航天器共面圓型快速繞飛控制研究*

趙書(shū)閣 張景瑞

北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081

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航天器共面圓型快速繞飛控制研究*

趙書(shū)閣 張景瑞

北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081

研究了基于C-W方程的航天器共面圓型快速繞飛問(wèn)題。分析了2種受迫快速繞飛方法：第1種方法基于C-W方程的解析解，設(shè)計(jì)了軌道平面內(nèi)近圓拼接繞飛軌跡，給出了拼接繞飛所需的控制脈沖；第2種方法設(shè)計(jì)了任意周期的圓型繞飛相對(duì)運(yùn)動(dòng)參考軌跡，并利用PD控制律對(duì)其跟蹤。并給出了2種受迫繞飛方法的固定推力形式的控制律。精確軌道仿真結(jié)果表明2種方法都能實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)航天器軌道平面內(nèi)的近圓型繞飛。相對(duì)于參考軌跡繞飛，拼接繞飛為非標(biāo)準(zhǔn)圓型軌跡，且繞飛周期固定，但是實(shí)現(xiàn)拼接繞飛所需的推力器控制開(kāi)關(guān)機(jī)次數(shù)較少，速度增量也較小。

受迫繞飛;C-W方程；脈沖控制；PD控制

航天器的繞飛運(yùn)動(dòng)是一個(gè)在軌航天器圍繞另一個(gè)在軌航天器的周期性封閉相對(duì)運(yùn)動(dòng)[1]。現(xiàn)今眾多的空間任務(wù)中，如航天器在軌服務(wù)、空間軍事監(jiān)視任務(wù)等，實(shí)現(xiàn)航天器自主繞飛，監(jiān)測(cè)目標(biāo)的飛行狀態(tài)并執(zhí)行相關(guān)操作都是重要的環(huán)節(jié)。繞飛運(yùn)動(dòng)有自然繞飛[2-4]和快速繞飛[1,5-6]之分。自然繞飛的繞飛軌跡近似橢圓，繞飛航天器與目標(biāo)航天器的距離會(huì)發(fā)生較大的變化，而且繞飛周期與目標(biāo)航天器的軌道周期相同?？焖倮@飛具有可變繞飛周期和繞飛形狀的優(yōu)勢(shì)，在航天器近距離觀測(cè)、空間目標(biāo)識(shí)別與偵察、在軌應(yīng)急服務(wù)中有重要的應(yīng)用。

本文針對(duì)近圓軌道上運(yùn)行的航天器，基于C-W方程設(shè)計(jì)了2種快速受迫繞飛方法：拼接繞飛和參考軌跡繞飛。拼接繞飛利用2個(gè)自然橢圓繞飛的部分軌跡拼接形成新的繞飛軌跡，參考軌跡繞飛利用PD控制實(shí)現(xiàn)對(duì)任意預(yù)定軌道的跟蹤?？紤]工程實(shí)際，2種快速受迫繞飛方法都給出了定常推力控制律。最后用精確的軌道模型對(duì)2種受迫繞飛方法進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證，分析對(duì)比各自的優(yōu)缺點(diǎn)。

1 坐標(biāo)系及運(yùn)動(dòng)方程

繞飛運(yùn)動(dòng)通常是近距離的，因此可以用C-W方程[7]進(jìn)行繞飛軌跡描述和控制律設(shè)計(jì)。首先建立以目標(biāo)航天器質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)的LVLH(當(dāng)?shù)厮?當(dāng)?shù)卮怪?坐標(biāo)系OXYZ，如圖1，F(xiàn)S(Fly-around Spacecraft)為繞飛航天器，TS(Target Spacecraft)為目標(biāo)航天器，Z軸(徑向)從目標(biāo)航天器指向地心，X軸(橫向)垂直Z軸指向前，X軸和Z軸組成當(dāng)?shù)剀壍榔矫妫琘軸(副法向)由右手定則確定。

圖1 目標(biāo)航天器LVLH坐標(biāo)系

當(dāng)目標(biāo)航天器運(yùn)行于圓或近圓軌道，且繞飛航天器與目標(biāo)航天器距離很近時(shí)，兩航天器間的引力差可作線性化處理，從而繞飛航天器在目標(biāo)航天器LVLH坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)可用C-W方程(又稱(chēng)Hill方程)描述[7]。

(1)

式中：x，y，z是繞飛航天器的質(zhì)心在LVLH坐標(biāo)系中的坐標(biāo);wt為目標(biāo)航天器的軌道角速度；fx，fy，fz分別為繞飛航天器在X，Y，Z的3個(gè)方向的控制加速度。

(2)

可見(jiàn)，若初始條件6wtz0-3vx0≠0，則X軸方向有隨時(shí)間不斷增長(zhǎng)的項(xiàng)(漂移項(xiàng))，相對(duì)距離會(huì)越來(lái)越大；若初始條件滿(mǎn)足6wtz0-3vx0=0，則繞飛航天器相對(duì)于目標(biāo)航天器的運(yùn)動(dòng)在軌道平面內(nèi)的投影可轉(zhuǎn)化為橢圓方程：

(3)

即軌道平面內(nèi)形成中心在目標(biāo)航天器LVLH坐標(biāo)系的點(diǎn)(P,0)處，長(zhǎng)半軸為2b，短半軸為b的橢圓軌跡，即為自然橢圓繞飛軌跡。這種相對(duì)運(yùn)動(dòng)的周期為2π/wt，即目標(biāo)航天器的軌道周期，b和P由初始條件決定:

(4)

2 基于C-W方程的拼接繞飛

當(dāng)兩航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)的初始條件滿(mǎn)足6wtz0-3vx0=0時(shí)，可在軌道平面內(nèi)實(shí)現(xiàn)封閉橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡。如圖2，由對(duì)稱(chēng)性可以在Z軸兩側(cè)設(shè)置2個(gè)鏡面對(duì)稱(chēng)的橢圓1和橢圓2，它們相交于A點(diǎn)和B點(diǎn)，則只要在A點(diǎn)和B點(diǎn)分別施加速度增量就能形成一個(gè)新的封閉繞飛軌跡(即拼接繞飛軌跡)。

圖2 拼接繞飛

假設(shè)自然橢圓軌跡1從B點(diǎn)到A點(diǎn)的短路徑經(jīng)歷時(shí)間為T(mén)/n，其中T為目標(biāo)航天器的軌道周期，n為比例系數(shù)，則拼接繞飛的周期為2T/n，拼接繞飛的周期與自然橢圓繞飛的周期之比為2/n。為方便推導(dǎo)特征尺寸，假設(shè)初始時(shí)刻繞飛航天器位于點(diǎn)C，自然橢圓軌跡1的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：

(5)

自然橢圓軌跡1從C點(diǎn)到A點(diǎn)的短路徑經(jīng)歷時(shí)間為ΔtC→A=T/2n，代入式(5)可以計(jì)算OA；同時(shí)根據(jù)目標(biāo)航天器經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)X方向坐標(biāo)為0，可以得到P；接下來(lái)根據(jù)OC+P=2b，可以得到OC，從而得到拼接繞飛的特征尺寸：

(6)

對(duì)式(5)進(jìn)行微分可以得到速度的表達(dá)式，代入ΔtC→A=T/2n,可以計(jì)算繞飛航天器在橢圓1的A點(diǎn)速度。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可以計(jì)算繞飛航天器在橢圓2的A點(diǎn)速度：

(7)

根據(jù)v1，v2可以計(jì)算實(shí)現(xiàn)拼接繞飛在A點(diǎn)所需的速度增量為:

(8)

由對(duì)稱(chēng)性得到實(shí)現(xiàn)拼接繞飛在B點(diǎn)所需的速度增量為：

(9)

可見(jiàn)，可以由固定大小的橢圓繞飛軌跡拼接形成新的繞飛軌跡，繞飛周期可以任意設(shè)定，但不同的繞飛周期只能一一對(duì)應(yīng)不同的繞飛軌跡特征尺寸和維持繞飛所需的速度增量。表1給出了航天器在7000km軌道上運(yùn)行時(shí)，實(shí)現(xiàn)不同拼接繞飛情況的繞飛軌跡的特征尺寸和維持繞飛所需的速度增量。

表1 拼接繞飛的特征尺寸和維持繞飛所需的速度增量

特別地，為了實(shí)現(xiàn)近圓型繞飛，需要使OA=OC，根據(jù)式(6)可得：

bsin(π/n)=2b[1-cos(π/n)]

(10)

由式(10)可解得n=3.3879，即近圓型拼接繞飛的周期與自然橢圓繞飛的周期之比為定值。

公式(8)和(9)僅給出了實(shí)現(xiàn)拼接繞飛所需的速度增量，為了應(yīng)用于工程實(shí)際中的定常推力器，需要折算出推力器開(kāi)機(jī)工作時(shí)間。根據(jù)齊奧爾可夫斯基公式，可以建立推力器開(kāi)機(jī)工作時(shí)間Δtv與速度增量Δv的關(guān)系:

(11)

式中：F為推力器的標(biāo)稱(chēng)推力，Isp為推力器標(biāo)稱(chēng)比沖，它們都是常值，m0為推力器開(kāi)機(jī)前一刻的航天器質(zhì)量。按對(duì)半平分原則，在設(shè)計(jì)的速度增量作用時(shí)刻，噴氣控制Δtv時(shí)長(zhǎng)即可。

3 基于C-W方程的參考軌跡繞飛

由拼接繞飛圖2可以看出，當(dāng)僅在A點(diǎn)和B點(diǎn)施加徑向速度增量，繞飛軌跡是兩段橢圓拼接而成，所以標(biāo)稱(chēng)軌道不是標(biāo)準(zhǔn)圓，而且由于要求OA=OC，推導(dǎo)出近圓型拼接繞飛的周期與自然橢圓繞飛的周期之比為定值，即近圓型拼接繞飛的周期相對(duì)固定，所以不利于任意周期的繞飛。設(shè)計(jì)參考軌跡，應(yīng)用PD控制可以實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)圓型繞飛，還可以任意設(shè)計(jì)繞飛周期。

假設(shè)繞飛軌跡從D點(diǎn)開(kāi)始順時(shí)針運(yùn)行，則圓型參考軌跡繞飛的標(biāo)稱(chēng)軌跡為:

(12)

式中:To為參考軌跡繞飛的周期。

采用比例-微分控制方式跟蹤上述參考軌跡，控制加速度由參考軌跡與實(shí)際軌跡的相對(duì)位置和相對(duì)速度之差構(gòu)成：

(13)

噴氣推力大小固定，設(shè)仿真步長(zhǎng)為ΔT，發(fā)動(dòng)機(jī)最短工作時(shí)間為tm，則發(fā)動(dòng)機(jī)每個(gè)步長(zhǎng)的工作時(shí)間為：

(14)

4 數(shù)值仿真

本文的數(shù)值仿真將實(shí)現(xiàn)特征尺寸OA=OC=100m的拼接繞飛和半徑為100m的圓型參考軌跡繞飛。為了使仿真結(jié)果更具有普遍性，繞飛航天器的初始位置位于目標(biāo)航天器的正后方300m處。

首先利用V-Bar接近方法[8]從后方300m處沿著X軸直線接近至后方100m處，然后在Z方向施加控制形成自然橢圓繞飛軌跡，最后再分別進(jìn)行2種受迫繞飛控制。

V-Bar接近方法的控制律：fx=fy=0，fz=-2wtvx，根據(jù)V-Bar接近方法的要求，選取初始條件如下：x0=-300m，vx0=0.5m/s，y0=z0=0，vy0=vz0=0。根據(jù)以上的目標(biāo)航天器坐標(biāo)系下的初始條件，選取兩航天器的初始平均軌道要素如表2所示。

表2 兩航天器的初始平均軌道要素

繞飛航天器初始質(zhì)量為500kg，噴氣推力器推力為50N，推力器標(biāo)稱(chēng)比沖為2800m/s，發(fā)動(dòng)機(jī)最短工作時(shí)間為50ms。PD控制參數(shù)為Kp=Kd=0.01。仿真中用Cowell法進(jìn)行軌道積分，包括地球扁率J2～J4項(xiàng)攝動(dòng)，仿真步長(zhǎng)為0.4s。為了對(duì)2種繞飛控制律進(jìn)行比較，令參考圓繞飛的周期等于拼接繞飛的周期，維持2個(gè)繞飛周期。表3給出了拼接繞飛和參考圓繞飛所需的噴氣次數(shù)和速度增量，圖3和4給出了拼接繞飛和參考圓繞飛的推力控制(絕對(duì)值代表開(kāi)機(jī)時(shí)間，正負(fù)代表推力方向)?？梢?jiàn)拼接繞飛所需的噴氣次數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于參考圓繞飛，拼接繞飛所需的速度增量明顯小于參考圓繞飛。

圖5和6給出了軌道平面內(nèi)拼接繞飛和參考圓繞飛的運(yùn)動(dòng)軌跡?？梢?jiàn)拼接繞飛的運(yùn)動(dòng)軌跡與標(biāo)準(zhǔn)圓有偏差，且拼接繞飛的運(yùn)動(dòng)軌跡與標(biāo)稱(chēng)的運(yùn)動(dòng)軌跡偏差會(huì)逐漸拉大，這是由于C-W方程的模型誤差和控制沖量誤差造成的，因此只能應(yīng)用于短期繞飛；參考軌跡繞飛能實(shí)現(xiàn)圓型繞飛，而且采用實(shí)時(shí)閉環(huán)的PD控制策略，能夠長(zhǎng)期保持期望的繞飛軌跡，適用于長(zhǎng)期繞飛?？筛鶕?jù)工程需要選擇相應(yīng)的繞飛軌跡及控制策略。

表3 繞飛兩圈的噴氣次數(shù)及速度增量

圖3 拼接繞飛的推力控制

圖4 參考圓繞飛的推力控制

圖5 拼接繞飛的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖6 參考圓繞飛的運(yùn)動(dòng)軌跡

5 結(jié)論

研究了基于C-W方程的航天器快速受迫繞飛問(wèn)題，設(shè)計(jì)了2種快速繞飛軌跡和相應(yīng)的控制策略：拼接繞飛(速度沖量控制)和參考軌跡繞飛(PD控制)。由于拼接繞飛充分利用了航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性，所以拼接繞飛所需的速度增量和推力器噴氣次數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于參考軌跡繞飛，但由于模型誤差和控制沖量誤差，拼接繞飛的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)偏離期望的運(yùn)動(dòng)軌道，只能應(yīng)用于短時(shí)間的繞飛，而參考軌跡繞飛能長(zhǎng)時(shí)間的保持圓型繞飛軌跡。

[1] 羅建軍,楊宇和,袁建平.共面快速受控繞飛軌跡設(shè)計(jì)與控制[J].宇航學(xué)報(bào),2006,27(6)：1389-1393. (Luo Jianjun, Yang Yuhe, Yuan Jianping. Trajectory Design and Control of In-Plane Fast Controlled Flyaround [J].Journal of Astronautics,2006,27(6)：1389-1393.)

[2] Sabol C, Burns R, McLaughlin C A.Satellite Formation Flying Design and Evolution [J].Journal of Spacecraft and Rocked,2001，38(2): 270-278.

[3] Lovell T Alan,Tragesser Steven G.Guidance for Relative Motion of Low Earth Orbit Spacecraft Based on Relative Orbit Elements [D].AIAA Paper 2004-4988, Rhode Island, 2004.

[4] 林來(lái)興.小衛(wèi)星圍繞空間站飛行動(dòng)力學(xué)和控制研究[J].中國(guó)空間科學(xué)技術(shù),1999,(6): 1-6.(Lin Laixing. A Study on Dynamics and Control of Small Satellite Flying around Space Station [J].Chinese Space Science and Technology,1999,(6): 1-6.)[5] 王鵬基,楊滌.小衛(wèi)星空間圓型編隊(duì)飛行隊(duì)形設(shè)計(jì)與比例-微分(PD)控制[J]. 航天控制,2002,(4): 21-27.(Wang Pengji,Yang Di.The Space Circular Formation Design and the Proportional-Differential (PD) Control of the Small Satellites Formation Flying [J].Aerospace Control,2002,(4): 21-27.)

[6] Masutani Y,Matsushita M,Miyazaki F.Flyaround Maneuvers on a Satellite Orbit by Impulsive Thrust Control [C].International Conference on Robotics & Automation,Seoul,Korea.May 21-26,2001.

[7] Clohessy W H,Wiltshire R S.Terminal Guidance System for Satellite Rendezvous [J].Journal of the Aerospace Sciences,1960,27(9): 653-659.

[8] Feshs W.Automated Rendezvous and Docking of Spacecraft [M].Cambridge: Cambridge University Press，2003.

A Study on Trajectory Control of Spacecraft In-Plane Circular Fast Fly-around

ZHAO Shuge ZHANG Jingrui

School of Aerospace, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081，China

Thespacecraftin-planecircularfastfly-aroundbasedonC-Wequationisstudiedinthispaper.Twomethodsfortheforcedfly-aroundarepresented.Inthefirstmethod,thenaturalellipticaltrajectoriesinplanewhichareobtainedbasedonC-Wequationarestitchedtobeanearlycircularfly-aroundtrajectory.Andthenthecontrolimpulsesforstitchingfly-aroundarecalculated.Inthesecondmethod,areferencefly-aroundtrajectoryisdesignedregardingthedesiredfly-aroundradiusandperiod.Theproportional-differential(PD)controllawisusedtotrackthereferencetrajectoryaccurately.Thecontrollawsofthesetwoforcedfly-aroundareobtainedundertheassumptionofconstantthrust.Theorbitalsimulationresultsshowthatthebothmethodscanaccomplishthefastforcedfly-aroundinplane.Bycomparingwiththereferencetrajectoryfly-around,thetrajectoryofstitchingfly-aroundisnotastandardcirclecorrespondingtoafixedfly-aroundperiod.Buttheon-offtimesandthevelocityincrementofthrustforthestitchingfly-aroundcontrolarelessthanthatforthereferencetrajectoryfly-aroundcontrol.

Forcedfly-around; C-Wequation;Impulsivecontrol; PDcontrol

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172036)

2012-09-21

趙書(shū)閣(1987-),男，山東德州人，博士研究生，主要研究方向?yàn)楹教炱骶庩?duì)飛行控制；張景瑞(1974-)，女，沈陽(yáng)人，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)楹教炱鲃?dòng)力學(xué)與控制。

V448.2

A

1006-3242(2014)01-0068-05