建立關系模型 溝通新舊知識

蔣望雷+湯驥

【課前思考】

1.在學生已有的知識結構中，與“小數(shù)乘法”最具關聯(lián)的內容是什么？

現(xiàn)代認知心理學認為：人的知識是以點、線、網狀等形式儲存在大腦中的，如果新學的知識結構與學生原有的知識結構相關聯(lián)，那么儲存在大腦中的知識就會很快地被喚醒，并為新的知識提供解釋。

學生在學習小數(shù)乘整數(shù)之前已經具備了整數(shù)乘法的算理結構、積的變化規(guī)律與小數(shù)意義的表征方式，然對于“小數(shù)乘法”這部分教學內容來說，筆者認為：最能被激活的應該是學生已有的“整數(shù)乘法的算理結構”。

2.從教材的編寫來看，貫穿“小數(shù)乘法”整個單元教學的支撐點是什么？

小數(shù)實質上是十進分數(shù)，要讓學生理解小數(shù)乘法的意義，本應從分數(shù)乘法的意義入手，但這樣顯然不能支撐整個單元。小數(shù)乘整數(shù)時，利用“計數(shù)單位的運算”來解釋算理或許可以（倘若想利用圖形表征，一般也僅選用純小數(shù)，否則圖形的描述與單位的轉換操作會更麻煩），但考慮到后續(xù)學習“小數(shù)乘小數(shù)”時，在理解上，對學生來說又像換了根“拐杖”?；谝陨险J識，深入分析教材的編寫意圖，筆者認為應是淡化意義而突出算法的教學。關鍵點或者說是整個單元的支撐點是溝通“小數(shù)乘法”與“整數(shù)乘法”的密切聯(lián)系，用積的變化規(guī)律來解釋小數(shù)乘法的算理，并由此總結出小數(shù)乘法的一般規(guī)律。

3.從兒童的認知特點分析，怎樣的教學設計更契合學生的認知基礎？

教學中尋找一種適合學生認知水平的思維“腳手架”非常重要，“小數(shù)乘整數(shù)”這節(jié)課過程展開的主線無非就是兩種：一是從學生已有的整數(shù)算理結構出發(fā)，利用積的變化規(guī)律來建構小數(shù)乘整數(shù)的算理結構，突出的是“轉化的思想”； 二是從學生對小數(shù)意義本質的理解出發(fā)，利用整數(shù)乘法的原理幫助建構小數(shù)乘整數(shù)的算理結構[如4.3×3理解為43個0.1×3=（43×3）個0.1=129個0.1=12.9]，突出的是“類比推理”的思想。相比之下，“轉化”的方法學生在學習和生活中接觸得更為廣泛。結合教材編寫的意圖：從貨幣單位之間的轉化切入，找到整數(shù)乘法與小數(shù)乘整數(shù)的內在連接，再通過概括提升小數(shù)乘整數(shù)的意義與方法，這樣的設計充分依據(jù)兒童的認知特點，符合絕大部分學生的認知基礎。

【課堂前測】

通過教學前測，我們發(fā)現(xiàn)學生都能自覺地應用所學知識，采用多種方法計算出簡單的小數(shù)乘整數(shù)算式的結果并進行相對合理的解釋。存在的問題主要有以下三點。

1.采用的方法往往只局限于解決簡單的小數(shù)計算問題（如整數(shù)是一位數(shù)的），對于小數(shù)乘法不具有普適性，無法有效建立積的變化規(guī)律與小數(shù)乘法的聯(lián)系。

2.“知其然，不知其所以然”，能算出結果，但對算理無法準確地理解和表述（對于答案的判斷更多的是出于一種感覺）。

3.能自覺地采用“小數(shù)計數(shù)單位的運算”來解釋算理的學生很少，反映在以此種思路設計的課堂實踐中，教師能夠明顯感覺到學生大多只是被動地接受教師的“灌輸”。

【教學思路】

在經過“教材分析—課前思考—教學前測—嘗試教學”等實踐環(huán)節(jié)之后，筆者確定了從學生已有的整數(shù)算理結構出發(fā)，利用積的變化規(guī)律來建構小數(shù)乘整數(shù)的算理結構，突出“轉化思想”的總體思路。教學設計和實踐過程如下：

一、教學目標：

1.通過具體的生活情境，引導學生自主探索小數(shù)乘整數(shù)的計算規(guī)則，從而進一步理解和掌握小數(shù)乘整數(shù)的一般方法，能正確筆算。

2.使學生經歷探索小數(shù)乘整數(shù)計算方法的過程，從中感受轉化思想，體會數(shù)學知識之間的聯(lián)系。

二、教學重難點：

重點：掌握小數(shù)乘整數(shù)的筆算方法，能正確筆算。

難點：理解將小數(shù)乘法轉化為整數(shù)乘法的計算方法。

三、教學過程：

課前談話：同學們，上虞有個被譽為中國的“羅密歐與朱麗葉”的故事，故事的主人公梁山伯與祝英臺最后化作了美麗的蝴蝶。今天蔣老師也帶來了一只蝴蝶，不過這只蝴蝶可不是梁?；傻模粗诎迳系膬煞鶊D（蝴蝶與蛹），你想到了什么？

師：我們看到這美麗的蝴蝶，就不由得想到了它的前身是蛹，不是有個成語叫……（化蛹成蝶）。在我們的生活中，還有哪些類似的事情？（學生舉例）

師：是啊，如果我們能在學習和生活中始終用一種聯(lián)系的眼光去看待新的事物、新的問題，這將會使我們的認識更深刻，解決問題更簡便。

（設計意圖：用學生熟識的動人故事引入，激發(fā)學生的學習興趣，喚起學生“用聯(lián)系的眼光看待新事物”的意識，迅速拉近知識與學生的距離，同時滲透“轉化”的思想。）

（一）利用情境，提出問題

師：請同學們仔細觀察，從圖中你知道了哪些數(shù)學信息？根據(jù)這些信息你能提出哪些數(shù)學問題？（直接利用教材主題圖，學生展開交流）

（設計意圖：通過“放風箏、購風箏”的生活情境引入，直奔計算教學主題，激發(fā)學生的學習興趣，滲透數(shù)學來源于生活、應用于生活的思想，培養(yǎng)學生從生活情景中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。）

（二）探究算法，理解算理

1.自主探索，感知算法。

師：你能解決圖中的問題嗎？買3個燕子風箏（3.5元/個）要多少錢？請你先獨立思考，然后試著把你的計算過程完整地寫下來。你還可以用其他的方法來驗證你的結果是否正確嗎？（學生獨立計算，教師巡視）

師：請把你的想法先在小組內交流。（學生交流）

師：誰能來匯報一下你的算法？（預設：①連加； ②利用計量單位化聚解答問題；③整數(shù)部分和小數(shù)部分分別相乘再相加；④豎式筆算3.5元×3=10.5元。）

師：（根據(jù)學生不同的反饋，抓住一個共同點進行評價）其實大家都是利用了以前的知識來解決今天的新問題，就像剛才講的由“蝴蝶”聯(lián)想到了“蛹”。endprint

（設計意圖：讓學生運用原有的知識和生活經驗，在獨立思考的基礎上自主計算，鼓勵學生大膽地將個性化的方式充分展現(xiàn)，兼顧不同層次學生的學習狀態(tài)。利用教材給出的“3.5×3”作為探究算法的材料，便于學生利用“貨幣單位的化聚”來解釋算理并能自覺采用多種方法驗證自己的計算結果，同時也便于引導學生體會小數(shù)乘法與整數(shù)乘法的密切聯(lián)系。通過交流，讓學生在自我驗證的基礎上最大程度地獲得多樣化的解釋，促進自我反思。再通過教師的引導，初步獲得運用 “轉化”的思想方法去探究新知的意識。）

2.強調“轉化”，探明算理。

師：剛才有同學用豎式計算出了3.5×3的結果是10.5，而且我們也用多種方法驗證了這一結果是正確的，但老師想知道這位同學在算的過程中是怎么想的？

（預設生匯報：把3.5先看成35，這樣3.5×3就變成了35×3，然后算出得數(shù)是105，再把積除以10，就得到10.5。）

師：哦，你是先把它想成了整數(shù)乘法35×3來計算，那你是怎么把3.5變成35的呢？然后又是怎么變回原來的積的呢？

師：這是利用了我們之前學過的什么知識呢？（師根據(jù)學生的敘述，逐步板書豎式如下圖。）

師： 大家一起來看，這兩個式子和黑板上的兩張圖片對應，你發(fā)現(xiàn)了什么？（生答：小數(shù)乘法對應蝴蝶，整數(shù)乘法就是蛹）是啊，“蛹”是我們已經學會的本領，我們就是用“原來的知識”來解決“新的問題”，這真是一種非常好的辦法。

（設計意圖：讓學生在多種方法中感悟相通之處，提煉出“化小數(shù)乘法為整數(shù)乘法”的主要思路，并引導學生利用“積的變化規(guī)律”來解釋小數(shù)乘法的算理，提高學生的推理能力。教學中運用“蝴蝶與蛹”的關系模型，幫助學生建構了用“原來的知識”來解決“新的問題”的認知模型，比較明顯地突出了轉化思想，也使學生感受到了方法的優(yōu)越性。）

師：那請同學們接著用剛才的方法算一算“0.35×3”等于多少？你為什么能較快地得出結果？

師：算“0.35×3”我們也想到了“35×3”這一整數(shù)乘法，那么現(xiàn)在因數(shù)和積又是怎么變的呢？（生敘述，教師逐一板書）

（設計意圖：依據(jù)學情調整教學，補充可以轉化為同一整數(shù)乘法的“0.35×3”作為變式練習，能較明顯地突出小數(shù)乘法計算中“算小數(shù)乘法想整數(shù)乘法”的關鍵步驟。進一步強化了用整數(shù)乘法這一“蛹”來解釋小數(shù)乘法的算理結構，便于總結小數(shù)乘整數(shù)的一般方法。）

3.比較寫法，理解算理。

（1）第一次對比：整數(shù)乘法豎式與小數(shù)乘法豎式的對比。

師：你能很快寫出這兩組題的得數(shù)嗎？看一看，他們有什么聯(lián)系？你能從中聯(lián)系到“蝴蝶”和“蛹”嗎？（重點討論小數(shù)乘法和整數(shù)乘法的聯(lián)系與區(qū)別。）

（2）第二次對比：小數(shù)乘法豎式的不同寫法的對比。（豎式出示3.2×13）

師：看到這個算式后，你頭腦中首先想到的是什么？請在你的紙上用豎式算一算。（預設：①在小數(shù)乘法豎式的旁邊寫一個整數(shù)乘法豎式，小數(shù)乘法豎式沒有中間計算過程；②一個豎式，但中間過程有小數(shù)點；③算小數(shù)乘法，想整數(shù)乘法，中間過程為整數(shù)。）根據(jù)學生練習分別加以呈現(xiàn)：

師：你覺得哪一種最簡潔、最方便，算起來速度也比較快？展開討論，逐步引導學生形成共同體會：第一種算法比較費時、記錄比較麻煩；第二種算法，既然已經看成整數(shù)乘法了，算的過程就是整數(shù)乘法的過程，所以沒有必要在過程中出現(xiàn)小數(shù)點；第三種方法相對比較簡潔，并能很好地記錄“算小數(shù)想整數(shù)”的算法。

師：那么你能在這個豎式中找到“蛹”嗎？請你把它框出來。看來這個豎式不但能算出結果，而且能很好地記錄我們的想法，也就是既有我們要算的“蝴蝶”，也有我們想到的“蛹”，真是“蝶蛹合體”了。

（設計意圖：通過第一次對比，溝通小數(shù)乘法與整數(shù)乘法的聯(lián)系，有利于學生將新知納入到已有的認知系統(tǒng)中，便于學生自覺地將整數(shù)乘法的經驗遷移到小數(shù)乘法中來。組織第二次對比交流，引導學生對算理作進一步理解和表述，讓學生體會第三種方法的簡潔、方便，進一步理解算理，為總結小數(shù)乘法的一般算法打下基礎。

從因數(shù)是一位數(shù)上升到因數(shù)是兩位數(shù)的乘法，目的就是充分暴露學生用豎式計算小數(shù)乘法的思考過程，檢測學生“算小數(shù)想整數(shù)”的轉化思想是否已經成為自覺的想法。教學實踐中，采用“看蝶想蛹”來構造小數(shù)乘整數(shù)的算法模型、用“蝶蛹合體”來搭建小數(shù)乘法豎式的結構模型，使學生記憶深刻。）

4.課堂小結，歸納算法。

師：請同學們回憶剛才的學習過程，結合黑板上的板書，說一說“小數(shù)乘整數(shù)”到底該怎么算？（教師適時給出課題：小數(shù)乘整數(shù)）

（生展開討論交流。預設：①小數(shù)乘整數(shù)按什么方法進行計算？②積的小數(shù)點如何確定？③積末尾的0怎么處理？）

師：大家說得很好，小數(shù)乘整數(shù)，先把小數(shù)看成整數(shù)算出積，再看因數(shù)發(fā)生了什么變化，就按照積的變化規(guī)律再把積進行退還。這一過程像不像是“化蛹為蝶”呢？

（設計意圖：讓學生回憶學習過程，結合例題、板書等材料自己來總結算法，培養(yǎng)學生的歸納概括和語言表達能力，發(fā)展學生的數(shù)學思維。小結中用“化蛹為蝶”一詞來解釋“轉化思想”，學生容易形成較為深刻的印象。）

（三）鞏固練習，熟練算法

1.辨錯題。師：同學們剛才總結了小數(shù)乘整數(shù)的一般方法，下面我們來看這位同學做得是否正確？（如右圖）

（預設：①學生用估算就能很快判別錯誤；②根據(jù)因數(shù)的變化來確定積的小數(shù)位數(shù)這一步發(fā)生了錯誤；③先去“0”再點小數(shù)點發(fā)生的錯誤。）

2.補充算式。師：同學們看這組題，你認為做完了嗎？在題中你能不能找到“蛹”？你能將算式補充完整嗎？（逐步出示題組，學生展開討論）

（設計意圖：通過練習，讓學生從依據(jù)“積的變化規(guī)律”來確定小數(shù)點的位置，逐步熟練到“只要看因數(shù)中的小數(shù)位數(shù)”就能確定小數(shù)點的位置，為后續(xù)概括小數(shù)乘小數(shù)的計算方法打好基礎。第二組練習引入“因數(shù)是整十、整百數(shù)”的小數(shù)乘整數(shù)乘法，豐富小數(shù)乘整數(shù)的“原型”，同時 “你能不能找到‘蛹？”，再次激發(fā)學生思考尋找整數(shù)乘整數(shù)這個“蛹”，進一步溝通整數(shù)乘法與小數(shù)乘整數(shù)之間的聯(lián)系，鞏固小數(shù)乘整數(shù)算法的理解與掌握。）endprint

（3）變式練習。師：同學們，如果我們把今天新學的“小數(shù)乘整數(shù)”看作是“蝴蝶”的話，那么“蛹”是什么？

師：老師這里有一只“蛹”，你能化作幾只“蝴蝶”呢？看誰化得多？

（設計意圖：把枯燥的練習融入到富有趣味和挑戰(zhàn)性的活動中，使學生始終以飽滿的熱情參與學習，形成了在活動中練習、在練習中鞏固、在交流中拓展思維的良好課堂氛圍。“化蛹為蝶”形象地展示了利用一個“整數(shù)乘法”原型可以解決不同“小數(shù)乘法”的主要思路。此外，開放的設計形式，兼顧了不同層次學生的發(fā)展。）

（四）全課總結，布置作業(yè)

師：同學們，今天這節(jié)課你有什么收獲？跟大家分享一下好嗎？

【課后反思】

本堂課充分尊重學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經驗，努力體現(xiàn)以學定教、學為中心的教學理念。面向全體學生，注重啟發(fā)和因材施教，較好地實現(xiàn)了知識的遷移，引導學生將整數(shù)乘法的經驗遷移到小數(shù)乘法中來。

1.創(chuàng)設和運用了“蝴蝶與蛹”這一關系模型，喚起學生用聯(lián)系的眼光思考問題、解決問題的意識。通過“看蝶想蛹”“由蝶找蛹”“化蛹為蝶”等活動，引導學生自主探索解決情境中的數(shù)學問題，再通過對幾種不同解題思路、不同算法的比較和分析，讓學生感受方法的合理性，體會“轉化”的思想。用“看蝶想蛹”來構造小數(shù)乘整數(shù)的算法模型，用“蝶蛹合體”來搭建小數(shù)乘法豎式的結構模型，使學生記憶深刻、理解透徹，從而熟練地掌握計算方法，實現(xiàn)運算教學的理想目標：基于“理解”的“熟能生巧”。

2.創(chuàng)造性地使用教材，不拘泥于教材，從調整教學內容入手，將教材中的例題2改編為0.35×3，通過解答與比較，有利于學生理解掌握小數(shù)乘整數(shù)的計算方法；在此基礎上，出示“3.2×13”，將因數(shù)由一位數(shù)上升到因數(shù)是兩位數(shù)的乘法，既有利于學習內容的拓展，又是基于突破教學難點的需要。教學過程中充分展示不同層次學生用豎式計算小數(shù)乘法的思考過程，并有針對性地展開積極有效的分析討論交流。這既充分顯示了因材施教、以學定教、以生為本的教學理念，更有利于學生總結形成小數(shù)乘整數(shù)的豎式計算方法。整個教學設計渾然一體、嚴謹縝密。

3.練習設計有層次，有梯度。本課練習的設置遵循了由易到難，呈螺旋式上升的規(guī)律，且形式多樣。將原本枯燥的練習與富有趣味的活動相融，由興趣激發(fā)動力，從而鞏固了本課知識，拓展了數(shù)學思維。

（浙江省諸暨市新世紀小學 311800

浙江省諸暨市教育局教研室 311800）endprint

（3）變式練習。師：同學們，如果我們把今天新學的“小數(shù)乘整數(shù)”看作是“蝴蝶”的話，那么“蛹”是什么？

師：老師這里有一只“蛹”，你能化作幾只“蝴蝶”呢？看誰化得多？

（設計意圖：把枯燥的練習融入到富有趣味和挑戰(zhàn)性的活動中，使學生始終以飽滿的熱情參與學習，形成了在活動中練習、在練習中鞏固、在交流中拓展思維的良好課堂氛圍?！盎紴榈毙蜗蟮卣故玖死靡粋€“整數(shù)乘法”原型可以解決不同“小數(shù)乘法”的主要思路。此外，開放的設計形式，兼顧了不同層次學生的發(fā)展。）

（四）全課總結，布置作業(yè)

師：同學們，今天這節(jié)課你有什么收獲？跟大家分享一下好嗎？

【課后反思】

本堂課充分尊重學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經驗，努力體現(xiàn)以學定教、學為中心的教學理念。面向全體學生，注重啟發(fā)和因材施教，較好地實現(xiàn)了知識的遷移，引導學生將整數(shù)乘法的經驗遷移到小數(shù)乘法中來。

1.創(chuàng)設和運用了“蝴蝶與蛹”這一關系模型，喚起學生用聯(lián)系的眼光思考問題、解決問題的意識。通過“看蝶想蛹”“由蝶找蛹”“化蛹為蝶”等活動，引導學生自主探索解決情境中的數(shù)學問題，再通過對幾種不同解題思路、不同算法的比較和分析，讓學生感受方法的合理性，體會“轉化”的思想。用“看蝶想蛹”來構造小數(shù)乘整數(shù)的算法模型，用“蝶蛹合體”來搭建小數(shù)乘法豎式的結構模型，使學生記憶深刻、理解透徹，從而熟練地掌握計算方法，實現(xiàn)運算教學的理想目標：基于“理解”的“熟能生巧”。

2.創(chuàng)造性地使用教材，不拘泥于教材，從調整教學內容入手，將教材中的例題2改編為0.35×3，通過解答與比較，有利于學生理解掌握小數(shù)乘整數(shù)的計算方法；在此基礎上，出示“3.2×13”，將因數(shù)由一位數(shù)上升到因數(shù)是兩位數(shù)的乘法，既有利于學習內容的拓展，又是基于突破教學難點的需要。教學過程中充分展示不同層次學生用豎式計算小數(shù)乘法的思考過程，并有針對性地展開積極有效的分析討論交流。這既充分顯示了因材施教、以學定教、以生為本的教學理念，更有利于學生總結形成小數(shù)乘整數(shù)的豎式計算方法。整個教學設計渾然一體、嚴謹縝密。

3.練習設計有層次，有梯度。本課練習的設置遵循了由易到難，呈螺旋式上升的規(guī)律，且形式多樣。將原本枯燥的練習與富有趣味的活動相融，由興趣激發(fā)動力，從而鞏固了本課知識，拓展了數(shù)學思維。

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（3）變式練習。師：同學們，如果我們把今天新學的“小數(shù)乘整數(shù)”看作是“蝴蝶”的話，那么“蛹”是什么？

師：老師這里有一只“蛹”，你能化作幾只“蝴蝶”呢？看誰化得多？

（設計意圖：把枯燥的練習融入到富有趣味和挑戰(zhàn)性的活動中，使學生始終以飽滿的熱情參與學習，形成了在活動中練習、在練習中鞏固、在交流中拓展思維的良好課堂氛圍。“化蛹為蝶”形象地展示了利用一個“整數(shù)乘法”原型可以解決不同“小數(shù)乘法”的主要思路。此外，開放的設計形式，兼顧了不同層次學生的發(fā)展。）

（四）全課總結，布置作業(yè)

師：同學們，今天這節(jié)課你有什么收獲？跟大家分享一下好嗎？

【課后反思】

本堂課充分尊重學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經驗，努力體現(xiàn)以學定教、學為中心的教學理念。面向全體學生，注重啟發(fā)和因材施教，較好地實現(xiàn)了知識的遷移，引導學生將整數(shù)乘法的經驗遷移到小數(shù)乘法中來。

1.創(chuàng)設和運用了“蝴蝶與蛹”這一關系模型，喚起學生用聯(lián)系的眼光思考問題、解決問題的意識。通過“看蝶想蛹”“由蝶找蛹”“化蛹為蝶”等活動，引導學生自主探索解決情境中的數(shù)學問題，再通過對幾種不同解題思路、不同算法的比較和分析，讓學生感受方法的合理性，體會“轉化”的思想。用“看蝶想蛹”來構造小數(shù)乘整數(shù)的算法模型，用“蝶蛹合體”來搭建小數(shù)乘法豎式的結構模型，使學生記憶深刻、理解透徹，從而熟練地掌握計算方法，實現(xiàn)運算教學的理想目標：基于“理解”的“熟能生巧”。

2.創(chuàng)造性地使用教材，不拘泥于教材，從調整教學內容入手，將教材中的例題2改編為0.35×3，通過解答與比較，有利于學生理解掌握小數(shù)乘整數(shù)的計算方法；在此基礎上，出示“3.2×13”，將因數(shù)由一位數(shù)上升到因數(shù)是兩位數(shù)的乘法，既有利于學習內容的拓展，又是基于突破教學難點的需要。教學過程中充分展示不同層次學生用豎式計算小數(shù)乘法的思考過程，并有針對性地展開積極有效的分析討論交流。這既充分顯示了因材施教、以學定教、以生為本的教學理念，更有利于學生總結形成小數(shù)乘整數(shù)的豎式計算方法。整個教學設計渾然一體、嚴謹縝密。

3.練習設計有層次，有梯度。本課練習的設置遵循了由易到難，呈螺旋式上升的規(guī)律，且形式多樣。將原本枯燥的練習與富有趣味的活動相融，由興趣激發(fā)動力，從而鞏固了本課知識，拓展了數(shù)學思維。

（浙江省諸暨市新世紀小學 311800

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