能量估計在偏微分方程中的應用

杜保營

(宜賓學院數學研究所，四川宜賓644007)

能量估計在偏微分方程中的應用

杜保營

(宜賓學院數學研究所，四川宜賓644007)

介紹了一般形式二階n維雙曲型方程初邊值問題解的能量估計、一般形式二階n維拋物型方程初邊值問題解的能量估計以及一般形式二階n維橢圓型方程邊值問題解的能量估計,探討了能量估計在這幾類方程的(初)邊值問題的一些應用,并得出一些結論.關鍵詞：能量估計；雙曲型方程；拋物型方程；橢圓形方程

能量估計又稱能量不等式，它在偏微分方程中有著廣泛的應用．曹洪鋒等[1]研究了熱傳導方程中能量估計的一些應用；楊金林[2]研究了二階波動方程中的能量估計與應用．一些特殊的偏微分方程的初邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性可用極值原理[3]或最大模估計[4]來處理．但是對于一般形式n維雙曲型偏微分方程的初邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性，一般形式的n維拋物型偏微分方程初邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性以及一般形式n維橢圓型偏微分方程邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性用極值原理或最大模估計處理就會很困難，而用能量估計處理這幾類偏微分方程解的唯一性及穩(wěn)定性就能夠很好地解決．本文就能量估計在這幾類偏微分方程中的應用做一些探討，并得出一定的結論．

1 基本概念

定義1[5]設Ω是Rn中的一個子集，u是Ω上的可測函數，而且|u(x)|p在Ω上可積，這種函數的全體記做Lp(Ω)，即

Lp(Ω)稱為Ω上的p方可積函數空間．在Lp(Ω)中定義范數如下

定義2[5]在定義1中,若p=2,則

在L2(Ω)中定義范數為

定義3[6]設T＞0,Ω為Rn中的一個可測集,則中的范數如下定義

引理1(Green公式)[7]三維空間有界閉體Ω是由光滑或逐片光滑的閉曲面Γ圍成,函數P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)及其偏導數在有界閉體Ω上連續(xù),則

(1)式的另一種形式為

其中dΩ是Ω的體積微元，n是Γ的外法線方向，ds是Γ的面積微元.偏微分方程中常用Green公式的(2)式,該公式可以推廣到有限維的形式．

2 雙曲型方程中能量估計的應用

設Ω為Rn中的有界區(qū)域,且具有光滑邊界Γ．T＞0,在區(qū)域QT=Ω×() 0,T中考察一般形式的二階雙曲型方程

其中系數滿足以下兩個條件：

①系數aij,bi,b0,c及右端項f都是-QT上的連續(xù)函數,且aij在上具有一階連續(xù)偏導數.

②對一切i,j=1,2…n，成立aij=aji,且存在正常數α＞0,使得對一切及任意實向量都有

現在給定如下初始條件和邊界條件:

其中ΣT=?！?) 0,T為QT的側邊界.在雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)引入該問題的能量函數:

對(3)兩邊同時乘ut并在Ω上關于x積分,利用Green公式及Friedrichs不等式[6]，可得到雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)如下能量估計.

引理2[3]設u是雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)的解,則成立下面的能量估計

其中c是一個不依賴于u的正常數.

定理1雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)的解是唯一的.

證明：考察下面的雙曲方程的初邊值問題

令

其中α為(4)式中的α．設u是雙曲型方程初邊值問題(7)(8)(9)的解,則

在雙曲型方程初邊值問題(7)(8)(9)中

在不等式(10)中右端項為零，即E1(t)≤0,又E1(t)≥0,所以E1(t)=0．故ut=uxi=0,i=1,2…n.

所以u=const,又u(x,0)=0,因而u≡0,即雙曲型方程初邊值問題(7)(8)(9)的解必為零解．

設u1,u2為雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)的任意兩個解，則u=u1-u2為雙曲型方程初邊值問題(7)(8)(9)的解，所以u=0，即u1=u2．定理證畢．

定理2雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)的解連續(xù)依賴于初始資料及右端項(關于初始資料及右端項具有穩(wěn)定性)．

即

其中E1(t)為定理1證明過程中所設．以e-t同乘(11)式兩邊,并在0到t積分，整理得

又

即

(12)+(13)整理得

又

由(14)(15)整理得

其中c,c1,c0是正常數．設u1是以φ1,ψ1,f1為初始資料和右端項的解，設u2是以φ2,ψ2,f2為初始資料和右端項的解，則u1-u2是以φ1-φ2,ψ1-ψ2,f1-f2為初始資料和右端項的解，由(16)式可知：?ε＞0,?僅依賴于ε,T的η＞0，只要

就有

定理證畢．

3 拋物型方程能量估計的應用

在QT中考察下面的二階拋物型方程

其中系數及右端項仍滿足前面雙曲型方程的條件①②．方程(18)滿足下面的初始條件及邊界條件：

引理3[3]設u拋物型方程初邊值問題(17)(18)(19)的解，構造能量函數則成立能量估計式：

其中c是一個不依賴于u的正常數．

定理3拋物型方程初邊值問題(17)(18)(19)的解是唯一的．

證明：考察下面的拋物型方程的初邊值問題

設u是拋物方程初邊值問題(20)(21)(22)的解．則

在拋物方程初邊值問題(20)(21)(22)中

在不等式(23)中右端項為零，即E(t)≤0,又E(t)≥0,所以E(t)=0.故ut=uxi=0,i=1,2…n.所以u=const．

又u(x,0)=0,因而u≡0．即拋物方程初邊值問題(20)(21)(22)的解的解必為零解．設u1,u2為拋物型方程初邊值問題(17)(18)(19)的任意兩個解，則u=u1-u2為拋物型方程初邊值問題(20)(21)(22)的解，所以u=0,即u1=u2．定理證畢．

定理4拋物型方程初邊值問題(17)(18)(19)的解連續(xù)依賴于初始資料及右端項(關于初始資料及右端項具有穩(wěn)定性)．

證明：設u拋物型方程初邊值問題(17)(18)(19)的解，由引理3知：

即

整理得

其中c1是正常數．設u1是以φ1,f1為初始資料和右端項的解，設u2是以φ2,f2為初始資料和右端項的解，則u1-u2是以φ1-φ2,f1-f2為初始資料和右端項的解，由(24)式可知：?ε＞0,?僅依賴于ε,T的η＞0，只要

就有

定理證畢．

4 橢圓型方程能量估計的應用

在Ω中考察下面的二階橢圓型方程

其中系數及右端項仍滿足前面雙曲型方程的條件①②．方程(25)滿足下面的邊界條件:

引理4[3]存在一個僅依賴于區(qū)域Ω,α以及的最大值的正常數λ0，在c(x)≤-λ0時，橢圓型方程邊值問題(25)(26)的解u,滿足能量估計式:

其中c是一個不依賴于u的正常數．

定理5橢圓型方程邊值問題(25)(26)的解是唯一的．

證明：考察下面的拋物型方程的邊值問題

設u是橢圓型方程邊值問題(27)(28)的解．則由引理4知

即

又

所以

故

所以u(x)=0,因而u≡0.即橢圓型方程邊值問題(27) (28)的解必為零解.設u1,u2為橢圓型方程邊值問題(25) (26)的任意兩個解，則u=u1-u2為橢圓型方程邊值問題(27)(28)的解，所以u=0,即u1=u2.

定理證畢.

定理6橢圓型方程邊值問題(25)(26)的解連續(xù)依賴于右端項(關于右端項具有穩(wěn)定性)．

證明：設u橢圓型方程邊值問題(25)(26)的解，由引理4知:

整理得：

其中c1是正常數．設u1是以f1為右端項的解,設u2是以f2為右端項的解,則u1-u2是以f1-f2為右端項的解.由(29)(30)式可知：?ε＞0,?僅依賴于ε的η＞0,只要，就有

定理證畢.

5 結語

一些特殊的偏微分方程(初)邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性用(強)極值原理[8]處理會更容易,但是本文所討論的一般形式n維偏微分方程(初)邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性的證明如果用(強)極值原理處理會很困難,而用能量估計處理就會容易很多．但是能量估計在偏微分方程中的應用也有一定的局限性，比如本文所討論的三類方程系數和右端項必須要滿足條件①②,邊值條件必須為零等,橢圓方程還必須要滿足引理4的條件．如果突破這些限制條件偏微分方程的(初)邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性是否仍成立，如果成立應該怎樣證明?這些問題計劃在以后的工作中研究解決.

[1]曹洪鋒.熱傳導方程的能量估計[J].價值工程,2011(13):52-54.

[2]楊金林,楊勤榮.二階波動方程的一種能量估計[J].包頭鋼鐵學院學報,1996(4):34-36.

[3]谷超豪,李大潛,陳恕行,等.數學物理方程[M].第二版.北京:高等教育出版社,2002.

[4]崔志勇,金德俊,盧喜觀.線性偏微分方程引論[M].長春:吉林大學出版社,1991.

[5]張恭慶,林源渠.泛函分析講義:上冊[M].北京:北京大學出版社, 1987.

[6]曹廣福,嚴從荃.實變函數與泛函分析:下冊[M].北京:高等教育出版社,2011.

[7]劉玉蓮,傅沛仁.數學分析講義:下冊[M].第三版.北京:高等教育出版社,2001.

[8]陳恕行.現代偏微分方程導論[M].北京:科學出版社,2005.

【編校：許潔】

The Application of Energy Estimation in Partial Differential Equation

DU Baoying
(Institute of Mathematical Science,Yibin University,Yibin,Sichuan 644007,China)

The energy estimation of the initial boundary value in 2-order hyperbolic equations in the general form,in 2-order parabolic equations in the general form and in 2-order elliptic equations in the general form were introduced.Some application problems about the estimation of energy of the(initial)boundary value in these equations were discussed,then some conclusions were drawn.

energy estimation;hyperbolic equation;parabolic equation;elliptic equation

O175.2

A

1671-5365(2014)06-0003-04

2014-03-02修回：2014-03-05

宜賓學院科研啟動項目碩士啟動金(2012Q13)

杜保營(1981-)，男，助教，理學碩士，研究方向為微分方程

時間：2014-03-27 17:44

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20140327.1744.005.html