改進的蟻群算法求解置換流水車間調(diào)度問題

張麗萍(青島科技大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，山東 青島266061)

置換流水車間是很多實際流水線生產(chǎn)調(diào)度問題的簡化模型，是目前研究最廣泛的一類經(jīng)典的調(diào)度問題。由于置換流水車間調(diào)度問題屬于NP-hard難題，不存在多項式精確求解算法，因此，對這類問題的研究具有重要意義。

求解置換流水車間調(diào)度問題的方法大致可以分為三類[1]：經(jīng)典算法(如線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、分枝定界等)、啟發(fā)式算法(如 Gupta 法、Palmer法、Johnson 法、CDS法、NEH法等)和基于人工智能的元啟發(fā)式算法(如模擬退火、禁忌搜索、遺傳算法、螞蟻算法等)。經(jīng)典算法的計算復(fù)雜性一般很大，只適合求解小規(guī)模置換流水車間調(diào)度問題，在工程中往往不實用。啟發(fā)式算法通過一定的規(guī)則可以快速地構(gòu)造出問題的解，但通常解的質(zhì)量較差[2]?；谌斯ぶ悄艿脑獑l(fā)式算法能夠較快地構(gòu)造出問題的解，因此，在置換流水車間調(diào)度問題中被廣泛使用。

蟻群算法是受到自然界中真實螞蟻的啟發(fā)，由意大利學(xué)者DORIGO M于1991年提出的一種元啟發(fā)式算法。該算法具有魯棒性和通用性等良好特性，在求解作業(yè)車間、流水車間等調(diào)度問題上取得了較好的效果。但是，傳統(tǒng)的蟻群算法存在計算時間長和易陷入停滯的問題，故本文從結(jié)合NEH算法和自適應(yīng)調(diào)節(jié)策略兩方面來改善蟻群算法的性能，經(jīng)Taillard基準測試驗證，改進后的蟻群算法有效。

1 問題描述

置換流水車間調(diào)度問題研究的是n個工件在m臺機器上的流水加工過程，所有工件以相同的順序在每一臺機器上加工完成，同時約定每個工件在每臺機器上只加工一次，每臺機器每次最多只能加工一個工件，各工件在各機器上所需的加工時間已知，要求得到某調(diào)度方案使得總加工時間最小。定義J=(j1，…，jn)為所有機器上的一個加工排序，ti，j為操作的執(zhí)行時間，Ci，j表示操作的完成時間。則加工任務(wù)jk在機器i上的完成時間Ci，jk按式(1)計算：

2 蟻群算法

2.1 蟻群算法簡介

螞蟻是一種沒有視覺的動物，但是它們可以通過信息素，協(xié)同找到食物和巢穴之間的最短路徑[3]。螞蟻在運動過程中能夠感知這種物質(zhì)的存在及其強度，并以此指導(dǎo)自己的運動方向，使螞蟻傾向于朝著該物質(zhì)強度高的方向運動。這樣，由大量螞蟻組成的蟻群的集體行為便表現(xiàn)出一種自催化的正反饋行為，較短路徑上會有較多的信息素累積，越來越多的螞蟻選擇信息素濃度高的路徑，而其他路徑上的信息素濃度卻會隨時間衰減，最終蟻群能找到一條從食物源到巢穴的最短路徑[4]。

蟻群算法最初用于解決旅行商問題，之后陸續(xù)滲透到其他領(lǐng)域中。較早把蟻群算法應(yīng)用到置換流水車間問題的是YING K C和LIAO C J，后者在Tailard的benchmark問題上做了測試，證實該方法非常有效。

2.2 蟻群算法

本文以求解置換流水車間問題說明MMAS模型。求解這類問題有兩種解構(gòu)造模式，分別為弧模式和節(jié)點模式[5]。本文采用的是節(jié)點模式。

在解構(gòu)造的結(jié)點模式下，代表流水車間調(diào)度問題的有向圖 G=(N，A)，如圖 1所示。 其中，N={Oij}是圖中的節(jié)點集合，節(jié)點Oij代表作業(yè)j位于作業(yè)處理序列π的第i個位置；A是圖G中部分連接節(jié)點集N中各節(jié)點的有向弧的集合，連接節(jié)點 Oij和 O(i+1)，l的有向弧方向為從 Oij～O(i+1)，l。 這里的路徑選擇 概率為：

圖1 節(jié)點模式下的流水車間

在節(jié)點模式下，式(2)中 Nk(Oij)={O(i+1)，l|l?π′}代表節(jié)點 Oij的可行領(lǐng)域集合。 其中 τij和 ηij分別代表對應(yīng)于節(jié)點Oij的信息素濃度和基于問題的啟發(fā)式信息。表示人工蟻搜索過程中從節(jié)點移到節(jié)點 Oij的概率。

從虛構(gòu)節(jié)點job0出發(fā)，按照式(2)給出的狀態(tài)遷移規(guī)則，在G圖中一步步地構(gòu)造出問題的解，蟻群算法的流程如下：

(1)設(shè)置參數(shù)。設(shè)置迭代次數(shù)counter=0,設(shè)置最大迭代次數(shù)Ncmax。計算每個工件的總加工時間Si(i=1，…，n)，定義能見度ηij=Si。按照工件總加工時間 Si最大優(yōu)先的原則計算出最大流程時間makespan，設(shè)置信息素賦初始值 τ0=1/((1-ρ)·makespan)；τmax=τ0，τmin=τmax/5。

(2)初始化m個螞蟻，將m個螞蟻放在虛擬節(jié)點job0上。

(3)每個螞蟻都按照式(2)選擇下一步路徑。

(4)將新選擇的工序添加到禁忌表中，判斷是否遍歷了所有的工件，是則執(zhí)行步驟(5)，否則執(zhí)行步驟(3)。

(5)按照式(3)更新信息素。

其中，ρ為信息素殘留系數(shù)(1-ρ為揮發(fā)系數(shù))；△τij=1/Cbest，令Cbest為迭代以來最優(yōu)解，|Cbest|為 Cbest的 makespan值，如果Cbest中位置 j上工件不為 i，則 △τij為 0，否則 △τij=1/|Cbest|。信 息 素 取 值 區(qū) 間 為 [τmin，τmax]， 若 τij＞τmax， 則 設(shè) 定 τij=τmax；若 τij＞τmin，則設(shè)定 τij=τmin。 這樣可以較好地防止早熟現(xiàn)象。

(6)count++。 如果 count＜Ncmax，則清空禁忌表，返回步驟(2)繼續(xù)執(zhí)行；否則，結(jié)束循環(huán)。

3 MMAS的優(yōu)化

3.1 NEH啟發(fā)式算法

NEH啟發(fā)式算法是由 NAWAZ M、ENSCORE E、和HAM I共同提出的算法[6]，該算法步驟如下：

(1)按n個工件在機器上總加工時間遞減的順序排列各個工件。

(2)取前兩個工件調(diào)度使部分最大流程時間達到極小。

(3)從k=3～n把第k個工件插入到k個可能的位置，求得最小部分的最大流程時間。

3.2 與NEH算法的結(jié)合

(1)獲取初始解。利用NEH啟發(fā)式算法計算得到最大流程時間 makespan，并定義 τ0=1/((1-ρ)·makespan)。

(2)部分NEH局部搜索。在使用MMAS構(gòu)造出路徑之后，對構(gòu)造的工件順序按照NEH啟發(fā)式算法的步驟(2)、(3)構(gòu)造出解。利用NEH啟發(fā)式算法進行局部尋優(yōu)，可以進一步提高MMAS的求解質(zhì)量。但是為了保證算法的時間效率，在此只對Nmax次迭代中的前N次迭代利用NEH啟發(fā)式算法對迭代最優(yōu)螞蟻進一步局部尋優(yōu)。

3.3 自適應(yīng)信息素揮發(fā)系數(shù)

與NEH算法相結(jié)合，雖然極大程度地提高了MMAS解質(zhì)量，但是也從一定程度上加速了MMAS的局部收斂速度。為此，本文引入自適應(yīng)改變揮發(fā)度系數(shù)的方法，以進一步提高MMAS的全局搜索能力。

在算法模型中，信息素揮發(fā)系數(shù)ρ的大小直接關(guān)系到蟻群算法的全局搜索能力及收斂速度[3]。ρ過小，從未被搜索到的節(jié)點的信息量會減少到接近于0，降低了算法的全局搜索能力；而ρ過大，以前搜索過的解被選擇的可能性過大，也會影響到算法的全局搜索能力。因此可以自適應(yīng)地改變ρ的值，當最優(yōu)值在一定循環(huán)次數(shù)內(nèi)沒有明顯改變時，降低ρ的值。公式如下：

其中，ρmin為 ρ的最小值，用來防止 ρ過小，降低算法收斂速度。

3.4 改進MMAS的實現(xiàn)流程

改進后的MMAS算法求解置換流水車間問題的流程圖如圖2所示。

圖2 改進MMAS算法流程圖

(1)初始化各個參數(shù)。設(shè)置螞蟻數(shù)量為m、迭代次數(shù)counter=0、最大迭代次數(shù)為Ncmax、局部搜索次數(shù)為 N。計算每個工件的總加工時間Si(i=1，…，n)，定義能見度ηij=Si。 設(shè)置信息素殘留系數(shù)為 ρ，ρmin為 ρ的最小值，定義Nm次迭代最優(yōu)解相同，則判定陷入局部最優(yōu)。

(2)利用NEH啟發(fā)式算法得到總加工時間的初始值makespan，設(shè)置 τ0=τmax=1/((1-ρ)·makespan)，τmin=1/5·τmax。

(3)將各只螞蟻放在虛擬節(jié)點job0上，對于每只螞蟻，按照式(2)選擇下一步路徑，直到所有螞蟻均構(gòu)造出解。

(4)若count＜N，則利用NEH啟發(fā)式算法的后兩步對最優(yōu)迭代螞蟻選擇的路徑做進一步局部尋優(yōu)；否則，執(zhí)行步驟(5)。

(5)判斷迭代最優(yōu)解相同次數(shù)小于 Nm，則執(zhí)行步驟(6)；否則，按照式(4)改變揮發(fā)系數(shù)的值，再執(zhí)行步驟(6)。

(6)按照式(3)進行信息素的更新，檢查信息素的邊界，使其保持在[τmin，τmax]的范圍內(nèi)。

(7)count++。如果 count＜Ncmax，清空禁忌表，返回步驟

(3)繼續(xù)向下執(zhí)行；否則，結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果。

4 仿真實驗

本文測試數(shù)據(jù)采用Taillard在1993年提出的基準測試問題，并將運行結(jié)果與其他參考文獻提出的算法進行比較，以此驗證提出的改進蟻群算法是有效的。

本文算法各參數(shù)設(shè)置如下：螞蟻個數(shù) na=20，揮發(fā)系數(shù) ρ=0.99，揮發(fā)系數(shù)最小值 ρmin=0.5，α=1.0，β=4.0，最大迭代次數(shù)為300，局部搜索次數(shù)為10。本文選取每種規(guī)模系列問題中的第一個問題進行計算，并與NEARCHOU A C[5]提出的算子遺傳算法(GA)、Lian Zhigang[7]提出的NPSO粒子群算法進行比較，每個算例連續(xù)運行20次，記錄其中的最優(yōu)結(jié)果，如表1所示。其中，BS表示運行結(jié)果中的最優(yōu)解，RPD(Relative Percentage Deviation)表示相對誤差百分率。由表1可知，相比其他兩種算法，本文提出的算法在求解Taillard系列問題方面能夠更好地收斂在最優(yōu)解附近。

表1 改進蟻群算法的運行結(jié)果

本文針對解置換流水車間調(diào)度問題提出了一種改進的蟻群算法。在該算法中，采用NEH算法產(chǎn)生初始解，并利用自適應(yīng)揮發(fā)系數(shù)的方法避免算法早熟，使分散搜索和集中搜索達到有效平衡，提高了算法的搜索能力。Taillard系列基準問題測試表明，本文的算法是有效的。

[1]高海兵，周馳.廣義粒子群優(yōu)化模型[J].計算機學(xué)報，2005，28(12)：1980-1987.

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[3]李士勇.蟻群算法及其應(yīng)用[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2004.

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[6]NAWAZ M，ENSCORE E，HAM I.A heuristic algorithm for the mmachine，n job flow shop[J].The International Journal of Management Sciences，1983，11(1)：91-95.

[7]Lian Zhigang，Gu Xingsheng，Jiao Bin.A Novel particle swarm optimization algorithm for permutation flow shop scheduling to minimize makespan[J].Chaos，Solitons and Fractals，2008，35(5)：851-861.