一類無理數(shù)的算術定理證明及性質

李紅梅

(四川文理學院數(shù)學與財經系，四川達州635000)

一類無理數(shù)的算術定理證明及性質

李紅梅

(四川文理學院數(shù)學與財經系，四川達州635000)

利用算術基本定理證明了一類無理數(shù)，即有限個互異素數(shù)的積的正分數(shù)次冪是無理數(shù).

素數(shù)；分數(shù)次冪；無理數(shù)

無理數(shù)是較難理解的一類數(shù)，在中學經常采用計算器作為一個云梯[1]，或采用連分數(shù)的表達模型以幫助學生理解，如13的研究性學習[2]，如13這種帶根號無理數(shù)的嚴格證明.已有證明，若n為正整數(shù)，且n不是完全平方數(shù)，則n是無理數(shù)[3].若p1,…,ps是s個不同質數(shù)，則p1…ps是無理數(shù)[4].事實上，利用算術基本定理可證明有限個互異素數(shù)的積的正分數(shù)次冪是無理數(shù).

算術基本定理：設a＞1，那么必有

其中pj(1≤j≤s)是素數(shù)，且不計次序的意義下，表示式(1)是唯一的.將(1)中相同素數(shù)合并，即得

其中p1＜p2＜…ps(這里的pj和式(1)中的不表示相同的素數(shù)).式(2)稱為是a的標準素因數(shù)分解式[5].

引理：設p為素數(shù)，a,t為正整數(shù)，若p|at，則| p a.

證明：若不然，設p|/a，則 ?k∈Z,0＜r＜p，使a=kp+r.于是

定理1設p為素數(shù)，s為大于1的正整數(shù)，r為小于s的整數(shù)，則為無理數(shù).

(4)式左端為整數(shù)，從而p|ns，由引理知p|n.因而，使n=kp，代入(4)有，于是

由于r,s∈Z,r＜s，有s-r-1≥0.從而(5)式右端為整數(shù)，故p|ms，由引理知p|m.因而m,n有公因數(shù)p，這與m,n互素的假設矛盾.故命題成立.

推論1設p為素數(shù)，s為大于1的正整數(shù)，則sp為無理數(shù).

定理2設p1,p2,…,pr為兩兩互異的素數(shù)，t1,t2,…,tr為正整數(shù)，s為大于1的正整數(shù)，t1,t2,…,tr均小于s，則為無理數(shù).

于是

由于t1∈Z+，于是(7)式左端為整數(shù).從而p1|ns，由引理知p1|n.于是 ?k∈Z，使n=kp1，代入(7)式有

由于t2∈Z+，于是(8)式左端為整數(shù)，從而為互異素數(shù)，則p2p1，從而故.由引理知于是，使k=k1p2,所以.將次操作重復進行r次，，使，代入(6)式有可得使這表明m,n有公因數(shù)這與m,n互素的假設矛盾.故為無理數(shù).

推論2設p1,p2,…,pr為兩兩互異的素數(shù)，s為大于1的正整數(shù)，則為無理數(shù).

性質1設p,q,r為兩兩互異的素數(shù)，n∈Z+,n＞1，則不能構成算術級數(shù)中的任意三項.

于是

兩邊分別取對數(shù)，有

[1]曹一鳴.讓技術成為學數(shù)學用數(shù)學的“云梯”[J].中國電化教育,2010 (5):78-80.

[2]吳立寶,趙思林.13的研究性學習[J].中學數(shù)學教學參考,2013(4): 67-69.

[3]邢家省,蘇克勤.有理數(shù)逼近實數(shù)的表示方式及應用[J].河南科學, 2007,25(5):710-713.

[4]蕭文強.2是無理數(shù)的六個證明[J].高等數(shù)學研究,1998(9):45-46.

[5]潘承洞,潘承彪.初等數(shù)論[M].第三版.北京:北京大學出版社,48-49.

【編校：許潔】

A Proof Based on the Theorem of Arithmetic and Properties of a Kind of Irrational

LI Hongmei
(Department of Mathematic and Finance-Economics,Sichuan University of Arts and Science,Dazhou,Sichuan 635000, China)

A kind of irrational was proved by using the fundamental theorem of arithmetic,namely the fractional power of the product of limited number of different primes is an irrational number.

prime;fractional power;irrational

O156.1

A

1671-5365(2014)06-0018-02

2014-03-03修回：2014-03-27

四川文理學院教育教學改革研究項目“基于課改理念的數(shù)學專業(yè)選修課程建設與教學研究”(2013JY45)

李紅梅(1979-)，女，講師，碩士，研究方向為數(shù)學課程與教學論與數(shù)學分析

時間：2014-03-28 13:55

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20140328.1355.002.html