氣隙偏心下永磁電機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性分析

岳二團， 甘春標， 楊世錫

(浙江大學 機械工程學系 現(xiàn)代制造工程研究所，杭州 310027)

氣隙偏心下永磁電機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性分析

岳二團， 甘春標， 楊世錫

(浙江大學 機械工程學系 現(xiàn)代制造工程研究所，杭州 310027)

研究氣隙偏心對永磁同步電機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性的影響。建立了氣隙偏心下轉(zhuǎn)子的動力學模型，結(jié)合永磁同步電機在帶負載工作下轉(zhuǎn)子永磁體及電樞電流共同形成的氣隙磁場分布情況，利用Maxwell應力張量法計算了氣隙偏心造成的不平衡磁拉力，并代入轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動方程；通過實例分析，詳細討論了不同偏心以及負載類型對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性的影響。結(jié)果表明：質(zhì)量偏心在增大轉(zhuǎn)子振動的同時會削弱不平衡磁拉力的影響，使振動趨于規(guī)則；初始靜偏心的大小和方向都將影響轉(zhuǎn)子振動特性，當其方向和重力方向相反，振動強度將有所減弱；當外部負載轉(zhuǎn)矩發(fā)生變化，其相應諧波頻率的振動將被激發(fā)出來。

永磁電機；氣隙偏心；不平衡磁拉力；負載轉(zhuǎn)矩；振動特性

永磁同步電機采用永磁材料勵磁，省去了勵磁電源以及勵磁繞組，具有結(jié)構(gòu)輕便、運行可靠、效率高等特點，在各行業(yè)得到廣泛應用。電機在運行時，由于受到機械力和電磁力的耦合作用，其振動情況復雜，特別是因加工精度及安裝誤差等原因?qū)е露ㄞD(zhuǎn)子間氣隙分布不均時，電機內(nèi)部將產(chǎn)生不平衡電磁力，使電機軸承工作環(huán)境惡化，同時也使得轉(zhuǎn)子振動更為劇烈，嚴重情況下甚至會導致轉(zhuǎn)子和定子發(fā)生接觸，使電機失效。針對氣隙偏心時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動問題，已有很多學者對傳統(tǒng)電勵磁電機做過研究，并取得許多好結(jié)果，而對于永磁電機，尤其是高性能的稀土永磁同步電機，這方面的文獻則比較少[1]，其中部分文獻簡單引入電勵磁電機的相關(guān)結(jié)論，而忽略了永磁電機本身的特點。

不平衡磁拉力(Unbalanced Magnet Pull, UMP)是轉(zhuǎn)子振動分析時首先要研究的問題，在工程上往往采用線性公式[2]，即假設其大小與偏心率成正比，當偏心稍大時，這種方法誤差較大。Kim等[3]對外轉(zhuǎn)子永磁電機的偏心氣隙磁場進行直接解析求解，得到氣隙中各處的磁密分布，Kim等[4]運用該結(jié)果對轉(zhuǎn)子表面的Maxwell應力進行積分得到磁拉力解析式，但其推導過程及結(jié)果過于復雜，使其應用受到限制，大大約束了該方法的應用。Guo等[5]通過將氣隙磁導函數(shù)展開為級數(shù)形式，從而得到了不同極對數(shù)下三相同步電機空載時的不平衡磁拉力，進而分析了剛性支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性。在轉(zhuǎn)子模型方面，目前的研究普遍采用單質(zhì)量圓盤的兩自由度轉(zhuǎn)子模型，主要關(guān)注其橫向振動，而且少有考慮不同負載對轉(zhuǎn)子振動的影響，但實際上，外部負載是影響電機穩(wěn)定性的一個重要因素。

本文在建立了兩端柔性支承永磁同步電機轉(zhuǎn)子模型的基礎(chǔ)上，考慮初始靜偏心及振動偏心同時存在的情況，推導了帶負載運行時轉(zhuǎn)子所受不平衡磁拉力，并通過實例分析，詳細討論了質(zhì)量偏心、初始靜偏心以及外部負載轉(zhuǎn)矩變化對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性的影響。

1 系統(tǒng)動力學模型

本文采用如圖1所示的轉(zhuǎn)子模型。轉(zhuǎn)子兩端對稱采用短軸承支承，Ob為軸承內(nèi)圈中心，O1為圓盤中心，Oc為圓盤質(zhì)心，Te為電磁轉(zhuǎn)矩，T為外部負載轉(zhuǎn)矩，δ為定轉(zhuǎn)子間的氣隙長度。

圖1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型Fig.1 A schematic of the rotor system

圖2 氣隙偏心下定轉(zhuǎn)子幾何結(jié)構(gòu)Fig.2 Geometrical structure of the stator-rotor under air-gap eccentricity

當電機氣隙偏心時δ將沿圓周方向變化，如圖2所示，圖中大圓為定子內(nèi)圓面，小圓為轉(zhuǎn)子外圓面，兩圓之間即為氣隙空間，C為轉(zhuǎn)軸質(zhì)心，δ0為名義氣隙長度，r為工作中轉(zhuǎn)子中心的偏移量，圖中虛線為正常轉(zhuǎn)子位置。考慮到轉(zhuǎn)子半徑遠大于轉(zhuǎn)子中心偏移量，故任意角度θ處的氣隙長度可近似表達為

δ≈δ0-rcos(θ-γ)

(1)

(2)

圖3 轉(zhuǎn)子中心偏移量計算模型Fig.3 A model of the eccentricity of rotor center

電機帶負載運行時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)除了受到外部轉(zhuǎn)矩T和電磁轉(zhuǎn)矩Te，同時還受滾動軸承支承反力Qb、不平衡磁拉力Fm和質(zhì)量偏心力。由此，通過Lagrange方程可得轉(zhuǎn)子運動方程為

(3)

式中，m為圓盤等效質(zhì)量，m1為軸承端等效質(zhì)量，a為圓盤質(zhì)量偏心距，k,c,c1分別為轉(zhuǎn)軸彈性系數(shù)、阻尼系數(shù)以及軸承處的阻尼系數(shù)，Te,T為電磁轉(zhuǎn)矩及負載轉(zhuǎn)矩，f為粘滯摩擦系數(shù)。由式(3)可知，轉(zhuǎn)子的橫向振動方程和轉(zhuǎn)動方程存在耦合關(guān)系，為此，負載轉(zhuǎn)矩的變化將影響到轉(zhuǎn)子的橫向振動。

以下分別對不平衡磁拉力Fmx、Fmy以及軸承支承反力Qbx、Qby進行分析。

1.1 不平衡磁拉力

為計算方便， 我們將電機氣隙磁導Λ作如下處理[5]：

(4)

其中，S為每極氣隙磁通面積，相對偏心ε=r/δ，系數(shù)Λn為

(5)

根據(jù)永磁同步電機運行相量圖[6]，定子繞組及永磁轉(zhuǎn)子的合成磁動勢為

F(θ,t)=Fs+Fj=

Fsmcos(ωet-pθ)+

Fjmcos(pωrt-pθ-λ)

(6)

其中，F(xiàn)sm為定子繞組磁勢基波幅值，與繞組電流、匝數(shù)及繞線型式有關(guān)；Fjm為永磁轉(zhuǎn)子向外提供的等效磁勢幅值，與永磁體材料、外形尺寸及工作點有關(guān)；p為電機磁極對數(shù)，ωe為電角速度，ωr為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度，λ=(π/2+θN-φ)為定轉(zhuǎn)子磁勢夾角，其中θN、φ為轉(zhuǎn)矩角及功率因數(shù)角。氣隙中的磁密分布與徑向Maxwell應力大小分別為

(7)

(8)

當偏心率較小時，式(4)中的級數(shù)項隨階次增加而迅速減小，故僅取其前四項代入式(8)，然后將σ在X,Y方向的分量分別沿轉(zhuǎn)子表面進行積分，即可得到X,Y方向的不平衡磁拉力

(9)

其中

(10)

從式(9)和式(10)可以看出，不平衡磁拉力包含兩部分：其中一部分(式(9)中第一項)和時間無關(guān)，僅與電樞磁勢幅值、永磁磁勢幅值及兩者所夾的角度有關(guān)，方向指向最小氣隙處；另一部分(式(9)中第二項和第三項)則隨時間周期性變化，其幅值表達式中的磁導級數(shù)部分僅包含高階系數(shù)乘積項Λ2,Λ3，故該部分幅值較前者小很多。

1.2 系統(tǒng)軸承力

圖4 滾動軸承示意圖Fig.4 A schematic of the rolling bearing

本文選用深溝球軸承作為電機轉(zhuǎn)子兩端的支撐，軸承截面如圖4所示。滾動軸承在工作過程中，受載荷的滾珠數(shù)量是不斷變化的，故需討論單個滾珠所提供的支承反力，然后再進行疊加。根據(jù)赫茲彈性接觸理論，滾動體和內(nèi)外圈滾道之間的接觸變形載荷與接觸變形量的關(guān)系為[7]

(11)

其中δi為第i個滾動體與滾道的接觸彈性變形量，kb為總接觸剛度。設x,y,α和λ分別為軸承內(nèi)圈中心點在水平方向和垂直方向的位移、滾動軸承接觸角和徑向游隙，n為滾動體數(shù)目，φi為t時刻第i個滾動體的角位置，ωc和ω為滾動體公轉(zhuǎn)角速度和轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的角速度。

假設滾動體與滾道間只作純滾動，則

(12)

式中下標“+”表示若結(jié)果為非負值則保留，若為負值則置零，因為此時該滾珠未受擠壓。從而第i個滾動體所產(chǎn)生的回復力為

(13)

將各滾珠回復力疊加，即得滾動軸承的非線性軸承力為

2 實例分析

由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動方程之間存在復雜耦合，難以求得解析解，故本文將通過數(shù)值仿真來研究轉(zhuǎn)子振動特性。本文所選算例為一臺額定功率7.5 kW、額定轉(zhuǎn)速1 000 r/min的永磁同步電動機，采用龍格庫塔法求解非線性振動微分方程。若無特別說明，均?。簃=25 kg，m1=5 kg，J=0.093 4 kg·m2，c=200 N·s/m，c1=100 N·s/m，k=4.5×107N/m，R=82.5 mm，L=105 mm，δ0=3.0 mm，μ0=4×10-7H/m若不考慮偏心磁拉力等的影響，轉(zhuǎn)子橫向振動固有頻率約為1 340 rad/s，遠高于電機額定轉(zhuǎn)速。

2.1 質(zhì)量及初始位置偏心對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動的影響

由于轉(zhuǎn)軸熱處理工藝以及磁鋼安裝布置精度等原因，轉(zhuǎn)子可能存在質(zhì)量偏心，即轉(zhuǎn)子質(zhì)心和形心不重合，存在一個偏移量a。圖5為永磁同步電機在額定負載下不同質(zhì)量偏心時轉(zhuǎn)子的軸心軌跡。由圖5 (b)、(c)可見如果質(zhì)量偏心量增大，振動幅值增加，而且軸心軌跡逐漸規(guī)則化，這是由于質(zhì)量偏心的增加導致離心力增大，使得離心力在各影響因素中占主導作用，電磁力的影響則明顯減弱。

圖6為當電機存在初始靜偏心時轉(zhuǎn)子的軸心軌跡。由圖6 (b)、(c)可見，初始靜偏心的存在將使轉(zhuǎn)軸整體朝最小靜偏心方向偏移。一般情況下，轉(zhuǎn)子振幅會隨靜偏心增大而增大，但在靜偏心角靠近π/2時，振動有所緩和，因為此時靜偏心造成的氣隙不均和重力引起的轉(zhuǎn)軸偏移會相互削弱。類似地，當靜偏心角與重力方向接近時，會使轉(zhuǎn)子振動大幅增加。由式(9)可得各靜偏心情形下Y方向的不平衡磁拉力，見圖7，計算結(jié)果表明，當靜偏心方向與重力方向相反時，不平衡磁拉力將被削弱。

因此，初始靜偏心對轉(zhuǎn)子振動有較大影響，尤其是水平放置的電機，若安裝時使轉(zhuǎn)軸朝重力方向偏移，將會大大增加轉(zhuǎn)子的振動。

圖5 不同質(zhì)量偏心時轉(zhuǎn)子軸心軌跡(其中r0=0.1 mm，γ0=π/4) Fig.5 Rotor center locus with different mass eccentricities

圖6 不同靜偏心下轉(zhuǎn)子軸心軌跡Fig.6 Rotor center locus with different static eccentricities

圖7 不同靜偏心下Y方向的不平衡磁拉力 Fig.7 Unbalanced magnet pull on Y direction with different static eccentricities

2.2 負載變化對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動的影響

前述假定所研究的永磁同步電機工作在額定狀態(tài)下，即在恒定的額定負載轉(zhuǎn)矩TN下以額定轉(zhuǎn)速運轉(zhuǎn)。然而在許多工程應用中，負載轉(zhuǎn)矩受外界擾動將發(fā)生變化，從而將引起電樞電流以及氣隙磁場的變化。下面進一步分析兩種不同形式的負載變化對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應的影響。

考慮到不同應用需求以及不同控制策略，本文作以下假設：當負載轉(zhuǎn)矩變化時，電機通過調(diào)節(jié)其電樞電流以及定轉(zhuǎn)子磁勢夾角，以快速跟蹤轉(zhuǎn)矩變化；在電源電壓和電機轉(zhuǎn)速基本恒定時，電樞電流的變化與負載轉(zhuǎn)矩變化呈線性關(guān)系。

首先，設負載轉(zhuǎn)矩按正弦規(guī)律變化，即T=TNsin2πft，其幅值TN=71 N·m，頻率f=10 Hz，代入系統(tǒng)動力學方程(3)后可解得轉(zhuǎn)子在Y方向的振動，見圖8。

圖8 正弦負載下轉(zhuǎn)子振動信號Fig.8 Vibration of rotor under sine load

由圖8可見，信號頻率較恒定負載下豐富，主要的頻率成分有：由轉(zhuǎn)子自身重力和初始位置偏心共同引起的相對固定的成分(0 Hz)、轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)引起的轉(zhuǎn)速成分(16.7 Hz)、負載頻率成分(10 Hz)以及2倍負載頻率成分(20 Hz)。因此，負載轉(zhuǎn)矩的頻率及其2倍頻可在轉(zhuǎn)子振動信號中體現(xiàn)出來。

圖9 負載轉(zhuǎn)矩周期方波變化時轉(zhuǎn)子振動圖線Fig.9 Vibration of rotor under periodical square load

進而，設方波負載幅值為71 N·m，頻率為10 Hz，占空比為0.5。類似前述方法，可得負載轉(zhuǎn)矩作方波形變化時的振動信號，見圖9。由圖9可見，此時轉(zhuǎn)子振動情況變得復雜，多種高頻成分的信號被激發(fā)出來：除了重力和初始偏心造成的固定偏移成分(0 Hz)、轉(zhuǎn)速頻率成分(16.7 Hz)、負載頻率成分(10 Hz)，負載轉(zhuǎn)矩的奇數(shù)倍頻也被激發(fā)出來，而且有多個高頻成分集中于150 Hz附近。這是因為，周期性方波信號可通過傅里葉級數(shù)分解為不同正弦函數(shù)的和，而這些正弦函數(shù)的頻率恰好分別為基頻的奇數(shù)倍，因而方波型負載轉(zhuǎn)矩可看作由多種諧波成分組成，在作用到永磁同步電機轉(zhuǎn)子上后，各諧波頻率將被激發(fā)出來。

3 結(jié) 論

本文針對永磁同步電機氣隙偏心問題，首先建立了柔性支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，分析了電機在帶負載工作時氣隙磁場分布以及不平衡磁拉力，進而通過數(shù)值仿真，詳細分析了不同偏心情形以及不同負載類型時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動響應，得到了如下結(jié)論：

(1) 質(zhì)量偏心較小時，不平衡磁拉力對轉(zhuǎn)子振動的影響比較顯著，隨著質(zhì)量偏心的增大，轉(zhuǎn)子振幅有所增加，同時電磁力的影響被弱化；

(2) 初始靜偏心的存在對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動有重要影響。當靜偏心方向與重力方向相同或相近時，轉(zhuǎn)子振動將得到加強，而當靜偏心與重力方向相反時，由于二者的作用相互削弱，故轉(zhuǎn)子振動有所減弱；

(3) 考慮外部負載的作用將能更準確描述電機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性，當負載轉(zhuǎn)矩發(fā)生變化時，其所含諧波成分的頻率將在轉(zhuǎn)子振動信號中體現(xiàn)出來。

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Vibration characteristics analysis of a rotor for a permanent magnet motor with Air-Gap Eccentricity

YUE Er-tuan, GAN Chun-biao, YANG Shi-xi

(Department of Mechanical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

The vibration characteristics of a rotor system of a permanent magnet synchronous motor with air-gap eccentricity were studied. The dynamic model of the rotor system was built. According to the distribution of magnetic flux density generated by permanent magnet and the armature current under loaded, the unbalanced magnet pull (UMP) was calculated with Maxwell stress tensor method and it was substituted into the dynamic model. Through several illustrating numerical examples, the effects of different eccentricities and loads on the rotor vibration were discussed in detail. The results showed that the mass unbalance weakens the effect of the UMP and aggravates the vibration of the rotor; the magnitude and orientation of initial eccentricity can also change the vibration characteristics of the rotor, and the vibration is weakened when the orientation of initial eccentricity is opposite to that of gravity; as the load torque changes, the corresponding vibration components are excited with the same harmonic frequencies as those of the load.

permanent magnet motor; air-gap eccentricity; unbalanced magnet pull; load torque; vibration characteristics

國家自然科學基金(11172260,11072213)；高等學校博士學科點專項科研基金(20110101110016)

2013-03-13 修改稿收到日期：2013-06-03

岳二團 男，碩士生，1986年生

甘春標 男，教授，1971年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.006