δ（U+V）=δ（U-W）=0 （3）

即 δⅡ=0，式中Ⅱ=U+V=U-W為體系具有的總勢能。當體系處于在平衡狀態(tài)時，總勢能的一階變分為零，或此體系的總勢能為駐值。這就是勢能駐值原理。

瑞利-里茲法是建立在勢能駐值原理基礎(chǔ)上的近似方法。今假定體系在中性平衡時的位移用沿坐標軸x，y，z方向的三個位移u，v，w來表示，并分別取下列位移函數(shù)

式中 （I=1.2.3…n）是待確定的3n個獨立參數(shù)，稱為廣義坐標。 是3n個x，y，z的連續(xù)函數(shù)，稱為坐標函數(shù)，它們可任意假定，但須盡量滿足幾何和力學(xué)邊界條件。

今將上式代入總勢能Ⅱ的表達式，則總勢能Ⅱ?qū)⑹?n個廣義坐標或獨立參數(shù)的函數(shù)。根據(jù)勢能駐值原理，要求 ，于是得

在簡單桁架達到極限荷載后，由于切線剛度矩陣行列式的值趨近于零，從而產(chǎn)生奇點，根據(jù)牛頓——拉斐遜法編制的程序計算發(fā)生溢出。

通過上述算例可知，可以將基于有限元的非線性（幾何非線性、材料非線性）分析方法應(yīng)用于分析網(wǎng)殼、網(wǎng)架，從而為進一步研究復(fù)雜結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性提供了啟示，克服現(xiàn)行的有限元分析軟件收斂性要求過高、單元劃分過于嚴格的缺點。

參考文獻

[1] 丁皓江、何福保等.彈性和塑性力學(xué)中的有限單元法.機械工業(yè)出版社，1989

[2] 劉光棟、羅漢泉.桿系結(jié)構(gòu)穩(wěn)定.北京：人民交通出版社，1988

[3] 尹越.單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性研究.天津大學(xué)博士生論文，1998

[4] 夏志斌、潘有昌.結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論.高等教育出版社，1989

[5] 王國權(quán).長懸臂桁架基于有限元的穩(wěn)定性和極限承載研究.天津大學(xué)碩士畢業(yè)論文，2005

【作者簡介】王國權(quán)（1979-），男，江蘇南通人，結(jié)構(gòu)設(shè)計師，碩士，研究方向：結(jié)構(gòu)工程。

【文章編號】1627-6868（2014）06-0008-03

摘 要：本文首先介紹了分析壓桿穩(wěn)定的線性有限單元，然后引入對幾何非線性問題的一般討論，提出了結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣。最后介紹了求解幾何非線性方程的牛頓——拉斐遜法，應(yīng)用此方法通過編程分析得出簡單桁架荷載—位移曲線。

關(guān)鍵詞：穩(wěn)定性；有限元；幾何非線性；切線剛度矩陣；簡單桁架

桁架是由一些細長桿在其兩端連接（利用焊接或鉚接等方法）而成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。它在橋梁、起重機與屋架等工程對象中得到廣泛的應(yīng)用。如果桁架所有桿件的軸線與其受到的載荷均在一個平面內(nèi)，稱此類桁架為平面桁架，否則稱為空間桁架。

結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，任何結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)可能有三種形式：穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)。

假設(shè)結(jié)構(gòu)在平衡狀態(tài)附近作無限小偏離后，如果結(jié)構(gòu)仍能恢復(fù)到平衡狀態(tài)，則這種平衡狀態(tài)為穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；如果結(jié)構(gòu)在微小擾動作用下偏離其平衡狀態(tài)后，不能再恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，反而繼續(xù)偏離下去，則這種平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；如果結(jié)構(gòu)在微小偏離其平衡狀態(tài)后，既不能再恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，也不繼續(xù)偏離下去，而是在新的位置形成新的平衡，則這種平衡狀態(tài)為隨遇平衡狀態(tài)，隨遇平衡狀態(tài)往往是從穩(wěn)定平衡狀態(tài)向不穩(wěn)定平衡狀態(tài)過渡的一種中間狀態(tài)。

1.壓桿穩(wěn)定的線性有限單元法——瑞利-里茲法

變形體的虛位移原理表明：變形體處于平衡狀態(tài)的充分和必要條件是，對與支承約束條件相協(xié)調(diào)的任意微小虛位移，外力虛功與內(nèi)力虛功的總和等于零。

如以δWe代表外力因虛位移而作的虛功，以δWi代表內(nèi)力因虛位移所做的虛功，則當該變形體處于平衡狀態(tài)時，應(yīng)滿足δWe+δWi=0 （1）

在保守系統(tǒng)中，外力虛功等于虛位移引起的外力勢能改變的負值，則δWe可改寫為-δV。內(nèi)力虛功等于虛位移引起的變形體內(nèi)應(yīng)變能的變化的負值，則δWi可改寫為：-δU，則式（a）可寫為虛位移是滿足體系支承約束條件下的一個微小位移變化，是實際位移的一階變分，因此虛應(yīng)變能δu就是實際應(yīng)變能的一階變分，-δWe就是實際外力勢能（-We）的一階變分，簡寫為-δWe。故式（b）可以寫成：δ（U+V）=δ（U-W）=0 （3）

即 δⅡ=0，式中Ⅱ=U+V=U-W為體系具有的總勢能。當體系處于在平衡狀態(tài)時，總勢能的一階變分為零，或此體系的總勢能為駐值。這就是勢能駐值原理。

瑞利-里茲法是建立在勢能駐值原理基礎(chǔ)上的近似方法。今假定體系在中性平衡時的位移用沿坐標軸x，y，z方向的三個位移u，v，w來表示，并分別取下列位移函數(shù)

式中 （I=1.2.3…n）是待確定的3n個獨立參數(shù)，稱為廣義坐標。 是3n個x，y，z的連續(xù)函數(shù)，稱為坐標函數(shù)，它們可任意假定，但須盡量滿足幾何和力學(xué)邊界條件。

今將上式代入總勢能Ⅱ的表達式，則總勢能Ⅱ?qū)⑹?n個廣義坐標或獨立參數(shù)的函數(shù)。根據(jù)勢能駐值原理，要求 ，于是得

在簡單桁架達到極限荷載后，由于切線剛度矩陣行列式的值趨近于零，從而產(chǎn)生奇點，根據(jù)牛頓——拉斐遜法編制的程序計算發(fā)生溢出。

通過上述算例可知，可以將基于有限元的非線性（幾何非線性、材料非線性）分析方法應(yīng)用于分析網(wǎng)殼、網(wǎng)架，從而為進一步研究復(fù)雜結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性提供了啟示，克服現(xiàn)行的有限元分析軟件收斂性要求過高、單元劃分過于嚴格的缺點。

參考文獻

[1] 丁皓江、何福保等.彈性和塑性力學(xué)中的有限單元法.機械工業(yè)出版社，1989

[2] 劉光棟、羅漢泉.桿系結(jié)構(gòu)穩(wěn)定.北京：人民交通出版社，1988

[3] 尹越.單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性研究.天津大學(xué)博士生論文，1998

[4] 夏志斌、潘有昌.結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論.高等教育出版社，1989

[5] 王國權(quán).長懸臂桁架基于有限元的穩(wěn)定性和極限承載研究.天津大學(xué)碩士畢業(yè)論文，2005

【作者簡介】王國權(quán)（1979-），男，江蘇南通人，結(jié)構(gòu)設(shè)計師，碩士，研究方向：結(jié)構(gòu)工程。

【文章編號】1627-6868（2014）06-0008-03

摘 要：本文首先介紹了分析壓桿穩(wěn)定的線性有限單元，然后引入對幾何非線性問題的一般討論，提出了結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣。最后介紹了求解幾何非線性方程的牛頓——拉斐遜法，應(yīng)用此方法通過編程分析得出簡單桁架荷載—位移曲線。

關(guān)鍵詞：穩(wěn)定性；有限元；幾何非線性；切線剛度矩陣；簡單桁架

桁架是由一些細長桿在其兩端連接（利用焊接或鉚接等方法）而成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。它在橋梁、起重機與屋架等工程對象中得到廣泛的應(yīng)用。如果桁架所有桿件的軸線與其受到的載荷均在一個平面內(nèi)，稱此類桁架為平面桁架，否則稱為空間桁架。

結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，任何結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)可能有三種形式：穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)。

假設(shè)結(jié)構(gòu)在平衡狀態(tài)附近作無限小偏離后，如果結(jié)構(gòu)仍能恢復(fù)到平衡狀態(tài)，則這種平衡狀態(tài)為穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；如果結(jié)構(gòu)在微小擾動作用下偏離其平衡狀態(tài)后，不能再恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，反而繼續(xù)偏離下去，則這種平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；如果結(jié)構(gòu)在微小偏離其平衡狀態(tài)后，既不能再恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，也不繼續(xù)偏離下去，而是在新的位置形成新的平衡，則這種平衡狀態(tài)為隨遇平衡狀態(tài)，隨遇平衡狀態(tài)往往是從穩(wěn)定平衡狀態(tài)向不穩(wěn)定平衡狀態(tài)過渡的一種中間狀態(tài)。

1.壓桿穩(wěn)定的線性有限單元法——瑞利-里茲法

變形體的虛位移原理表明：變形體處于平衡狀態(tài)的充分和必要條件是，對與支承約束條件相協(xié)調(diào)的任意微小虛位移，外力虛功與內(nèi)力虛功的總和等于零。

如以δWe代表外力因虛位移而作的虛功，以δWi代表內(nèi)力因虛位移所做的虛功，則當該變形體處于平衡狀態(tài)時，應(yīng)滿足δWe+δWi=0 （1）

在保守系統(tǒng)中，外力虛功等于虛位移引起的外力勢能改變的負值，則δWe可改寫為-δV。內(nèi)力虛功等于虛位移引起的變形體內(nèi)應(yīng)變能的變化的負值，則δWi可改寫為：-δU，則式（a）可寫為虛位移是滿足體系支承約束條件下的一個微小位移變化，是實際位移的一階變分，因此虛應(yīng)變能δu就是實際應(yīng)變能的一階變分，-δWe就是實際外力勢能（-We）的一階變分，簡寫為-δWe。故式（b）可以寫成：δ（U+V）=δ（U-W）=0 （3）

即 δⅡ=0，式中Ⅱ=U+V=U-W為體系具有的總勢能。當體系處于在平衡狀態(tài)時，總勢能的一階變分為零，或此體系的總勢能為駐值。這就是勢能駐值原理。

瑞利-里茲法是建立在勢能駐值原理基礎(chǔ)上的近似方法。今假定體系在中性平衡時的位移用沿坐標軸x，y，z方向的三個位移u，v，w來表示，并分別取下列位移函數(shù)

式中 （I=1.2.3…n）是待確定的3n個獨立參數(shù)，稱為廣義坐標。 是3n個x，y，z的連續(xù)函數(shù)，稱為坐標函數(shù)，它們可任意假定，但須盡量滿足幾何和力學(xué)邊界條件。

今將上式代入總勢能Ⅱ的表達式，則總勢能Ⅱ?qū)⑹?n個廣義坐標或獨立參數(shù)的函數(shù)。根據(jù)勢能駐值原理，要求 ，于是得

在簡單桁架達到極限荷載后，由于切線剛度矩陣行列式的值趨近于零，從而產(chǎn)生奇點，根據(jù)牛頓——拉斐遜法編制的程序計算發(fā)生溢出。

通過上述算例可知，可以將基于有限元的非線性（幾何非線性、材料非線性）分析方法應(yīng)用于分析網(wǎng)殼、網(wǎng)架，從而為進一步研究復(fù)雜結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性提供了啟示，克服現(xiàn)行的有限元分析軟件收斂性要求過高、單元劃分過于嚴格的缺點。

參考文獻

[1] 丁皓江、何福保等.彈性和塑性力學(xué)中的有限單元法.機械工業(yè)出版社，1989

[2] 劉光棟、羅漢泉.桿系結(jié)構(gòu)穩(wěn)定.北京：人民交通出版社，1988

[3] 尹越.單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性研究.天津大學(xué)博士生論文，1998

[4] 夏志斌、潘有昌.結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論.高等教育出版社，1989

[5] 王國權(quán).長懸臂桁架基于有限元的穩(wěn)定性和極限承載研究.天津大學(xué)碩士畢業(yè)論文，2005

【作者簡介】王國權(quán)（1979-），男，江蘇南通人，結(jié)構(gòu)設(shè)計師，碩士，研究方向：結(jié)構(gòu)工程。

【文章編號】1627-6868（2014）06-0008-03