含PID控制器的遲滯非線性控制系統(tǒng)的主共振及奇異性

熊 蕊， 劉向東

(北京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100081)

含PID控制器的遲滯非線性控制系統(tǒng)的主共振及奇異性

熊 蕊， 劉向東

(北京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100081)

針對含PID控制器的遲滯非線性閉環(huán)控制系統(tǒng)，用Backlash神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型逼近系統(tǒng)遲滯非線性部分，建立動(dòng)力學(xué)模型。研究了系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的主共振，利用平均法得到了系統(tǒng)的分岔方程，并用奇異性理論進(jìn)行了分析，得到了轉(zhuǎn)遷集和分岔圖。另外還研究了系統(tǒng)參數(shù)對開折參數(shù)和分岔參數(shù)的影響，從而為系統(tǒng)參數(shù)的選擇提供理論指導(dǎo)。

遲滯；非線性控制系統(tǒng)；Backlash神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型；主共振；奇異性理論

遲滯非線性是很常見的系統(tǒng)非線性特性，其主要特點(diǎn)是多值性、非光滑性和記憶特性，非常容易產(chǎn)生復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為如分岔、混沌等。在實(shí)際工程中，具有遲滯非線性的材料有很多，如鋼絲繩、形狀記憶合金、磁致伸縮材料、壓電陶瓷等。遲滯非線性研究涉及機(jī)械系統(tǒng)隔振、地震工程、土木工程等多個(gè)領(lǐng)域。

對系統(tǒng)進(jìn)行分岔分析可以對系統(tǒng)的控制和系統(tǒng)參數(shù)的選擇提供理論指導(dǎo)。目前用來描述遲滯現(xiàn)象的主要模型有雙線性模型、Davidenkov模型、Bouc-wen模型、多項(xiàng)式模型、Preisach模型等。近年來，關(guān)于遲滯非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究得到了很大的發(fā)展。文獻(xiàn)[1-2]研究了具有間隙的雙線性遲滯系統(tǒng)的周期、倍周期以及混沌振動(dòng)及其出現(xiàn)特點(diǎn)，計(jì)算結(jié)果表明在特定的參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)出現(xiàn)無序的混沌運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[3]建立了一類含Davidenkov遲滯環(huán)的非線性相對轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程，分別分析了該非線性相對轉(zhuǎn)動(dòng)自治方程和微外擾下非自治方程的分岔特性，得到了幾種分岔結(jié)構(gòu)及外擾下全局分岔圖。文獻(xiàn)[4]用Peisach模型來建模van der pol振蕩系統(tǒng)中的遲滯部分，并分析了系統(tǒng)的Hopf分岔.文獻(xiàn)[5]研究了周期激勵(lì)下含Preisach遲滯的非線性方程的分岔特性。文獻(xiàn)[6-7]研究了含Bouc-Wen遲滯的SODF振蕩器系統(tǒng)遲滯參數(shù)對遲滯系統(tǒng)的分岔與混沌的影響。文獻(xiàn)[8]將改進(jìn)的三次多項(xiàng)式遲滯模型用于描述壓電材料的彈性遲滯非線性特性，用多尺度法求解定子的一次近似主共振響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)了定子主共振響應(yīng)中存在振幅跳躍和多解現(xiàn)象。

奇異性理論體系的形成為動(dòng)力系統(tǒng)的分岔分析開辟了一條新的途徑。奇異性理論在遲滯系統(tǒng)中也得到了一定的應(yīng)用。文獻(xiàn)[9]針對一類單自由度遲滯-自激振動(dòng)系統(tǒng)的分岔，提出了轉(zhuǎn)遷集的概念，并利用奇異性理論分析了不同參數(shù)區(qū)域內(nèi)的保持分岔圖。文獻(xiàn)[10]研究了含Bingham遲滯模型的汽車懸架在簡諧路面激勵(lì)作用下的亞諧共振，分析了系統(tǒng)參數(shù)對開折參數(shù)和分岔參數(shù)的影響。文獻(xiàn)[11]將多尺度法與奇異性理論相結(jié)合得到了含Davidenkov模型的遲滯非線性系統(tǒng)的分岔轉(zhuǎn)遷集，討論了開折參數(shù)與原參數(shù)之間的關(guān)系。

Backlash算子[12]是連續(xù)算子，具有遲滯特性，且有限個(gè)Backlash遲滯算子可以以任意精度對遲滯環(huán)進(jìn)行建模，具有容易辨識的優(yōu)點(diǎn)。因此，本文采用遲滯非線性的Backlash神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型逼近系統(tǒng)遲滯非線性部分，可以解決一些遲滯模型不適用于常規(guī)方法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析或計(jì)算過程繁雜的問題。目前，針對控制系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)研究還很少，而PID控制器已在工程實(shí)際中有了廣泛的應(yīng)用。因此，本文針對含PID控制器的遲滯非線性閉環(huán)非自治遲滯系統(tǒng)，首先用Backlash神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來表示系統(tǒng)遲滯非線性部分，建立動(dòng)力學(xué)模型。然后研究了系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的主共振，利用平均法得到了系統(tǒng)的分岔方程，并用奇異性理論進(jìn)行了分析，得到了轉(zhuǎn)遷集和分岔圖。另外還研究了系統(tǒng)參數(shù)對開折參數(shù)和分岔參數(shù)的影響。

1 含PID控制器的遲滯非線性閉環(huán)非自治系統(tǒng)模型和方程

考慮如圖1所示的含PID控制器的遲滯非線性閉環(huán)系統(tǒng)，被控對象可以看作一個(gè)遲滯非線性環(huán)節(jié)加上一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)構(gòu)成。這里，m、b、c為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼，剛度；k、kd、ki分別為比例、微分、積分控制器系數(shù)；x(t)表示系統(tǒng)的輸出；u(t)表示施加于被控對象的輸入；y(t)表示被控對象遲滯非線性環(huán)節(jié)的輸出；f表示周期激勵(lì)的幅值；Ω表示周期激勵(lì)頻率。

圖1 含PID控制器的遲滯非線性閉環(huán)系統(tǒng)Fig.1 Nonlinear hysteretic loop system with PID controller

本文采用遲滯非線性的Backlash神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，利用Backlash算子，將有限數(shù)量個(gè)不同寬度的Backlash算子進(jìn)行疊加，來逼近該閉環(huán)系統(tǒng)中的遲滯非線性部分，如圖2所示。這種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立的模型在開展動(dòng)力學(xué)分析的時(shí)候能大大簡化計(jì)算過程，且誤差在可接受的范圍內(nèi)。

圖2 系統(tǒng)遲滯非線性部分Backlash神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型Fig.2 Backlash neutral network model for hysteretic nonlinear block

綜上可寫出該遲滯非線性閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

2 主共振分岔

(2)

設(shè)τ=εt，根據(jù)平均法有：

(3)

其中，

設(shè)方程(2)的第一次近似解為

x=acos(Ωt+θ)

D1+D2cosθ+D3sinθ=0

D4+D3cosθ-D2sinθ=0

(4)

其中，

由式(4)消去循環(huán)坐標(biāo)θ，得到分岔方程

(5)

基于壓電陶瓷執(zhí)行器的控制系統(tǒng)是一類典型的遲滯非線性控制系統(tǒng)。本文以Low等[13]提出的壓電陶瓷Bouc-Wen遲滯模型作為圖1所示遲滯非線性控制系統(tǒng)的控制對象，該模型采用一階微分方程來描述遲滯非線性環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)方程如下：

y=de·u-z

(6)

其中，x(t)表示整個(gè)壓電系統(tǒng)的輸出；z(t)表示遲滯非線性動(dòng)態(tài)的輸出變量；u(t)表示施加于壓電執(zhí)行器的輸入電壓；de表示壓電系統(tǒng)有效壓電系數(shù)；α,β,γ為影響遲滯曲線形狀的參數(shù)。模型(6)的參數(shù)采用文獻(xiàn)[13]給出的參數(shù)取值，m=1.595×10-2kg，b=1.169 N·s/m，c=3.197×103N/m，de=1.014 m/V，α=4.297×10-1,β=3.438×10-2,γ=-2.865×10-3。

表1 Backlash神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練后的誤差

將不同個(gè)數(shù)Backlash算子訓(xùn)練的誤差進(jìn)行比較得到表1。由表1可以看出在網(wǎng)絡(luò)中選擇Backlash層算子個(gè)數(shù)為20時(shí)訓(xùn)練誤差達(dá)到最小值，建模效果最好。因此取n=20，對應(yīng)的加權(quán)值取值如表2所示。

表2 Backlash神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型各加權(quán)系數(shù)值

將以上各參數(shù)值代入(5)式，對(5)式中的反正弦函數(shù)和根式進(jìn)行級數(shù)展開化簡，可得：

(7)

a4+a3a3+a2a2+a1a+a0=0

(8)

其中，

0.341 6Ω2+0.017 5kdki-6.36×10-5σ2-0.002 7σk)

(9)

令

則

x4-λ+ε1x+ε2x2=0

(10)

式(10)為范式x4-λ=0的普適開折，稱之為四次折疊分岔，其余維數(shù)為2。根據(jù)轉(zhuǎn)遷集的定義很容易求出普適開折G(x,λ,ε)=g+ε1x+ε2x2=x4-λ+ε1x+ε2x2的轉(zhuǎn)遷集。

分岔點(diǎn)集：B=φ(空集)

雙極限點(diǎn)集：D={ε1=0,ε2≤0}

轉(zhuǎn)遷集：Σ=B∪H∪D

轉(zhuǎn)遷集Σ將開折參數(shù)ε1-ε2平面分成幾個(gè)不同的區(qū)域，如圖3所示。在同一區(qū)域中，即使分岔參數(shù)變化，其分岔方程的分岔圖也將保持相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，這樣的分岔圖稱為保持的，而轉(zhuǎn)遷集上的分岔圖稱為非保持的。分岔圖如圖4所示。圖4中，七種分岔模式反應(yīng)了該系統(tǒng)在正弦激勵(lì)作用下的全部信息。通過調(diào)節(jié)開折參數(shù)，可以使系統(tǒng)具有不同的動(dòng)力學(xué)行為，而開折參數(shù)的控制，可通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)的參數(shù)來實(shí)現(xiàn)。因而，研究系統(tǒng)參數(shù)與開折參數(shù)的關(guān)系可以為系統(tǒng)參數(shù)的選擇提供理論指導(dǎo)以達(dá)到所期望的動(dòng)力學(xué)行為。

圖3 系統(tǒng)轉(zhuǎn)遷集Fig.3 Transition sets of bifurcation equation of system

圖4 系統(tǒng)分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of bifurcation equation of system

3 開折參數(shù)對系統(tǒng)參數(shù)的依賴性

以上的分析中，采用的開折參數(shù)并不是獨(dú)立的系統(tǒng)參數(shù)，而是系統(tǒng)參數(shù)的組合，得到的分岔模式并不是在每個(gè)具體系統(tǒng)中都會(huì)發(fā)生。下面，我們研究開折參數(shù)對原系統(tǒng)參數(shù)k、kd、ki、f、Ω的依賴關(guān)系，從而得到系統(tǒng)參數(shù)的變化對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。畫出開折參數(shù)與系統(tǒng)參數(shù)的依賴關(guān)系圖如圖5所示。

圖5 開折參數(shù)與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系Fig.5 Relations between the unfolding parameters and the system parameters

4 結(jié) 論

本文針對含PID控制器的遲滯非線性非自治閉環(huán)系統(tǒng)，用Backlash神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型表征系統(tǒng)遲滯非線性部分以解決一些遲滯模型不適用于常規(guī)方法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析或計(jì)算過程繁雜的問題。將平均法應(yīng)用于該類控制系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的主共振的研究，得到系統(tǒng)的分岔方程。并將奇異性理論推廣應(yīng)用到該類遲滯控制系統(tǒng)中進(jìn)行分析，得到了系統(tǒng)的分岔圖。另外通過建立系統(tǒng)參數(shù)k、kd、ki、f、Ω與開折參數(shù)的關(guān)系，研究了系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)分岔特性的影響。研究表明，該系統(tǒng)的響應(yīng)為四次折疊分岔，激勵(lì)幅值f、控制器比例系數(shù)k、微分系數(shù)kd對普適開折參數(shù)的影響較大，ki的改變對開折參數(shù)影響不大。激勵(lì)幅值較小時(shí)，激勵(lì)頻率Ω對開折參數(shù)的影響較小。而激勵(lì)幅值較大時(shí)，激勵(lì)頻率Ω對開折參數(shù)的影響較大。通過研究系統(tǒng)參數(shù)與開折參數(shù)之間的關(guān)系，我們可以發(fā)現(xiàn)這些系統(tǒng)參數(shù)的不同取值可以使系統(tǒng)出現(xiàn)不同的分岔特性，從而我們可以根據(jù)所期望的分岔特性選擇系統(tǒng)控制器參數(shù)和給定輸入?yún)?shù)。該研究成果對工程實(shí)際中的該類遲滯非線性控制系統(tǒng)的分岔與控制研究具有一定的指導(dǎo)作用和應(yīng)用價(jià)值。

[ 1 ] Li H G, Zhang J W, Wen B C. Chaotic behaviors of a bilinear hysteretic oscillator[J]. Mechanics Research Communications, 2002, 29(5):283-289.

[ 2 ] 李鴻光，孟光，聞邦椿. 帶間隙的雙線性滯回系統(tǒng)的非線性振動(dòng)[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào),2004, 40(7)：10-13. LI Hong-guang, MENG Guang, WEN Bang-chun. Nonlinear oscillation of bilinear hysteresis system with clearance[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering,2004, 40(7):10-13.

[ 3 ] 侯曉東，劉彬，時(shí)培明. 一類滯后相對轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的分岔特性及其解析近似解[J]. 物理學(xué)報(bào), 2009, 58(9): 5942-5948. HOU Xiao-dong, LIU Bin, SHI Pei-ming. The bifurcation of a kind of relative rotational dynamic equation with hysteresis and its approximate solution[J]. Acta Physica Sinica, 2009,58(9):5942-5948.

[ 4 ] Appelbe B，Rachinskii D，Zhezherun A. Hopf bifurcation in a van der Pol type oscillator with magnetic hysteresis[J]. Physica B：Condensed Matter,2008,403(2-3):301-304.

[ 5 ] Krasnosel’skii A，Rachinskii D. Bifurcation of forced periodic oscillations for equations with Preisach hysteresis[J]. Journal of Physics:Conference Series, 2005,22:93-102.

[ 6 ] LI Hong-guang，MENG Guang. Nonlinear dynamics of a SDOF oscillator with Bouc-Wen hysteresis[J]. Chaos Solitons & Fractals,2007,34(2):337-343.

[ 7 ] 李鴻光，何旭，孟光. Bouc-Wen滯回系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的仿真研究[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2009,16(9)：2009-2011. LI Hong-guang，HE Xu，MENG guang. Numerical simulation for dynamic characteristics of Bouc-Wen hysteretic system[J]. Journal of System Simulation,2009,16(9):2009-2011.

[ 8 ] 曹樹謙，付耀東，賀微波.基于三次遲滯模型的超聲電機(jī)圓環(huán)定子主共振響應(yīng)[J].振動(dòng)與沖擊,2009, 28(1)：38-41. CAO Shu-qian, FU Yao-dong, HE Wei-bo. Primary resonance of a ring-type stator of ultrasonic motors based on cubic polynomial hysteresis model[J]. Journal of Vibration and Shock，2009,28(1):38-41.

[ 9 ] 楊紹普，陳予恕. 一類單自由度滯后-自激振動(dòng)系統(tǒng)的分叉[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 1991,4(2):95-101. YANG Shao-pu，CHEN Yu-shu. Bifurcation of single degree of freedom and self-excited vibration system[J]. Journal of Vibration Engineering, 1991，4(2):95-101.

[10] 李韶華，楊紹普. 一種非線性汽車懸架的亞諧共振及奇異性[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2007,20(2)：168-173. LI Shao-hua, YANG Shao-pu. Sub-harmonic resonance and singularity of a nonlinear vehicle suspension system[J]. Journal of Vibration Engineering,2007,20(2)：168-173.

[11] 金棟平，陳予恕. 滯后非線性系統(tǒng)的分岔和奇異性[J]. 天津大學(xué)學(xué)報(bào),1997,30(3):299-304. JIN Dong-ping，CHEN Yu-shu. The bifurcations and singularities in systems with hysteretic nonlinearity [J]. Journal of Tianjin University, 1997,30(3):299-304.

[12] 蘇密勇，譚永紅，楊曉明. 一類具有遲滯-蠕變非線性對象的內(nèi)?？刂芠J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版),2004,34(z1)：64-67. SHU Mi-yong，TAN Yong-hong，YANG Xiao-ming.Modeling and internal model control for systems with hysteresis and creep[J]. Journal of Jilin University(Engineering and Technology Edition),2004, 34(z1)64-67.

[13] Low T S, Guo W. Modeling of a three-layer piezoelectric bimorph beam with hysteresis[J]. Journal of Microelectromechanical Systems, 1995，4(4):230-237.

Principal resonance and singularity of a hysteretic nonlinear control system with a PID controller

XIONG Rui, LIU Xiang-dong

(College of Automation, Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China)

A hysteretic closed-loop nonlinear control system with a PID controller was studied. A model based on Backlash neutral network was adopted to approach the hysteretic nonlinear part of the system, the dynamic model of the system was established. The principal resonance of the system under a simple harmonic excitation was studied. The bifurcation equation of the system was obtained with the averaging method, and then the system’s singularity was analyzed completely, the transition sets and bifurcation plots were gained. The effects of the system’s parameters on its unfolding and bifurcation parameters were discussed. The results provided a theoretical guidance for selecting the system’s parameters.

hysteresis; nonlinear control system; Backlash neutral network model; principal resonance; singularity theory

北京市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(4122066)

2012-12-28 修改稿收到日期：2013-04-19

熊蕊 女，博士生，1989年7月生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.013