雙點(diǎn)星so覆蓋與2－序列覆蓋映像①

孫秀華，呂 誠

(安徽建筑大學(xué)數(shù)理系，安徽 合肥 230022)

在“映射與空間”這一課題中，序列覆蓋映射起著極為重要的作用，其中2－序列覆蓋映射條件最強(qiáng)，研究2－序列覆蓋映像可揭示序列覆蓋映像的普遍性質(zhì)，尋求更多的有關(guān)2－序列覆蓋映像等價(jià)刻畫很有價(jià)值。文獻(xiàn) ［1］、 ［2］和 ［3］ 中分別討論了局部可分度量空間的2－序列覆蓋s映像、2－序列覆蓋緊映像和2－序列覆蓋cs映像。于是另辟捷徑，引入雙點(diǎn)星so覆蓋，并得到其與2－序列覆蓋映射像之間的聯(lián)系，豐富了文獻(xiàn) ［2］中的相關(guān)結(jié)論。

定義1.1［4］:設(shè)映射f:X→Y，

(1)對于任意y∈Y以及相應(yīng)的x∈f－1(y)滿足:對Y中收斂序列{yn}和極限點(diǎn)y，一定存在X中收斂于極限點(diǎn)x的收斂序列{xn}，并且每一xn∈f－1(yn)，此時(shí)f稱為2－序列覆蓋映射。

(2)如果對每一f－1(y)都是X的緊子集，則f稱為緊映射。

定義 1.2［5］:令 {(Xλ，{ρλ，n}):λ ∈ Λ}為空間X的雙點(diǎn)星覆蓋，并且對于任意λ∈Λ，(fλ，Mλ，Xλ，{ρλ，n})構(gòu)成 Ponomarev －system。因?yàn)槊恳?ρλ，n都是可數(shù)的，Mλ為可分空間并可度量化。再令M，于是M是局部可分度量空間，其中f是從空間M到空間X的連續(xù)滿映射，稱(f，M，X，{ρλ，n})為 ls － Ponomarev －system。

刻畫局部可分度量空間的緊映像中，［5］中定義了雙點(diǎn)星cs覆蓋和雙點(diǎn)星cs*覆蓋，［6］定義了雙點(diǎn)星sn覆蓋。以下通過推廣上述方式引入定義雙點(diǎn)星so覆蓋。

定義1.3:空間X的雙點(diǎn)星覆蓋{(Xλ，{ρλ，n}):λ∈Λ}稱為雙點(diǎn)星so覆蓋，如果對于任意n∈N和任意λ∈Λ，ρλ，n為Xλ的so覆蓋。

引理1.4［4］:設(shè)映射f:X→Y，其中{Bn:n∈N}是X中某點(diǎn)x的遞減的鄰域基，且每一f(Bn)是f(x)在 Y中的序列鄰域。若在 Y中序列{yn:n∈N }收斂于f(x)，那么存在xn∈f－1(yn)使得在X中序列 { xn:n∈N }收斂于x。

定理1.5:若X是具有點(diǎn)有限的雙點(diǎn)星so覆蓋的空間，則存在 ls－Ponomarev－system{f，M，X，{ρλ，n}}，并且f是2－序列覆蓋緊映射。

證明:假如 X 具有雙點(diǎn)星覆蓋 {(Xλ，{ρλ，n}):λ∈Λ}，并且{Xλ:λ∈Λ}及每一ρλ，n都是點(diǎn)有限的，于是對任意x∈X，指標(biāo)集Λx={Xλ:λ∈Λ，x∈Xλ}是有限的，考察映射fλ:Mλ→Xλ，對任意，則由每一 ρλ，n的 點(diǎn) 有 限 性 知是緊子集，且為有限個(gè)緊子集的并，故f－1(x)也為緊子集，即f是緊映射。

下證 f是 2－序列覆蓋映射。由于 {(Xλ，{ρλ，n}):λ∈Λ}是雙點(diǎn)星so覆蓋，故對于任意x，即存在λ∈Λ，使得對任n∈N，Pβn∈ρλ，n。

對每一i∈N，令Di= { α =(αn):α∈M，且對于n≤i有αn=βn}，于是{Di:i∈N}是γ在M中遞減的鄰域基。一方面，設(shè)α=(αn)Di，則另一方面，若存在yn≤iPαn，則可以選取η =(ηn)M如下，當(dāng)n≤i有Pηn=Pαn，并且對任nN有yPηn，于是y=f(η)f(Di)?？傊蔀閤的序列鄰域，于是由引理1.4可得:對于X中收斂于x的序列{xi:i∈N}，存在ηi∈f－1(xi)使得M中序列{ηi:i∈N}收斂于γ。即f是2－序列覆蓋映射。

定理1.6:若空間X是局部可分度量空間的2－序列覆蓋緊映像，那么X是具有點(diǎn)有限的雙點(diǎn)星so覆蓋的空間。

定理1.7:M是一個(gè)局部可分度量空間，對于空間X，下列論述均等價(jià):

(1)X為M的2－序列覆蓋緊映射像;

(2)X是具有點(diǎn)有限雙點(diǎn)星so覆蓋的空間;

(3)X中存在{Xα:α∈Λ}是點(diǎn)有限的覆蓋，每個(gè)Xα具有可數(shù)的點(diǎn)有限加細(xì)的覆蓋列{ραi:i∈N}，令 ρi=∪α∈Λραi，則 {ρi:i∈N}是 X 的點(diǎn)有限的so覆蓋的點(diǎn)星網(wǎng)。

引理1.8［4］:設(shè)映射f:X→Y，若Y是序列空間，f是子序列覆蓋映射，則f是商映射。

推論1.9:設(shè)M是一個(gè)局部可分度量空間，若X是具有點(diǎn)有限的雙點(diǎn)星so覆蓋的序列空間，X必然是M的2－序列覆蓋商緊映射像。

證明:如果有序列空間X具有點(diǎn)有限的雙點(diǎn)星so覆蓋，由定理1.5可知X是M的2－序列覆蓋緊映射像，因?yàn)?－序列覆蓋映射必然是子序列覆蓋映射，再X是序列空間，由引理1.8可以知X也應(yīng)該是M的商映像。

［1］周麗珍.局部可分度量空間的各類序列覆蓋映像［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1999，42(4):577 －582

［2］呂誠，孫秀華.局部可分度量空間的序列覆蓋緊映像［J］. 合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，31(9):1525－1527

［3］呂誠，王龍奎.局部可分度量空間的cs映像［J］.宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，32(8):19 －20

［4］林壽.點(diǎn)可數(shù)覆蓋與序列覆蓋映射［M］.北京:科學(xué)出版社，2002:25，52－53，71－76

［5］ Tran T，Nguyen V.ls－Ponomarev－Systems and Compact Images of Locally Separable Metric Spaces［J］.Methods of Functional Analysis and Topology，2009，15(4):391 －400

［6］孫秀華，呂誠.ls－Ponomarev－Systems與1－序列覆蓋映像［J］.佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，30(3):423－424

［7］ Engelking R.General Topology［M］.Warsaw:PWN，1977:358－359