不耐煩顧客強(qiáng)度為高次冪函數(shù)的M/M/C/N排隊(duì)模型

李厚朋， 冀 云， 付馨雨

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

1 模型假設(shè)

為了方便對(duì)多服務(wù)窗混合制M/M/C/N模型的研究，在此做以下假設(shè)：服務(wù)系統(tǒng)中有C個(gè)服務(wù)窗且系統(tǒng)容量為N(N>C)；各個(gè)服務(wù)臺(tái)間是相互獨(dú)立，且各服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間都服從參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布；記αk為具有不耐煩顧客離開(kāi)的概率，αk=knδ,δ≥0，k表示的是等待隊(duì)長(zhǎng)；顧客到達(dá)系統(tǒng)的時(shí)間間隔服從參數(shù)為λ的負(fù)指數(shù)分布。

2 數(shù)學(xué)模型

這里αk=knδ(δ>0)，k為排隊(duì)等待隊(duì)長(zhǎng)。其狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖1所示。

圖1 具有不耐煩顧客M/M/C/N 模型狀態(tài)流圖

3 平穩(wěn)分布

定理設(shè)X(t)為t時(shí)刻M/M/C/N系統(tǒng)中的顧客數(shù)，令

證明：則由上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖可以列出K氏方程，即：

由0狀態(tài)

由1狀態(tài)

C-1

由C狀態(tài)

λpC=(Cμ+δ)pC+1

?

所以

所以有：

4 主要指標(biāo)

由定理得到出了輸入率可變的M/M/C/N排隊(duì)模型中的轉(zhuǎn)移概率，再由平穩(wěn)分布便可得到系統(tǒng)主要指標(biāo)。

系統(tǒng)的損失概率p損：

系統(tǒng)的相對(duì)通過(guò)能力Q：

單位時(shí)間平均損失顧客人數(shù)λ1，平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)λe：

平均排隊(duì)等待隊(duì)長(zhǎng)：

平均隊(duì)長(zhǎng)：

Ls=Lq+L服=

根據(jù)Little公式，可得平均等待時(shí)間和可得逗留時(shí)間Ws:

5 總 結(jié)

本文將討論不耐煩顧客強(qiáng)度αk=knδ,δ≥0的多服務(wù)窗混合制M/M/C/N排隊(duì)模型。特別地，當(dāng)本文的參數(shù)取特殊值時(shí)就能得到文獻(xiàn)[1-3]中一系列結(jié)論，因此本文是其推廣和拓展。

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