三層結構模型的內共振和組合共振

吳志強， 陳世棟,2， 雷 娜,2， 宮明旭

(1.天津大學 機械工程學院力學系，天津 300072;2.北汽福田汽車股份有限公司 工程研究總院，北京 102206)

三層結構模型的內共振和組合共振

吳志強1， 陳世棟1,2， 雷 娜1,2， 宮明旭1

(1.天津大學 機械工程學院力學系，天津 300072;2.北汽福田汽車股份有限公司 工程研究總院，北京 102206)

主要對三層結構模型的內共振和組合共振實驗進行了研究。通過模態(tài)設計使得結構一、二階模態(tài)頻率之比接近1:3。經(jīng)振動臺水平基礎激勵實驗發(fā)現(xiàn)：以一階模態(tài)頻率、二階模態(tài)頻率激勵，都可激發(fā)出一、二階模態(tài)間的內共振行為，同時該結構中還存在多種組合共振行為。為下一步非線性振動實驗裝置的改進奠定了基礎。

三層結構；內共振；組合共振

組合共振、內共振現(xiàn)象均是非線性系統(tǒng)典型行為。盡管已有大量的理論分析[1-3]工作，但實驗研究的報道并不多。

文獻[4-5]分別針對T型梁、懸臂梁開展了實驗研究，發(fā)現(xiàn)了結構存在內共振，并且能量是從低振幅高頻率向高振幅低頻率傳遞。由于內共振提供了傳遞能量的手段，將激勵的能量通過直接激發(fā)的模態(tài)傳遞到非直接激發(fā)的基本模態(tài)中。文獻[6]對旋轉結構的內共振和組合共振進行了實驗研究。實驗表明由于內共振的存在，將會誘發(fā)結構產(chǎn)生混沌運動。文獻[7]從理論分析和實驗研究兩方面對雙鉸圓拱進行非線性分析，結果表明其存在跳躍現(xiàn)象以及內共振現(xiàn)象。文獻[8]對參激屈曲梁的倍周期分岔和混沌運動進行了實驗研究，在實驗中觀察到了周期吸引子和混沌吸引子共存以及間隙混沌現(xiàn)象。文獻[9]通過對文物“龍洗”進行了非線性振動實驗，發(fā)現(xiàn)水珠噴起現(xiàn)象就是干摩擦引起的自激振動與殼液耦合系統(tǒng)具有兩個鏡面對稱結構的濕模態(tài)巧妙結合相互作用的結果。從而解釋了中華文物龍洗有趣現(xiàn)象的產(chǎn)生所具有的深刻科學道理。文獻[10]對內共振和外共振聯(lián)合作用下的索-梁組合結構非線性振動問題進行了研究，研究發(fā)現(xiàn)索和梁之間在特定的內外共振下才會出現(xiàn)持續(xù)的模態(tài)交替現(xiàn)象。

隨著人們對非線性動力學認識的加深，以工程裝備、工程結構為背景的非線性實驗研究的重要性越來越得到重視[11]。

在結構工程領域，多層結構的是經(jīng)常使用的形式之一，如海上采油平臺等等，如何避免非線性現(xiàn)象造成此類的結構破壞是值得探討的問題。作為非線性動力學實驗探索，本文選擇三層結構模型(見圖1)為對象進行內共振及組合共振實驗分析。

圖1 三層結構Fig.1 Three-story structure

1 實驗裝置及模態(tài)參數(shù)

本文討論的結構模型如圖1所示。選擇這種結構形式，主要的原因是尺寸參數(shù)易于調節(jié)且便于加工制造，較易通過模態(tài)設計實現(xiàn)模態(tài)頻率間的內共振關系。采用市場常見的材料，經(jīng)有限元試算，確定出合理的結構參數(shù)進行加工。

該結構主要由豎直承重板和結構橫梁組成。

豎直承重板：共兩塊，采用Q235的冷軋鋼板，其材料密度為7 800 kg/m3，彈性模量為2.2×1011Pa，泊松比為0.3。鋼板厚度為1 mm，用線切割工藝將鋼板加工成564 mm×100 mm的長方形板材，在板的長度方向打四排固定孔，孔徑為8 mm，孔距為25 mm，為鋼板與結構橫梁連接螺栓安裝預留。

結構橫梁：共四塊200 mm×100 mm，采用高密度聚乙烯材質，其材料密度為1 500 kg/m3，彈性模量為1.2×109Pa，泊松比為0.4。經(jīng)表面銑平后，在兩端截面處對照豎直承重板的螺栓安裝預留孔位置螺紋，螺紋直徑8 mm。

組裝：用螺栓、墊片、螺母將四塊聚乙烯橫梁和兩塊鋼板裝配在一起，結構的層高為188 mm。注意調整裝配間距，減小裝配應力，保證裝配結構水平豎直。

實驗用到的儀器及軟件主要包括：TST5912動態(tài)信號測試分析系統(tǒng)、TSTMP模態(tài)分析軟件、力錘、功率放大器、傳感器以及激振臺等。

為確定模型結構的力學參數(shù)，先開展模態(tài)實驗。首先在模態(tài)分析軟件中進行參數(shù)設置，建立三層結構模型；其次在模型中左右各設置三個測點(測點位于每排螺釘中點位置)，在三層結構對應的位置布置相應的測點，并利用錘擊法依次對每個測點進行敲擊，利用傳感器采集數(shù)據(jù)；最后利用軟件進行計算分析，得到結構的幅頻響應圖如圖2所示。由此可讀取結構的前三階固有頻率，其與有限元結果基本一致(見表1)。

表1 結構前三階模態(tài)頻率

圖2 幅頻響應Fig.2 Amplitude-frequency response

實驗和理論計算都表明：第一階頻率和第二階頻率之比接近1∶3。單純頻率關系還不能保證內共振現(xiàn)象的發(fā)生。為弄清該結構中否存在1∶3內共振現(xiàn)象,以下利用電磁振動臺開展了水平基礎激勵下的結構動力學實驗研究。

圖3 激振臺實驗裝置Fig.3 Device of actuating vibration table

2 內共振現(xiàn)象

利用振動臺對結構進行激振，當外激勵頻率為第一階模態(tài)的固有頻率6.54 Hz時，可以將第二階的模態(tài)頻率19.73 Hz激發(fā)出來，其功率譜圖見圖4。

圖4 激振頻率為6.54 Hz時的功率譜Fig.4 Power spectrum when exciting frequency is 6.54 Hz

當外激勵頻率為第二階模態(tài)的固有頻率19.73 Hz時，也可以將第一階的模態(tài)頻率6.54 Hz激發(fā)出來，如圖5所示。

以上實驗表明，激勵的能量可以通過直接激發(fā)的模態(tài)傳遞到非直接激發(fā)的模態(tài)中，即可由低階模態(tài)向高階模態(tài)傳遞能量，也可由高階模態(tài)向低階模態(tài)傳遞能量。這說明結構中確實存在1∶3內共振現(xiàn)象。

圖5 激振頻率為19.73 Hz時的功率譜Fig.5 Power spectrum when exciting frequency is 19.73 Hz

3 組合共振實驗現(xiàn)象

在較低頻率激勵下，發(fā)現(xiàn)結構中存在多種組合共振現(xiàn)象。

① 當組合激勵頻率Ω=4.93 Hz時，其組合形式為：(29.59-19.73)/2。對應自功率譜如圖6所示。

圖6 在4.93Hz處的功率譜Fig.6 Power spectrum when exciting frequency is 4.93 Hz

在圖6中，當激振頻率為4.93 Hz時，可以將結構的第二階和第三階頻率激發(fā)出來，這兩個頻率恰好是組合頻率構成的元素。在圖中也存在其他頻率成分，這些是倍周期頻率成分。

② 當組合激勵頻率Ω=9.86 Hz時，其組合形式為：(29.59-19.73)。對應自功率譜如圖7所示。

在圖7中，當激振頻率為9.86 Hz時，可以將結構的第二階和第三階頻率激發(fā)出來，這兩個頻率恰好是組合頻率構成的元素。

③ 當組合激勵頻率Ω=13.19 Hz時，其組合形式為：(19.73-6.54)。對應自功率譜如圖8所示。

圖7 在9.86 Hz處的功率譜Fig.7 Power spectrum when exciting frequency is 9.86 Hz

圖8 在13.19 Hz處的功率譜Fig.8 Power spectrum when exciting frequency is 13.19 Hz

當激振頻率為13.19Hz時，可以將結構的第一階、第二階和第三階頻率激發(fā)出來。

因此在組合共振中，組合頻率對結構安全性和可靠性分析將產(chǎn)生影響。組合共振現(xiàn)象再次說明，非線性系統(tǒng)具有比線性系統(tǒng)更多的共振機會，同時表明，系統(tǒng)的響應絕不是各個激勵引起的響應之和。

4 結 論

本文主要對一類三層結構模型進行了模態(tài)實驗和非線性振動實驗研究，得到如下結論：

(1) 該三層結構第一階頻率與第二階頻率之比接近1∶3。

(2) 水平基礎激勵下結構響應存在1∶3內共振現(xiàn)象，以一階模態(tài)頻率、二階模態(tài)頻率激勵，都可激發(fā)出一、二階模態(tài)間的內共振行為。

(3) 水平基礎激勵下結構響應中存在多種組合共振，其對結構振動所產(chǎn)生的影響是不可忽略的。

以上結論多層工程結構設計和健康監(jiān)測有一定參考作用。

[ 1 ] 陳予恕. 非線性振動系統(tǒng)的分叉和混沌理論[M]. 北京：高等教育出版社，1993.

[ 2 ] Nayfeh A H，Pai P F. Linear and nonlinear structural mechanics[M]. New York: Wiley-Interscience，2002.

[ 3 ] 胡海巖. 應用非線性動力學[M]. 北京：航天工業(yè)出版社，2000.

[ 4 ] Malatkar P，Nayfeh A H. A plethora of nonlinear dynamics phenomena observed in a simple cantilever plate[C]， ASME 2003 Design Engineering Technical Conferences，Chicago, llinois, USA 2003.

[ 5 ] Alhazza K A，Nayfeh A H, Daqaq M F. Delayed-acceleration feedback for active-multimode vibration control of cantilever beams[C].Proceedings of the ASME 2007 International Design Engineering Technical Conferences，Las Vegas, Nevada, USA 2007.

[ 6 ] Inoue T, Ishida Y. Chaotic vibration and internal resonance phenomena in rotor systems[J]. Journal of vibration and acoustics, 2005, 128(2): 156-169.

[ 7 ] Benedettini F, Alaggio R, Zulli D. Nonlinear coupling and instability in the forced dynamics of a non-shallow arch: theory and experiments[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 68(4): 505-517.

[ 8 ] 季進臣，陳予恕，葉 敏，等. 參激屈曲梁的倍周期分岔和混沌運動的實驗研究[J]. 實驗力學，1997，12(2)：248-259. JI Jin-chen, CHEN Yu-shu, YE Min,et al. Experimental investigation on the period doubleling bifurcation and chaotic motions of a parametrically excited buckled beam[J]. Journal of Experimental Mechanics, 1997, 12(2):248-259.

[ 9 ] 劉習軍，王大鈞，陳予恕. 中華文物龍洗(魚洗)有趣現(xiàn)象的非線性分析[J]. 科學通報，1996，41(5)：413-417. LIU Xi-jun, WANG Da-jun, CHEN Yu-shu. Nonlinear analysis of the mystenous chinese antiquities dragon washbasin phenomenon[J]. Chinese Science Bulletin, 1996, 41(5): 413-417.

[10] 魏明海, 肖儀清.內外共振聯(lián)合作用下索-梁組合結構非線性振動分析[J].振動與沖擊, 2012, 31(7): 79-84. WEI Ming-hai, XIAO Yi-qing. Nonlinear vibration analysis for a cable-beam coupled system under simultaneous internal and external resonances[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(7): 79-84.

[11] 孟 光，孟慶國，詹世革，等. 關于加強針對國家重大裝備的動力學與控制研究的建議[J]. 力學進展，2007，37(1)：135-141. MENG Guang, MENG Qing-guo, ZHAN Shi-ge,et al. Suggestion on the study of dynamics and control in key equipments[J]. Advances in Mechanics, 2007,37(1): 135-141.

Internal and combinational resonances of a three-story structure

WU Zhi-qiang1, CHEN Shi-dong1,2, LEI Na1,2, GONG Ming-xu1

(1. Department of Mechanics, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China；2. Engineering Research Institute of Beijing FOTON CO., LTD., Beijing 102206, China)

Experiments for internal and combinational resonances of a three-story structure were investigated. The frequency ratio between the first and the second modes of the structure was set near 1∶3 with a modal design. The internal resonance behaviors were found when the excitation frequency was close to the first modal frequency or the second one. Meanwhile, several types of combinational resonances were found in this structure. These results laid a foundation for future modification of a nonlinear vibration equipment.

three-layer structure; internal resonance; combination resonance

國家自然科學基金( 11172198);教育部博士點基金(2009003211005);教育部新世紀優(yōu)秀人才支持計劃(NCET-15-0247)

2013-01-22 修改稿收到日期：2013-05-22

吳志強 男，教授，博士生導師,1968年生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.001