具有隨機供需特征的物流超網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型研究

彭永濤，張 錦，王 坤

（西南交通大學 交通運輸與物流學院，成都610031）

具有隨機供需特征的物流超網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型研究

彭永濤，張 錦＊，王 坤

（西南交通大學 交通運輸與物流學院，成都610031）

為了能向日益復雜的物流需求提供針對性的物流服務(wù)，本文構(gòu)造了物流供需超網(wǎng)絡(luò)，分析了其結(jié)構(gòu)特征，考慮需求網(wǎng)絡(luò)中的隨機需求特性和供給網(wǎng)絡(luò)中的供給能力隨機變化特點，以及物流活動帶來的貨損情況，運用供需匹配思想，以商品的需求和供給為變量，貨損及供給能力為約束條件，建立隨機供需特征的超網(wǎng)絡(luò)模型.將模型轉(zhuǎn)換為變分不等式，并設(shè)計了基于改進的歐拉算法的求解方法.算例計算分析表明，以需求網(wǎng)絡(luò)中每條通道的物流廣義費用去優(yōu)化設(shè)計物流供給方案，可提高物流服務(wù)質(zhì)量，降低物流運作成本，而供給能力不確定與貨損直接影響了供給網(wǎng)絡(luò)與需求網(wǎng)絡(luò)之間的匹配程度.

物流工程；超網(wǎng)絡(luò)；供需匹配；隨機性；變分不等式；

1 引 言

近年來，物流業(yè)正在逐漸形成一個網(wǎng)絡(luò)化的綜合服務(wù)體系，物流網(wǎng)絡(luò)化是現(xiàn)代物流發(fā)展的必然趨勢[1].將物流網(wǎng)絡(luò)分為需求網(wǎng)絡(luò)和供給網(wǎng)絡(luò)，需求網(wǎng)絡(luò)指的是在一定范圍內(nèi)由生產(chǎn)、流通、消費等活動所引發(fā)物流需求的起止點及物品位移線路構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，供給網(wǎng)絡(luò)是由物流基礎(chǔ)設(shè)施及物流活動所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，為需求網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點和線路提供運輸、庫存、包裝及裝卸等物流服務(wù).隨著社會發(fā)展，需求網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)不同的狀態(tài)，供給網(wǎng)絡(luò)在實際運作中通常受到資源供給能力限制，從而不能為需求網(wǎng)絡(luò)提供高效的服務(wù).因此深入分析需求網(wǎng)絡(luò)的特性，建立與之相匹配的服務(wù)供給網(wǎng)絡(luò)，可有效地解決復雜的物流需求問題，提高經(jīng)濟效益和社會效益.

目前，學者們大都僅從供給的角度對物流網(wǎng)絡(luò)進行了探討研究，例如建立及設(shè)計物流服務(wù)網(wǎng)絡(luò)[2,3]，考慮節(jié)點選址及庫存決策[4,5]，優(yōu)化路徑選擇[6,7]等，以求得物流成本最小或收益最大.將需求與供給作為研究視角，在物流領(lǐng)域中并不多見，部分學者主要從宏觀角度分析了物流需求與供給之間的關(guān)系，相互影響因素等，其中王之泰[8]研究了物流供給與需求之間的矛盾及雙邊關(guān)系.李佳成等[9]將物流需求方看作用戶網(wǎng)絡(luò)，應(yīng)用自適應(yīng)運作機制研究物流網(wǎng)絡(luò)如何滿足用戶網(wǎng)絡(luò)需求的問題.在微觀層面上，張錦[10,11]定義了包含需求網(wǎng)絡(luò)與供給網(wǎng)絡(luò)的流線網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建了供給與需求的匹配度函數(shù)，建立了流線優(yōu)化模型，歸納了實際物流活動的一般規(guī)律，但沒有深入剖析需求網(wǎng)絡(luò)的需求特性和供給網(wǎng)絡(luò)的運作特征.

本文將通過考慮需求網(wǎng)絡(luò)的隨機需求、供給網(wǎng)絡(luò)的隨機供給狀態(tài)，以及服務(wù)過程的貨損等條件，構(gòu)建以物流供需廣義費用匹配期望值最大化為目標的優(yōu)化模型，然后將模型轉(zhuǎn)換為等價的變分不等式，設(shè)計改進的歐拉算法對模型進行求解和分析.

2 問題描述

超網(wǎng)絡(luò)是高于而又超于現(xiàn)存網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)，廣泛存在于供應(yīng)鏈、交通、物流等網(wǎng)絡(luò)中[12-14].本部分構(gòu)建了物流供需超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其包含需求網(wǎng)絡(luò)及供給網(wǎng)絡(luò)，如圖1所示，網(wǎng)絡(luò)中實線表示的是商品的流動通道，虛線表示的是供需匹配關(guān)系.在需求網(wǎng)絡(luò)中，終端客戶對商品的具體需求表現(xiàn)為對商品數(shù)量和到達時間上的要求，網(wǎng)絡(luò)向上游傳輸物流需求信息，將終端需求映射到網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點和線路上，節(jié)點和線路上反應(yīng)出此時此刻對商品在數(shù)量和時間具體要求.根據(jù)需求網(wǎng)絡(luò)的需求信息，供給網(wǎng)絡(luò)將商品向下游傳輸，使得兩個網(wǎng)絡(luò)中對應(yīng)節(jié)點和線路上需求與供給的物流廣義費用匹配，具體匹配應(yīng)包括數(shù)量上匹配及時間上的匹配.本文問題可以描述為：在隨機需求及隨機供給能力的狀態(tài)下，以供需匹配期望值最大為目標，建立物流超網(wǎng)絡(luò)模型，求得最佳的物流服務(wù)供給方案，來滿足需求網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點和線路的具體要求.

描述網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，G=[N,L]，其中N表示網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點集合，L表示網(wǎng)絡(luò)的連線集合，a,?a∈L表示網(wǎng)絡(luò)中任意相鄰節(jié)點間的連線，稱為物流通道，wk表示連接(Oi,Rk)i=1,…,I, k=1,…,K的物流序?qū)?h表示連接貨源地Oi到需求點Rk的線路,稱為物流鏈，Hwk連接物流序?qū)?Oi,Rk)i=1…,I, k=1,…K的所有物流鏈集合.

圖1 物流供需超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1 Logistics supply-demand supernetwork

3 供需匹配超網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型

3.1 模型假設(shè)

（1）用戶對商品的需求會考慮品牌和產(chǎn)地的差異性，使得需求帶有隨機性，終端的隨機需求折射到網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點和線路上，需求網(wǎng)絡(luò)整體表現(xiàn)為隨機性.

（2）物流供給網(wǎng)絡(luò)中每條通道供給能力受到設(shè)施設(shè)備和運載工具狀態(tài)影響而表示為隨機性.

（3）在物流供給服務(wù)中，由于人為因素及外在條件等原因，使得商品在運輸及儲存過程中受到某種程度損壞.

（4）物流需求廣義費用函數(shù)及供給廣義費用函數(shù)均為連續(xù)可導和二階導數(shù)有界凸函數(shù).

3.2 變量定義

Dk,k=1,…,K——需求網(wǎng)絡(luò)中終端客戶的商品需求數(shù)量，為隨機變量.

Dk=E(Dk), k=1,…,K——每個終端客戶的商品需求量期望值.

Yh,?h∈Hwk——需求網(wǎng)絡(luò)中物流鏈上的商品需求數(shù)量.

Qa, ?a∈L——需求網(wǎng)絡(luò)中每條物流通道上的商品需求數(shù)量，為隨機變量，Q為商品需求量集合.

E(Qa)=Qa, ?a∈L——需求網(wǎng)絡(luò)中每條物流通道上的商品需求期望數(shù)量，E(Q)為商品需求期望集合.

δah={0,1},?a∈L,h∈Hwk——需求網(wǎng)絡(luò)中物流鏈上的商品需求因子.

Ca(Qa), ?a∈L——需求網(wǎng)絡(luò)中每條通道上的商品需求費用，包括運輸需求費用、倉儲需求費用及配送需求費用.

Ta(Qa), ?a∈L——需求網(wǎng)絡(luò)中每條通道上的商品需求時間，包括運輸需求時間、儲存需求時間及配送需求時間.

dk, k=1,…,K——供給網(wǎng)絡(luò)中供給終端客戶的商品數(shù)量.

yh,?h∈Hwk——供給網(wǎng)絡(luò)中物流鏈上的商品供給數(shù)量.

qa, ?a∈L——貨損前，供給網(wǎng)絡(luò)中每條通道上的商品供給數(shù)量，q為商品供給量集合.

q', ?a∈L——貨損后，供給網(wǎng)絡(luò)中每條通道

a上的商品供給數(shù)量.

βa,?a∈L,βa∈[0,1)——供給網(wǎng)絡(luò)中物流通道上的貨損參數(shù).

βah,?a∈L,h∈Hwk——供給網(wǎng)絡(luò)中物流鏈上的商品供給因子.

μh,?h∈Hwk——供給網(wǎng)絡(luò)中終端客戶的商品供給因子.

ua,?a∈L——供給網(wǎng)絡(luò)中物流通道的供給能力，為隨機變量.

ua=E(ua) ,?a∈L——每條物流通道上的供給能力期望值.

ca(qa),?a∈L——供給網(wǎng)絡(luò)中每條通道上的商品實際供給服務(wù)費用，包括運輸供給費用、倉儲供給費用及配送供給費用.

ta(qa),?a∈L——供給網(wǎng)絡(luò)中每條通道上的商品實際供給時間，包括實際運輸時間、實際儲存時間及實際的配送時間.

πa(βa,qa) ,?a∈L——供給網(wǎng)絡(luò)中通道上貨物損失費用函數(shù).

3.3 目標函數(shù)

以供給滿足需求為目標，使得物流服務(wù)的供給廣義費用最大匹配客戶要求的物流需求廣義費用，考慮到需求隨機變量和供給能力隨機特性，建立超網(wǎng)絡(luò)供需匹配期望值最大化目標，目標函數(shù)如下：

Fa(Qa)為需求網(wǎng)絡(luò)中任意物流通道上的需求廣義費用，由需求時間及物流需求費用組成：

式中 χ1,χ2表示需求時間和需求費用的權(quán)重.

Φa(qa)為供給網(wǎng)絡(luò)中任意物流通道上的供給廣義費用，由供給時間、實際消耗費用及貨損費用組成：

式中 ω1,ω2,ω3為供給費用、供給時間及損失費用所占的權(quán)重.

3.4 約束條件

約束式（4）表示需求網(wǎng)絡(luò)中客戶對商品需求量Dk服從概率密度函數(shù) fk(x)的隨機變量；式（5）表示終端客戶商品需求量等于連接所有客戶的物流鏈上需求量之和；式（6）表示需求網(wǎng)絡(luò)中物流通道上商品需求量等于包括所有此通道的物流鏈上需求量之和；式（7）表示供給網(wǎng)絡(luò)中物流鏈與物流通道的商品供給因子之間關(guān)系，當此物流鏈包含具有貨損的通道時，物流鏈供給因子為,否則為δah；式（8）表示供給網(wǎng)絡(luò)中物流鏈與終端客戶商品供給因子之間關(guān)系；式（9）表示供給網(wǎng)絡(luò)中物流通道上貨損前與貨損后的商品供給數(shù)量關(guān)系；式（10）表示貨損后，物流鏈上實際供給數(shù)量與物流通道實際供給數(shù)量關(guān)系；式（11）表示貨損后，物流鏈上實際供給數(shù)量與終端客戶實際供給數(shù)量關(guān)系；式（12）表示物流通道供給能力ua服從概率密度函數(shù)?a(x)的隨機變量；式（13）表示物流通道商品實際供給量小于供給能力；式（14）表示自變量取值范圍.

4 模型轉(zhuǎn)化及算法設(shè)計

定理1由供需匹配期望值最大化函數(shù)式（1）及約束式（2）-式（14）構(gòu)成的隨機規(guī)劃模型為凸規(guī)劃模型.

證明由假設(shè)條件可知，物流需求廣義費用函數(shù)及供給廣義費用函數(shù)均為連續(xù)可微和二階導數(shù)有界凸函數(shù)，可知供需匹配期望值最大化目標式（1）為凸函數(shù)，又因等式約束式（5）-式（11）均為線性約束，不等式約束式（13）為凸式，則根據(jù)文獻[15]定理4.1，當含有隨機變量的目標函數(shù)和不等式約束式為凸函數(shù)，含隨機變量的等式約束為線性函數(shù)，則隨機規(guī)劃模型為凸規(guī)劃模型，因此本文所建隨機規(guī)劃模型為凸規(guī)劃模型，由于篇幅原因，具體證明過程不再給出.

又根據(jù)文獻[12]中的定理，凸規(guī)劃求解過程可以轉(zhuǎn)換為等價的變分不等式求解問題.首先將供需匹配期望值最大化目標轉(zhuǎn)換為

通過以上模型轉(zhuǎn)換，現(xiàn)證明上述變分不等式的解存在且唯一.

定理2如果變分不等式（16）中的函數(shù)是單調(diào)的且為Lipschitz連續(xù)，則變分不等式解存在且唯一.

證明

先前假設(shè)了目標中的所有函數(shù)為凸的和連續(xù)可微，由此得到式（17）中兩式均大于等于零，則變分不等式中的函數(shù)為單調(diào)的.因為目標中函數(shù)為二階導數(shù)有界函數(shù)，根據(jù)微分中值定理下式成立：

由上式可得到變分不等式為Lipschitz連續(xù)，故變分不等式（16）解存在且唯一.

求解算法本文通過改進歐拉算法對變分不等式(16)進行求解，歐拉算法是由Nagurney提出一種求解變分不等式的算法，具有良好的收斂性，并成功得到應(yīng)用[14]，其數(shù)學表達式為

式中 Pκ是投影在可行集κ的投影算子；F是變分不等式中的函數(shù)；τ為迭代的次序；{ατ} 是一個收 斂 的 序 列 ，即，當

本文對式(19)進行修正改進，下式為改進的歐拉算法：

采用改進的歐拉算法對變分不等式（16）進行求解計算，具體步驟如下：

步驟1初始化.

設(shè) (Q0,q0,λ0)∈K,設(shè) 0≤ατ≤1 L，L是 Lipschitz常數(shù).

步驟2計算.計算(Qτ,qτ,λτ)∈K,求解

步驟3修正，改進.

步驟4收斂驗證.如果?aτ∈L,ε＞0,停止計算，否則轉(zhuǎn)入第二步繼續(xù)計算，τ=τ+1.

5 算例求解和分析

為了便于分析，考慮簡單的一般性的物流網(wǎng)絡(luò)，如圖2所示，包括3個貨源供應(yīng)點、3個配送中心、3個需求終端.事實上，貨源供應(yīng)點、配送中心、終端客戶的個數(shù)可不受限制地被擴展至多個的情形，即本文所構(gòu)模型能支持復雜的物流網(wǎng)絡(luò)場景.圖2中每個網(wǎng)絡(luò)中有21條物流通道，連接每個終端客戶各有9條物流鏈，共27條物流鏈.

圖2 供需超網(wǎng)絡(luò)示例圖Fig.2 Supply and demand supernetwork network topology

假設(shè)需求網(wǎng)絡(luò)中的終端客戶的產(chǎn)品需求量在一段時間內(nèi)服從均勻分布X～U(a,b)，分布區(qū)間為[0，40]、[0，30]、[0，35].供給網(wǎng)絡(luò)中供給能力服從正態(tài)分布X～N(μ,σ2)，通道1-9的 μ的取值范圍為[5,14],σ2取值范圍為[1,4]，通道10-12的μ的取值范圍為[15,25],σ2取值范圍為[2,5]，通道13-21的μ的取值范圍為[6,12],σ2取值范圍為[3,6]，計算過程隨機選取 μ,δ2值.為保證參數(shù)設(shè)置的一般性意義，不考慮相關(guān)參量的單位.

為論述簡單，對物流需求費用函數(shù)Ca(Qa)、需求時間函數(shù)Ta(Qa)，供給物流費用ca(qa)，供給時間ta(qa)，損失函數(shù) μa(βa,qa)不進行具體設(shè)置，而直接給出廣義費用函數(shù)Fa(Qa),Φa(qa)的表達式，如表1所示.

首先假設(shè)在供給網(wǎng)絡(luò)的供給活動中，不存在貨品的損失，即βa=0,?a∈L，供給廣義函數(shù)中損失費用為0，此時，需求網(wǎng)絡(luò)的廣義費用函數(shù)與供給網(wǎng)絡(luò)的供給函數(shù)表達式相同，設(shè)f={Q,q}（見表1）.

應(yīng)用matlab2011（a）設(shè)計改進的Euler算法，在CPU2.53G，內(nèi)存2G的環(huán)境下進行計算，令，收斂精度為ε=0.000 1，經(jīng)過10 948次迭代，得出供給網(wǎng)絡(luò)與需求網(wǎng)絡(luò)的物流廣義費用匹配度為93%，每條線路上的廣義費用及匹配程度如圖3所示.需求網(wǎng)絡(luò)與服務(wù)供給網(wǎng)絡(luò)中每條物流通道的商品流量如表2所示.

表1 供需網(wǎng)絡(luò)中的廣義費用函數(shù)TTaabbllee 11 The total cost in the Supply-demand network

圖3 通道上物流廣義費用值及匹配程度Fig.3 Logistics total cost and matching degree of the links

表2 需求網(wǎng)絡(luò)與供給網(wǎng)絡(luò)中通道的商品流量TTaabbllee 22 The flow of product of the links

圖3中灰色代表需求廣義費用，其費用為2 262.93，黑色代表供給廣義費用，其費用為2 263.45，比需求費用增加了 0.52，從圖中可以看出通道11、16上的供需廣義費差值較大.從表2的數(shù)據(jù)上可以看出，通道11、16的商品需求量為20.01、8.17，供給量為18.89、7.00，由計算可得第11、16條通道隨機生成的供給能力為19、7.可見，供給網(wǎng)絡(luò)中物流通道上隨機生成的供給能力影響了商品供給量的分配，當隨機生成的供給能力較小時，某些通道上的商品供給量就不能滿足通道上的需求量，當隨機生成的供給能力較大時，某些通道上的商品供給量滿足了需求量，但廣義費用就會升高，因此應(yīng)盡量控制好通道上供給能力，使其很好地服務(wù)于需求，而又不產(chǎn)生浪費.表3為供給網(wǎng)絡(luò)中物流鏈的商品流量.

表3 服務(wù)供給網(wǎng)絡(luò)中物流鏈上的商品流量TTaabbllee 33 The flow of product of the paths in the supply netwwoorrkk

進一步假設(shè)供給網(wǎng)絡(luò)中商品會受到某種程度的損壞，部分通道的損失因子為βb={0.02,0.01,0.03,0.04,0.03,0.02,0.02}, b={2,6,9,14,15,21}

供給網(wǎng)絡(luò)通道2、6、9、14、15、21的廣義費用函數(shù)將增加商品損失費用，增加后的廣義費用函數(shù)如表4

所示.

表4 某些通道上供給廣義成本函數(shù)改變值TTaabbllee 44 The total cost of change of the some links

供給能力同樣隨機生成，經(jīng)過10 799次迭代，得出供給網(wǎng)絡(luò)與需求網(wǎng)絡(luò)的物流廣義費用匹配度為89%，明顯低于沒有貨損時的匹配值.每條線路的廣義費用及匹配度如圖4所示.

從圖4中明顯可以看出，產(chǎn)生貨損的物流通道上供給廣義費用要明顯高于需求廣義費用，其因為供給廣義費用增加了貨損費用，這些通道的匹配程度較低.此時商品通道的供給量如表5所示.

圖4 通道上物流廣義費用及匹配度Fig 4 Logistics total cost and matching degree of the links

由于通道上商品的損失，導致供給網(wǎng)絡(luò)的終端供給量不能滿足客戶的需求，終端客戶供給量分別為19.5、14.6、16.9，減少了0.5、0.4及0.6.

表5 物流服務(wù)供給網(wǎng)絡(luò)供給量TTaabbllee 55 The flow of product of the links in the supply netwwoorrkk

綜上分析，匹配物流需求網(wǎng)絡(luò)中通道上的廣義費用，可以優(yōu)化減少物流供給方案的運作成本，而資源能力的隨機生成使得物流供給方案并不能達到最優(yōu)效果，商品損失則會導致終端客戶需求量得不到滿足.因此在實際物流操作中，應(yīng)充分掌握物流基礎(chǔ)設(shè)施的供給能力，避免運輸過程中對商品帶來的損失，制定高效的運作方案，以充分滿足物流的需求.

表6 兩個優(yōu)化算法性能對比Table 6 Peerrformance comparison of two optimization algorithms

為了說明改進的歐拉算法的有效性，將改進的歐拉算法與歐拉算法對上述算例進行計算并比較分析，表6顯示了兩個算法性能和計算結(jié)果.從表中可以看出，無論是帶有貨損還是無貨損的算例，改進的歐拉算法在計算時間上都要快于歐拉算法，迭代次數(shù)上要少于歐拉算法.同時計算結(jié)果表明，改進的歐拉算法計算出的物流需求廣義費用與供給廣義費用值較貼近，供需匹配度較大.由此說明改進的歐拉算法在計算效率和效果上要好于歐拉算法.

6 研究結(jié)論

本文以供需廣義費用匹配期望最大為目標，隨機的供給能力及貨損為約束條件，建立了供需超網(wǎng)絡(luò)模型.通過算例計算分析得到，從供需的視角研究物流網(wǎng)絡(luò)問題可以有效地指導物流的全局運作，掌握經(jīng)濟領(lǐng)域中不同環(huán)節(jié)、不同層次、不同對象的具體供給和需求關(guān)系，最終滿足社會上的物流需要，同時達到降低物流成本的目的.未來研究中，將要考慮多品類的商品物流供需問題，以及針對具體的商品特性，如農(nóng)產(chǎn)品、血液及時尚服裝等，建立物流供需網(wǎng)絡(luò)模型，還將研究動態(tài)需求下的物流供需關(guān)系.

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Logistics Supernetwork Optimization Model with Stochastic Supply and Demand Characteristics

PENG Yong-tao,ZHANG Jin,WANG Kun
(School of Transportation and Logistics,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,china)

For providing increasingly complex logistics demand with specific logistics services,the structure characteristic of logistics superntwork is analyzed.The stochastic characteristics of demand network,stochastically changed of supply capacities under different conditions of facilities,and damage of product by operating on the supply network is considered.Using the idea of matching supply and demand,the supply and demand characteristics of the supernetwork model is established with the commodity supply and demand as variables,while damage and supply capacity as constraint conditions.The model is converted into a variational inequality,and design a solving method based on the modified euler algorithm.Though the numerical example,logistics supply program is optimized according to logistics demand of the links in the demand network,then it should provide quality of service and reduce cost of operation,as well as the uncertainty of supply capacity and the damage directly influence degree of match between supply and demand network.

logistics engineering;supernetwork;supply-demand matching;stochastic;variational inequalities

1009-6744（2014）02-0184-08

U11;F253

A

2013-9-26

2013-12-06錄用日期：2013-12-13

國家社科基金資助項目（11BJL054）.

彭永濤（1986-），男，河北邯鄲人，博士生.*通訊作者：zhjswjtu@swjtu.cn