含二次隔振架的雙機驅動振動機的自同步理論研究

李 鶴， 劉 丹， 姜 來， 趙春雨， 聞邦椿

(東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819)

含二次隔振架的雙機驅動振動機的自同步理論研究

李 鶴， 劉 丹， 姜 來， 趙春雨， 聞邦椿

(東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819)

研究了一種含有二次隔振架的雙機驅動振動機的運動自同步及其穩(wěn)定性條件。該振動機由于二次隔振架的作用，既可以保證物料箱具有足夠大的振幅便于篩分物料，又能減小振動機傳遞到地基的動載荷。首先利用拉格朗日方程建立了振動機的運動微分方程，利用平均小參數(shù)法得到了偏心轉子的無量綱耦合方程；然后由偏心轉子耦合方程零解存在條件得到了振動機實現(xiàn)自同步運動條件，并根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)得到振動機同步運行的穩(wěn)定性條件。最后，通過數(shù)值仿真驗證了理論分析的正確性。

自同步運動；振動機；穩(wěn)定性；隔振

自同步現(xiàn)象最早是荷蘭物理學家Huygnens在1665年發(fā)現(xiàn)的。1953年，前蘇聯(lián)Blekhman等最早研究了振動機械中的自同步理論。Blekhman等[1-2]利用兩臺相互獨立的偏心電機驅動振動機工作，發(fā)現(xiàn)在一定參數(shù)下可以實現(xiàn)兩偏心電機同相位、同轉速的同步運動。他發(fā)現(xiàn)當系統(tǒng)受到外界干擾導致兩電機的轉速或相位差發(fā)生變化時，系統(tǒng)可以通過自我調整而重新回到同步狀態(tài)；對于已經(jīng)實現(xiàn)同步運轉的系統(tǒng)，如果切斷一臺偏心電機的電源，兩臺電機仍然能夠同步運行。

在我國，聞邦椿等[3]采用積分平均方法從平均意義上求得了振動機械的自同步條件和自同步穩(wěn)定性條件。趙春雨等[4-7]利用改進的小參數(shù)平均法發(fā)展了雙電機驅動和四電機驅動振動系統(tǒng)的自同步理論，深入闡述了振動系統(tǒng)的耦合動力學特性和動態(tài)對稱性。彭瓊梅等[8]研究了直線振動篩的自同步機穩(wěn)定性。侯勇俊[9]研究了雙軸二倍頻振動篩的自同步及穩(wěn)定性。

目前，國內(nèi)外學者已經(jīng)對多種振動機的自同步理論有了深入的研究，但對于含有隔振架的振動機自同步理論的研究尚不多見。由于機器運轉而形成的振動不但影響附近機器設備的正常工作，還會引起機器本身結構和部件的損壞，降低工作效率，并對人體健康造成危害。因此，必須隔離振動機傳遞到地基的動載荷。本文研究了一種含有二次隔振架的雙機驅動振動機的自同步運動條件和自同步運動穩(wěn)定性條件。首先，利用拉格朗日方程建立了振動系統(tǒng)的運動微分方程，然后推導出系統(tǒng)實現(xiàn)自同步的條件及自同步穩(wěn)定性條件，并對系統(tǒng)進行數(shù)值仿真，驗證了理論分析的正確性。

1 振動機運動微分方程

圖1為含二次隔振架振動機的動力學模型，由物料箱質體m1、支撐質體m2、隔振質體Mr以及兩偏心轉子m01和m02組成。物料箱質體m1在x,y方向分別通過軟彈簧kx,ky與支撐質體m2相連接，支撐質體m2在z方向通過硬彈簧kz與隔振質體Mr相連接，且在x,y方向被固定，隔振質體Mr支撐在彈性基礎kzr上。兩偏心轉子分別由感應電動機1和2驅動，對稱安裝在物料箱質體m1質心o所在水平面xoy的兩側，其旋轉平面與該水平面成δ角，且兩偏心轉子旋轉中心與物料箱質體質心在同一條豎直軸上。俯視時，兩偏心轉子同向回轉。

圖1 含二次隔振架振動機的動力學模型Fig.1 Dynamic model of the vibrating systemwith a two-stage vibration isolation frame

利用拉格朗日方程，可以得到系統(tǒng)的運動微分方程:

(1)

式中，M1為振動系統(tǒng)在x,y方向的振動質量，M1=m1+m01+m02；M2為振動系統(tǒng)在z方向的振動質量，M2=m1+m2+m01+m02；kx,ky,kz,kzr為振動系統(tǒng)在x,y,z,zr方向彈簧剛度，fx,fy,fz,fzr為振動系統(tǒng)在x,y,z,zr方向阻尼系數(shù)，fd1,fd2為兩電動機的阻尼系數(shù);φ1,φ2為兩偏心轉子的相位，r為兩偏心轉子的旋轉半徑，Te1,Te2為兩電動機的電磁轉矩。

令m01=m0,m02=ηm01，利用模態(tài)疊加法，可以解得式(1)中前四個方程的振動響應：

(2)

其中，

ax=kx-M1ω2,bx=fxω,ay=ky-M1ω2,by=fyω,

a=MrM2ω4-[Mrkz+M2(kz+kzr)+fzfzr]ω2+kzkzr

b=-[Mrfz+M2(fz+fzr)]ω3+(fzkzr+fzrkz)ω

cz=kz+kzr-Mrω2,dz=(fz+fzr)ω,czr=kz,

dzr=fzω,γx=arctan(bx/ax),γy=arctan(by/ay),

2 兩偏心轉子的同步條件

2.1 兩偏心轉子的無量綱耦合運動方程

設振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行時兩偏心轉子的平均相位為φ，且偏心轉子1超前偏心轉子2的相位為2α，即

2φ=φ1+φ2, 2α=φ1-φ2

(3)

則偏心轉子1和2的相位分別為

φ1=φ+α,φ2=φ-α

(4)

(5)

將式(5)代入式(4)，且令v1=ε1+ε2,v2=ε1-ε2可得兩偏心轉子的角速度和角加速度分別為

(6)

當系統(tǒng)處于穩(wěn)定運行狀態(tài)時，將式(4)、(6)代入系統(tǒng)在各方向的振動響應式(2)，并引入以下無量綱參數(shù)

ny=ωm0/ωny,nz=ωm0/ωnz,nzr=ωm0/ωnzr

rm=m01/M1,σ=M1/M2,τ=M2/Mr,

(8)

其中，

(9)

式(9)中各參數(shù)為

χ22=η2Ws0

Ws0=rm(μxcos2δsinγx+μysinγy+μzσsin2δsinγz)

Wc0=rm(μxcos2δcosγx+μycosγy+μzσsin2δcosγz)

Wcs=ηrm(μxcos2δsinγx+μysinγy-μzσsin2δsinγz)

Wcc=ηrm(μxcos2δcosγx+μycosγy-μzσsin2δcosγz)

在式(8)中，當兩電動機在ωm0附近運行時，其電磁轉矩為

(10)

式中Te01,Te02為兩電動機以ωm0即穩(wěn)態(tài)運行時的電磁轉矩；ke01,ke02為兩電動機以ωm0即穩(wěn)態(tài)運行時的剛度系數(shù)。

在式(8)中，兩電機的轉動慣量J01和J02遠小于m01r2和m02r2，可以忽略，將式(10)代入式(8)得

(11)

將式(9)代入式(11)，并引入下列無量綱參數(shù)

ρ1=1+Wc0/2,ρ2=η+η2Wc0/2

整理式(11)，并寫成矩陣形式

(12)

其中，

2.2 系統(tǒng)實現(xiàn)同步條件

(13)

將式(13)中兩項相減并整理可得

(14)

(15)

即振動系統(tǒng)的同步力矩大于或者等于兩電機剩余電磁轉矩差的絕對值。

(16)

式中,TL為振動系統(tǒng)作用在兩電機上的負載力矩。

定義振動系統(tǒng)的同步力矩與作用在兩電機上負載力矩的比值的絕對值為振動系統(tǒng)的同步能力系數(shù)ζ[7]，即

(17)

同步能力系數(shù)ζ表示振動傳送力矩克服兩電動機電磁轉矩實現(xiàn)同步的能力，當其值大于1時表示系統(tǒng)可實現(xiàn)振動同步傳動，即一個電動機停止電源供電，系統(tǒng)仍然可保持同步運行[7]。

2.3 系統(tǒng)自同步運動穩(wěn)定條件

(18)

其中，

C=A′-1B′

a13=0,a23=0,a31=0,a32=0,a33=1

b31=0,b32=-1,b33=0

通過C=A′-1B′求出矩陣C，進而通過det(C-λI)=0得到矩陣C的特征方程如下

λ3+c1λ2+c2λ+c3=0

(19)

其中，

(20)

由Routh-Hurwitz準則可知，當矩陣C的特征方程(19)參數(shù)滿足

c1>0,c3>0,c1c2>c3

(21)

時，平凡解z=0是穩(wěn)定的。式(21)可進一步寫成:

H0>0,H1>0,H3>0, 4H1H2>H0H3

H0<0,H1<0,H3<0, 4H1H2>H0H3

(22)

由于振動系統(tǒng)的工作頻率大于4倍的非共振方向固有頻率，阻尼比較小(ξ≤0.07)。則振動系統(tǒng)結構滿足H0>0[7]，從而系統(tǒng)同步運行穩(wěn)定性條件為

H1>0,H3>0,H>0

(23)

其中，H=4H1H2-H0H3。

3 振動機自同步運動數(shù)值分析

3.1 隔振參數(shù)的選擇

通過數(shù)值仿真，進一步討論該振動機的自同步。由于本文所研究的含隔振架的振動系統(tǒng)既要保證有足夠大的振幅以達到篩分物料要求，又要實現(xiàn)隔振以減小對基礎的動載荷沖擊。因此在選擇系統(tǒng)參數(shù)時，應優(yōu)先考慮隔振質體(Mr)與振動方向質量(M2)的比值。

首先選取物料箱質體質量m1=2 200 kg，支撐質體質量m2=300 kg，從而系統(tǒng)在z方向的振動質量M2=2 500 kg。而通常情況下，當隔振質量為振動質量的0.5倍，即τ=2.0時，二次隔振效果最好，從而選取隔振質體質量為Mr=1 250 kg。

由式(7)可知，系統(tǒng)在z方向的振幅取決于μz的大小，隔振質體的振幅與系統(tǒng)z方向的振幅的比值為τμzr/μz。當選取τ=2.0時，μz和τμzr/μz的大小與系統(tǒng)參數(shù)nz,nzr有關，如圖2所示。

圖2 μz、τμzr/μz與系統(tǒng)參數(shù)nz、nzr的關系Fig. 2 Relation between μz、τμzr/μz and the parameters nz、nzr of the vibrating system

由圖2(a)可知，只有當nzr足夠小時，系統(tǒng)在z方向才有可能達到共振， 使得物料箱質體有足夠大的振

幅；每一個nzr對應一個nz使得系統(tǒng)在z方向達到共振，當選取nzr=0.3時，nz=0.9；nzr越小，所對應的nz越大，但共振振幅略有降低。

由圖2(b)可知，當nzr≥1時，隔振質體Mr的振幅將大于系統(tǒng)z方向的振幅，起不到隔振效果，當nzr<1時，nzr越小，隔振效果越好；當選定nzr時，隨著nz增大，隔振質體的振幅與系統(tǒng)z方向的振幅的比值τμzr/μz逐漸減小，隔振效果也越好。

由圖2可知，應選擇較小的nzr和與之相對應的能夠使系統(tǒng)在z方向達到共振的較大的nz，從而滿足系統(tǒng)既能在z方向有足夠大的振幅以達到篩分物料要求，又能實現(xiàn)隔振以減小對基礎的動載荷沖擊的要求。因此，選取τ=2,nzr=0.3,nz=0.9。

3.2 振動機自同步能力

對系統(tǒng)同步能力系數(shù)ζ與振動系統(tǒng)結構參數(shù)進行研究，數(shù)值計算結果如圖3所示。

由圖3(a)可知：在η=1.0,σ=0.9,nz=0.9,nzr=0.3確定情況下，系統(tǒng)同步能力系數(shù)ζ隨著共振激勵角δ的增大而迅速減小，當τ=2.0且δ=0.112π時，ζ=0.999即振動系統(tǒng)將不能實現(xiàn)振動同步傳動，可見共振激勵角δ對系統(tǒng)的同步能力影響較大，從而為了保證振動系統(tǒng)能夠在共振狀態(tài)下仍可實現(xiàn)π相位同步，應合理選取較小的共振激勵角δ。

由圖3(b)可知：在其他系統(tǒng)結構參數(shù)τ=2.0,σ=0.9,nzr=0.3,δ=π/8確定情況下，系統(tǒng)同步能力系數(shù)ζ隨著兩偏心轉子質量比η的增大而增大，當η=1.0即振動系統(tǒng)對稱時，系統(tǒng)同步能力系數(shù)ζ達到最大值，從而在實際機構設計中，應選取兩相同偏心轉子以提高振動系統(tǒng)的同步能力。

由圖3(c)可知：在其他系統(tǒng)結構參數(shù)η=1.0,τ=2.0,nzr=0.9,δ=π/8確定情況下，隨著振動系統(tǒng)在x,y方向的振動質量與在z方向的振動質量的比值趨近于1(即σ→1.0)，系統(tǒng)同步能力系數(shù)ζ略有降低，可見其對振動系統(tǒng)的同步能力影響較小，可以通過增加支撐剛體質量來提高振動系統(tǒng)的同步能力。

(a) η=1．0，σ=0．9，nz=0．9，nzr=0．3(b) τ=2．0，σ=0．9，nzr=0．3，δ=π/8(c) η=1．0，τ=2．0，nz=0．9，δ=π/8圖3 同步能力系數(shù)ζ與振動機結構參數(shù)的關系：Fig．3Relationbetweenthecoefficientofsynchronizationabilityζandthestructuralparametersofthevibratingsystem

綜上，系統(tǒng)同步能力系數(shù)ζ與系統(tǒng)結構參數(shù)η為正相關，與系統(tǒng)結構參數(shù)σ以及δ為負相關。由3.1分析可知，為了滿足振動系統(tǒng)在z方向達到共振以及實現(xiàn)較好隔振效果的要求，應選取τ=2.0,nzr=0.3,nz=0.9。而由圖3可以看出，當τ=2.0,nzr=0.3,nz=0.9時，系統(tǒng)同步能力系數(shù)ζ達到最小值。從而在實際機構設計中，應采取選兩相同偏心轉子、減小共振激勵角δ以及增加支撐剛體質量等措施來提高振動系統(tǒng)的同步能力。

3.3 振動機自同步運動

選取物料箱質體的質量m1=2 200 kg，支撐質體的質量m2=300 kg，隔振質體的質量Mr=1 250 kg，兩偏心轉子的質量m01=40 kg，m02=40 kg。從而可確定隔振振動系統(tǒng)的結構參數(shù)：rzr=0.017 5，η=1.0，σ=0.883 7，τ=2.064。選取兩電機為鼠籠式三相異步電動機(380 V，50 Hz， 6-pole， Δ連接)，電機1(3.7 kW，980 r/min)，電機2(0.75 kW，980 r/min)。由前述研究可知，當τ=2.064時，選取系統(tǒng)結構參數(shù)nz=0.9以及nzr=0.3，既能滿足振動方向有足夠大的振幅又能實現(xiàn)隔振以減小對基礎的動載荷沖擊。另外，選取計算參數(shù)nx=ny=4.0，ξx=ξy=ξz=ξzr=0.07。選取δ=15°以及偏心距r=0.2 m，并在6 s時撤去電機2的電磁轉矩及9 s時對偏心轉子2施加10°的相位擾動，仿真結果如圖4所示。

圖4 振動機自同步運動數(shù)值仿真結果Fig.4 Results of numerical simulation for the self-synchronous motion of the vibrating system

由圖4可知：振動機經(jīng)過4 s左右，兩電機轉速相同，約為993.1 r/min，此時兩偏心轉子的相位差穩(wěn)定在181.4°，系統(tǒng)在各方向的振動也趨于穩(wěn)定。此時，隔振振動系統(tǒng)實現(xiàn)π相位同步，在z方向做直線運動，振幅達到1.19 mm，能夠滿足篩分物料的要求。另外，隔振剛體的振動也達到穩(wěn)定狀態(tài)，其振幅為0.04 mm，約為振動系統(tǒng)在z方向振幅的1/30，達到比較好的隔振效果。當6 s撤去電機2的電磁轉矩時，兩電機的同步轉速下降并穩(wěn)定在992.1 r/min，兩偏心轉子相位差增加并穩(wěn)定在181.9°左右，但系統(tǒng)在各方向振動仍然處于原穩(wěn)定狀態(tài)；當9 s對偏心轉子2施加10°的相位擾動時，兩偏心轉子相位差變?yōu)?91.9°，兩電機轉速及系統(tǒng)在各方向振動也發(fā)生波動，但經(jīng)過約1.5 s后均恢復到受干擾前的穩(wěn)定狀態(tài)。從而，通過計算機仿真可證明隔振振動系統(tǒng)能夠實現(xiàn)π相位同步穩(wěn)定運行、同步振動傳動以及對相位擾動的抗干擾能力，同時滿足系統(tǒng)在振動方向達到較大振幅以及實現(xiàn)較好隔振效果的要求。

4 結 論

本文研究了一種含有二次隔振架的雙機驅動振動機的運動自同步條件及其穩(wěn)定性條件。利用拉格朗日方程建立了系統(tǒng)運動微分方程；利用模態(tài)疊加法求得系統(tǒng)耦合運動微分方程的振動響應；借助平均小參數(shù)法得到了兩偏心轉子的無量綱耦合方程；推導出了系統(tǒng)實現(xiàn)自同步運動條件及自同步運動穩(wěn)定條件；通過數(shù)值仿真驗證了理論的正確性。得到如下結論：

(2) 利用Routh-Hurwitz準則，得到系統(tǒng)自同步運動穩(wěn)定條件為：H1>0,H3>0,H>0，其中，H=4H1H2-H0H3。

(3) 系統(tǒng)在z方向的振幅取決于μz，隔振質體的振幅與系統(tǒng)z方向的振幅的比值為τμzr/μz。而μz和τμzr/μz取決于隔振質量比τ、振動方向頻率比nz以及隔振方向頻率比nzr，為了取得較好的隔振效果，選取τ=2,nzr=0.3,nz=0.9。此時，振動機即可以保證物料箱質體在z方向具有足夠大的振幅以達到篩分物料要求，又具有較好隔振性能以減小對基礎的動載荷沖擊。但此時系統(tǒng)自同步能力最小，可以通過采取選兩相同偏心轉子、減小共振激勵角δ以及增加支撐剛體質量等措施來提高振動系統(tǒng)的同步能力。

(4) 數(shù)值仿真結果驗證了理論分析的正確性，當振動機的參數(shù)滿足系統(tǒng)自同步運動條件和自同步運動穩(wěn)定條件時，振動機能夠很快實現(xiàn)自同步運動并達到穩(wěn)定的自同步運動狀態(tài)，且振動機具有較好的隔振性能。

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Self-synchronization theory of a vibrating system with a two-stage vibration isolation frame driven by two motors

LI He， LIU Dan， JIANG Lai， ZHAO Chun-yu， WEN Bang-chun

(School of Mechanical Engineering and Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

The conditions of self-synchronization and motion stability regarding a dual-motor-drive vibrating system with a two-stage vibration isolation frame were studied. Owing to the effect of the two-stage vibration isolation, this system had not only enough oscillation amplitude of its material box to screen a material, but also reduced the dynamic load transmitted to the foundation. Here, firstly utilizing Lagrange equation, the differential motion equations of the vibrating system was built. Then, with a modified average small parameter method, the dimensionless coupled equations of eccentric rotors were derived. Furthermore, the condition of existence for zero solution to the dimensionless coupled equations of the eccentric rotors was used to achieve the condition to implement the self-synchronous motion of the vibrating system, and the stability condition of self-synchronous motion was obtained with Routh-Hurwitz criterion. Finally, the numerical simulations were performed to verify the correctness of the theoretical analysis.

self-synchronous motion; vibrating system; stability; vibration isolation

國家自然科學基金(51175071)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項基金資助項目(N120203001)

2013-04-24 修改稿收到日期：2013-06-04

李鶴 男，博士，教授，1975年10月生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.024