等量電荷電場線的分布及電場強度、電勢的特點分析

廖貴生

高二物理選修3-1教材中，在靜電場中，“電場”這個概念很抽象，特別是對初學者來說，對等量電荷電場線分布及場強、電勢特點模糊不清，以至在應用過程中經(jīng)常出錯。

1.等量電荷電場線分布

電場線的特點：①電場線從正電荷或無限遠出發(fā)，終止無限遠或負電荷；②電場線在電場中不相交，這是因為在電場任意一點的場強不可能有兩個方向；③在同一幅圖中，可以用電場線的疏密來表示場強的大小：即電場線 密的地方場強大，電場線疏的地方場強小。

2.等量電荷的場強

（1）等量正、負點電荷。等量正、負點的場強的大小用點的電荷的場強公式E=k—來計算。根據(jù)公式可知，離場源電荷越遠，場強越小；與場源電荷等距的各點組成球面上的場強大小相等。方向：正點電荷的場強方沿著電場線的方向向外，負點電荷的場強方向沿著電場線向內(nèi)。

（2）等量異種、同種電荷的場強。在實際應用中，主要考查等量異種、同種電荷兩條特殊線的場強，下面就等量異種、同種電荷兩條特殊線（兩電荷的連線上和兩電荷連線上的中垂線）的場強進行分析。

等量異種電荷：例一：兩電荷連線上。如圖1所示，在兩電荷連線上任取一點G，設(shè)AG長度為x，則G點場強EG為兩點電荷分別在該點的場強EA、EB的矢量和，方向從A指向B（由正電荷指向負電荷一側(cè)），由點電荷場強公式知：

EG=EA+ EB=—+—

=—

∵x+（L-x）等于定值L，∴當x=（L-x），即x=—時，x與（L-x）乘積最大

∴這時EG有最小值，即在兩電荷連線中點O處場強最小，將x=—帶入上式，可求得EG最小值EGmin=——，

方面由A指向B。從O點向兩側(cè)逐漸增大，數(shù)值關(guān)于O點對稱。

小結(jié)：等量異種電荷連線中點場強最小，靠近點電荷場強漸強，方向從正點荷指向負電荷。

例二：中垂線上。如圖2所示，在中垂線上，任取一點H，設(shè)OH=x，根據(jù)對稱性知：EH沿水平方向向右，即在中垂線上各點場強水平向右（垂直于中垂線指向負電荷一側(cè)），沿中垂線移動電荷，電場力不做功，由電勢差定義知：中垂線為一等勢線，與無限遠處等勢，即各點電勢為零。

H點的場強

EH=—·cosθ=—·

—=—

∴在O點，即x=0處，EH最大，x越大，即距O點越遠EH越小，兩側(cè)電場強度數(shù)值關(guān)于O點對稱。

小結(jié)：等量異種電荷的中垂線上電場強度由中點向上向下減小，方向與兩點電荷的連線平行且由正電荷指向負電荷。

等量同種電荷：例一：電荷連線上。如圖3所示，在兩電荷連線上任取一點N，設(shè)AN長度為x，則N點場強EN為兩點電荷在該點的場強EA、EB的矢量和，方向沿AB連線，O點左側(cè)從A指向B，右側(cè)從B指向A（沿兩電荷連線指向較遠一側(cè)電荷，若兩電荷為等量負電荷則反之），N點電場強度大小知：EN=—-—，

∴當x=—時，EN=0，即在兩電荷連線中點O處場強最小，從O點向兩側(cè)逐漸增大，數(shù)值關(guān)于O點對稱，方向相反。

小結(jié)：等量同種電荷連線上中點場強為零，向兩側(cè)逐漸增大。

例二：中垂線上。如圖4所示， 根據(jù)對稱性知：在O點兩側(cè)，電場強度方向均沿中垂線方向從O點指向無限遠（若兩電荷為等量負電荷則反之），由極限分析法易得：在O點處，E=0；在距O點無限遠處，E=0。說明中間某位置有極大值，可見：合電場強度的大小隨著距O點的距離增大，先從零增大到最大，然后逐漸減小。在中垂線上，任取一點P，設(shè)OP=x，AP=BP=r.由點電荷場強公式，（注意：場強是矢量，矢量求和時要考慮方向，在P點沿AB中垂線方向和垂直于中垂線方向分解EA和EB），故P點場強為：

EP=2EAcosθ=—=

—·—=—

運用數(shù)學方法，令y=—，

求導可得：

y'=

令y'=0，則[x2+（—）2] =3x2[x2+（—）2] ，

即x2+（—）2=3x2，∴當x=±—L時， EP有最大值EPmax=—。

∴從中點沿中垂線向兩側(cè)，電場強度的數(shù)值先增大后減小，兩側(cè)方向相反，關(guān)于O點對稱的點數(shù)值相等。

小結(jié)：等量同種電荷連線的中垂線上，從中點向兩側(cè)電場強度先增大后減小，兩側(cè)方向相反，關(guān)于O點對稱的點數(shù)值相等。若兩電荷為等量正電荷，則電場強度方向均沿中垂線方向從中點指向無限遠；若兩電荷為等量負電荷，則電場強度方向均沿中垂線方向從無限遠指向中點。

3.電勢

無論哪種類型的電場中，沿著電場線方向電勢逐漸降低。

（1）正、負點電荷。若取無窮遠處的電勢為零，則正（或負）點電荷電場中的電為正（或負）。與點電荷等距的各點組成的球面是等勢面，離正（或負）點電荷越近，等勢面越密。如圖5甲、乙。

（2）等量異種電荷。① 電荷連線上：由于沿著電場線的方向電勢降低，所以連線上從正點電荷到負點電荷電勢降低。②兩點電荷連線中垂線上：由于中垂線上場強方向與中垂線垂直，所以某檢驗荷在中垂線上移動時，電場力不做功，由 知，中垂線上任意兩點的電勢差為零，即中垂線上電勢均為零。

（3）等量同種電荷：①可根據(jù)電勢與電場線的關(guān)系（沿著電場線的方向電勢降低）直接判斷：連線上，中點電勢最小，從中點往兩邊電勢升高；中垂線上從中點往兩邊電勢降低，無窮遠處為零。電場線的分布如右圖所示。②也可由電勢差的定義UAB=—判斷。先看兩點電荷的連線上：設(shè)一正檢驗電荷由連線上某點A向中點O移動時，如圖6所示。

根據(jù)W=FS cosθ知，F(xiàn)與S的方向相同，故F做正功，q又為正電荷，所以UAO=—>0即UAO=φA-φO>0故φA>φO可知連線上從O到點電荷電勢升高，又由于兩邊對稱，故連線上O點電勢最低。同理可知中兩點電荷的垂直線上中點O電勢最高，往兩邊電勢降低。

小結(jié)：等量同種電荷連線上，中點電勢最低，從中點往兩側(cè)電勢升高；中垂線上從中點往兩邊電勢降低，無窮遠處電勢為零。

4.應用舉例

（1）如圖7所示，在等量異種點電荷電場中有A、B、C、D四點，其中承B、D在兩點電荷連線的中垂線上（連線的中點為O）OA>OC，OB>OD（重力不計）則下列說法正確的是（ ）

A.EA< EC，EB< ED

B.EA> EC，EB < ED

C.將一點電荷從B處由靜止釋放，則它必沿直線運動

D.將一點電荷以一定的速度V0從B處沒BD直線開始進入電場，則其運動軌跡必為曲線

答案：BD

解析：利用等量異種點電荷電場線分布特點，A處電場線較密，C處電場線較疏，EA>EB很直觀。但B 、D兩處并不直觀，但根據(jù)電場線在該處呈對稱性和兩點電荷連線中垂線上距中垂線中點遠處電場疏，可得EB

（2）如圖所示，P、Q是兩個電荷量相等的正的點電荷。它們連線的中點是O，A、B是中垂線上的兩點，OA<

OB，用EA、EB、φA、φB分別表示A、B兩點的場強和電勢，則（ ）

A.EA一定大于EB，φA一定大于φB

B.EA不一定大于EB，φA一定大于 φB

C.EA一定大于EB，φA不一定大于φB

D.EA不一定大于EB，φA不一定大于φB

答案：B

解析：從O到無窮遠處場強先增大后減小，方向沿中垂線指向無窮遠，在中垂線上電勢O點最高，沿電場線方向逐漸降低。故EA不一定大于EB，φA一定大于φB。

總結(jié)：通過學習等量電荷的電場分布、場強與電勢特點，特別是等量異種電荷和等量同種電荷在兩條特殊線上的場強、電勢特點的分析，在遇到此類題目都可以運上述知識來求解，希望能對學生有所幫助！

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.物理選修3-1[M].北京： 人民教育出版社，2010.

[2]人民教育出版社物理室.高中物理（必修加選修）[M].北京：人民教育出版社，2002.

（作者單位：江西省分宜縣第二中學）