關(guān)于不定方程x3±8=109y2

安 瑩， 郭鳳明

(西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715)

不定方程x3±8=Dy2(其中D是無平方因子的正整數(shù))是一類基本而重要的不定方程，對它已有不少研究工作.1942年，Ljunggren[1]證明了當(dāng)D不能被3或6k+1形的素因數(shù)整除時(shí)，方程最多只有一組正整數(shù)解.1981年，柯召、孫琦[2]進(jìn)一步證明了如果D滿足前述條件，并且如果D≡0，2，3(mod 4)時(shí)，方程x3+8=Dy2僅有整數(shù)解(x，y)=(-2，0)；如果D滿足前述條件，并且如果D≡0，1，2(mod 4)時(shí)，方程x3-8=Dy2僅有整數(shù)解(x，y)=(2，0).1992年，曹玉書、黃龍鉉[3]討論了D含有6k+1形的素因數(shù)使x3±8=Dy2僅有平凡解的情況；1995年，羅明[4]證明了x3-8=7y2僅有整數(shù)解(x，y)=(2，0)；x3+8=7y2僅有整數(shù)解(x，y)=(-2，0)，(-1，±1)，(10，±12).此處在上述基礎(chǔ)上利用同余式和遞歸數(shù)列方法討論不定方程x3±8=109y2在gcd(x，y)=1時(shí)的整數(shù)解.

1 主要結(jié)果

定理1 不定方程

x3+8=109y2，x，y∈Z

(1)

無滿足gcd(x，y)=1的整數(shù)解.

定理2 不定方程

x3-8=109y2，x，y∈Z

(2)

無滿足gcd(x，y)=1的整數(shù)解.

2 證 明

2.1 定理1的證明

若x≡0(mod 2)，則由式(1)有y≡0(mod 4)，這與gcd(x，y)=1矛盾，故x≡1(mod 2).

現(xiàn)設(shè)x≡1(mod 2)，此時(shí)(x+2，x2-2x+4)=1或3，不定方程(1)給出下列4種可能的分解：

情形Ⅰx+2=109a2，x2-2x+4=b2，y=ab.

情形Ⅱx+2=a2，x2-2x+4=109b2，y=ab.

情形Ⅲx+2=327a2，x2-2x+4=3b2，y=3ab.

情形Ⅳx+2=3a2，x2-2x+4=327b2，y=3ab.

以下分別討論這4種情況所給出的式(1)的整數(shù)解.

情形Ⅰ 解第2式得x=0，2，均不適合第1式.該情形無滿足不定方程(1)的整數(shù)解.

情形Ⅱ 由假設(shè)x≡1(mod 2)，所以由第1式得x≡3(mod 4)，再由第2式得b2≡3(mod 4)，這不可能.故該情形也無滿足不定方程(1)的整數(shù)解.

情形Ⅲ 將第2式化為(x-1)2+3=3b2，并將第1式代入得

b2-3(91a2-1)=1

(3)

(4)

因此有

91a2-1=sn，n∈N

(5)

但容易知道a≡1(mod 2)，故只需考慮sn≡0(mod 2).

容易驗(yàn)證sn滿足遞歸數(shù)列

sn+2=4sn+1-sn，s0=0，s1=1

(6)

可知當(dāng)n≡1(mod 2)時(shí)，sn≡1(mod 2)，矛盾.故只考慮n≡0(mod 2)的情況.

對sn的遞歸關(guān)系(6)取mod 91，得到剩余類序列周期為24，有表1.

表1 sn(mod 91)的遞歸關(guān)系表

而由式(5)得sn≡90(mod 91)，矛盾.故該情形也無滿足不定方程(1)的整數(shù)解.

情形Ⅳ 由假設(shè)x≡1(mod 2)，所以由第1式得x≡1(mod 8)，再由第2式得7b2≡3(mod 8)，這不可能.故該情形亦無滿足不定方程(1)的整數(shù)解.

綜上所述，可知不定方程x3+8=109y2，x，y∈Z，gcd(x，y)=1無整數(shù)解. 證畢.

2.2 定理2的證明

若x≡0(mod 2)，則由式(2)有y≡0(mod 4)，這與gcd(x，y)=1矛盾，故x≡1(mod 2).

現(xiàn)設(shè)x≡1(mod 2)，此時(shí)(x+2，x2-2x+4)=1或3，不定方程(2)給出下列4種可能的分解：

情形Ⅰx-2=109a2，x2+2x+4=b2，y=ab.

情形Ⅱx-2=a2，x2+2x+4=109b2，y=ab.

情形Ⅲx-2=327a2，x2+2x+4=3b2，y=3ab.

情形Ⅳx-2=3a2，x2+2x+4=327b2，y=3ab.

以下分別討論這4種情況所給出的式(6)的整數(shù)解.

情形Ⅰ 解第2式得x=0，-2，均不適合第1式.該情形無不定方程(2)的解.

情形Ⅱ 由假設(shè)x≡1(mod 2)，所以由第1式得x≡3(mod 4)，再由第2式得b2≡3(mod 4)，這不可能.故該情形也無滿足不定方程(2)的整數(shù)解.

情形Ⅲ 由假設(shè)x≡1(mod 2)，所以由第1式得x≡1(mod 8)，再由第2式得b2≡5(mod 8)，這不可能.故該情形亦無滿足不定方程(2)的整數(shù)解.

情形Ⅳ 將第2式化為(x+1)2+3=327b2，并將第1式代入得

109b2-3(a2+1)=1

(7)

由引理1知方程(7)的全部整數(shù)解由式(8)給出

(8)

綜上所述，不定方程x3-8=109y2，x，y∈Z，gcd(x，y)=1無整數(shù)解. 證畢.

參考文獻(xiàn)：

[1] LJUNGGREN W. Satze Uber Unbestimmte Gleichungen[J]. Skr Norske Vid Akad Oslo，1942(9)：53-55

[2] 柯召，孫琦.關(guān)于不定方程x3±8=Dy2和x3±8=3Dy2[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1981，18(4)：1-5

[3] 曹玉書，黃龍鉉.關(guān)于丟番圖方程x3±8=Dy2[J].黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1992，9(2)：1-5

[4] 羅明.關(guān)于不定方程x3±8=Dy2[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1995，12(3)：29-31

[5] WALKKER D T. On the Diophantine EquationmX2-nY2=±1[J].Amer Math Monthly，1967(74)：508-510