緊李群上的卷積

李 智 龍

(四川大學 數(shù)學學院，成都 610064)

1 Harr測度[1]

設(shè)G是一個緊李群，C(G ；C) 表示G上所有復(fù)值連續(xù)函數(shù)(配備 ∞ 范數(shù))，則存在唯一的 G×G 等變泛函 I ：C(G ；C) →C 滿足 I |C=idC且 I 連續(xù).

注1 以下為了方便，用C(G) 代替C(G；C).

引理1[2]L∞(G) ? L2(G) ? L1(G)，其中 Lp(G) 表示相對于G上的Harr測度 p 次Lebesgue可積函數(shù)空間(1≤p≤∞)，而且這些嵌入都是連續(xù)的.

2 緊李群上的卷積算子

定義1[2]設(shè)G是一個緊李群，φ∈C(G)，f∈L1(G)，則卷積φ*f 按如下方式定義

引理2[2]記Tφf=φ*f，則 Tφ是 L1(G) 上的有界算子，并且

‖Tφf‖∞≤‖φ‖∞‖f‖1

于是由引理 1，Tφ誘導(dǎo)了 L2(G) 上的一個有界算子.

引理4[3]設(shè) H 是一個可分Hilbert空間，A 是 H 上的緊自伴算子，則 H 可分解成A 的特征子空間的直和.

注3 Lp(G)是可分的 (1≤p<∞)，特別地，L2(G) 是可分Hilbert空間.

3 分解定理及例子

由上面的準備，立即得到下面的分解定理.

定理1 設(shè)G是一個緊李群，φ 是一個G上的復(fù)值連續(xù)函數(shù)，則

注4Peter-Weyl定理用矩陣函數(shù)給出了 L2(G) 的另一種分解方式，參見文獻[2].

例1 取φ=ψ=1，則定理 1 給出的分解式為

⊕

例2 設(shè)G = S1，則dθ/2π是G的Harr測度，令

⊕

這也是Peter-Weyl定理給出的分解.

參考文獻：

[1] HSIANG W Y. Lectures on Lie Groups，Series on University Mathematics[M]. Singapore：World Scientific，2000

[2] BUMP D. Lie Groups [M]. USA：Springer-Verlag，2004

[3] BREZIS H. Functional Analysis，Soblev Spaces and Partial Differential Equations [M]. USA：Springer，2011