基于LMIs的核電站蒸汽發(fā)生器水位控制策略研究

周道曦，吳 婕，馬曉茜

(1.華南理工大學 電力學院，廣東 廣州 510640；2.廣東省能源高效清潔利用重點實驗室，廣東 廣州 510640)

蒸汽發(fā)生器(SG)是核電站的重要設備，其水位控制對核電站的穩(wěn)定安全運行至關(guān)重要。近年來，已有學者運用不同控制手段對核電站SG的水位控制進行了研究[1-5]，但傳統(tǒng)線性建模及控制方案所遇到的主要困難來自于SG系統(tǒng)的不確定性、噪聲影響和負荷的大范圍變動帶來的不穩(wěn)定性。

H∞魯棒控制已被應用于SG水位控制[6-7]，其與PID控制相結(jié)合對于某些對象體現(xiàn)了較好的控制性能[8-9]，但其控制系統(tǒng)設計中仍有待完善的方面：基于精確模型的機組控制策略不能應對系統(tǒng)由于建模誤差或系統(tǒng)參數(shù)變化引發(fā)的不確定性。有學者在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，借助線性矩陣不等式(LMIs)實現(xiàn)了對控制對象的跟蹤控制[10-12]。跟蹤控制在使H∞魯棒控制快速追蹤設定值方面有較佳性能，但將跟蹤控制引入到SG的水位控制的研究較少。

線性系統(tǒng)的極點在復平面所處的位置決定了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)及動態(tài)特性。對于系統(tǒng)極點接近不穩(wěn)定區(qū)域的對象，極點配置法已被證明為一種有效的控制策略，且極點配置的可解性問題可等價于LMIs的可行性問題[13-15]。SG水位控制過程中出現(xiàn)的不穩(wěn)定性，其中一個重要原因在于系統(tǒng)的極點接近不穩(wěn)定區(qū)域，如何綜合利用極點配置和魯棒控制系統(tǒng)對具不確定性的SG水位進行設計，目前鮮有文獻報道。

本文針對具有一定不確定性的SG水位模型，通過分析其極點特性，借助LMIs設計狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器、基于極點配置的H∞控制器以及H∞跟蹤控制器，并借助Matlab的LMIs工具箱進行求解，在不同工況點下通過仿真對控制效果進行驗證和比較，得出不同典型工況點下控制策略的特性，旨為核電站蒸汽發(fā)生器水位控制策略的選擇提供參考。

1 核電站蒸汽發(fā)生器模型

針對Irving提出的SG水位簡化傳遞函數(shù)模型[1]：

(1)

上述大部分參數(shù)是隨著負荷變化的(表1)。

表1 SG模型參數(shù)在各穩(wěn)定工作點的取值

考慮系統(tǒng)不確定性，改寫式(1)為狀態(tài)空間方程：

(2)

式中：x(t)=[x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)]T為狀態(tài)變量；qe(t)為控制輸入(u(t))；qv(t)為擾動量；y(t)為SG水位；z(t)為控制輸出；w(t)為擾動輸入；A、B1、B2、C1、C2、D1、D2為系統(tǒng)矩陣，其表達式為：

其中：

a22=-1/τ2，a33=-2/τ1，

b21=-G2/τ2，b31=G3，

c11=-G1，c21=G2/τ2

ΔA和ΔB1代表系統(tǒng)中存在的不確定性，假定其具有如下形式[16]：

ΔA(t)=H1F(t)E1,ΔB1(t)=H2F(t)E2

(3)

式中：F(t)∈Rα×β為一未知函數(shù)矩陣，稱為不確定參數(shù)矩陣，滿足FT(t)F(t)≤I，I為適當維數(shù)的單位矩陣；H1、H2、E1、E2為具有適當維數(shù)的常數(shù)矩陣。

2 控制器設計

2.1 H∞魯棒狀態(tài)反饋控制器

本節(jié)目的是設計H∞魯棒狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kfx，使得對所有的不確定性，閉環(huán)系統(tǒng)

(4)

是漸進穩(wěn)定的，且對于給定的H∞魯棒性能指標正實數(shù)γ，有：

(5)

滿足上述要求的增益Kf稱為系統(tǒng)(2)的一個H∞狀態(tài)反饋控制律[11]。

將u(t)=Kfx代入式(2)即可得到式(4)。下面引出定理1。

定理1[17]對于閉環(huán)系統(tǒng)(4)，存在一個形如u(t)=Kfx的狀態(tài)反饋H∞控制器的重要條件是存在正定對稱矩陣X和矩陣Y，標量ε1>0、ε2>0，以及H∞性能指標γ，使得以下矩陣不等式：

(6)

成立(式中*表示矩陣的對稱元素)。若不等式存在可行解，狀態(tài)反饋H∞控制器增益為：

Kf=YX-1

(7)

引理 1[16]對于適當維數(shù)的常數(shù)矩陣H和E及對稱矩陣S，如果對于所有的F滿足FT(t)F(t)≤I，矩陣不等式為：

S+HFE+ETFTHT<0

(8)

成立的條件是：當且僅當存在一個標量ε>0，滿足：

S+εHHT+ε-1ETE<0

(9)

引理2[16](schur補定理) 對于給定的對稱矩陣：

式中，Φ12=Φ21，且Φ11、Φ22為對稱負定矩陣，則以下3個條件是等價的：

1)Φ11<0；

2.2 基于極點配置的H∞控制器

分析式(2)中矩陣A的極點，不難發(fā)現(xiàn)其比較接近復平面原點，這是SG水位控制較為復雜和困難的原因之一。

本節(jié)目的是設計基于極點配置的H∞狀態(tài)反饋控制器，將具有一定不確定性的SG系統(tǒng)的所有極點配置在復平面左半平面一給定的圓域中，以保證其具有一定的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能。

下面引入定理2。

定理2[13]如果存在一個正定對稱矩陣X和矩陣Y，以及正數(shù)ε1、ε2和ξ，滿足以下矩陣不等式：

(10)

引理3[13]考慮帶擾動的系統(tǒng)(4)，則每個系統(tǒng)特征值均位于O(d,r)內(nèi)的充分條件是不等式：

(A+B1Kp+dI)X+X(A+B1Kp+dI)T+

(11)

存在正定對稱的矩陣解X∈Rn×n，此時系統(tǒng)(4)是穩(wěn)定的且能實現(xiàn)極點配置。

在定理2中，d和r分別代表配置極點所在圓域與復平面原點的距離和圓域半徑，通過d和r的數(shù)值可確定系統(tǒng)極點所在圓域的大小。

2.3 H∞魯棒跟蹤控制器

由于H∞魯棒狀態(tài)反饋控制消除系統(tǒng)靜態(tài)誤差的性能較不理想，為改善控制器動態(tài)性能，本節(jié)將在2.1節(jié)的基礎上，采用系統(tǒng)狀態(tài)空間擴增維數(shù)的方法設計H∞魯棒跟蹤控制器[17]。同時，為便于比較控制效果，在2.1、2.2節(jié)提出的控制策略中均加入PID跟蹤控制器。

考慮具有一定不確定性的系統(tǒng)(2)并設y(t)為水位輸出信號，yref(t)為水位設定值，則閉環(huán)系統(tǒng)誤差的積分形式為：

(12)

在式(2)上擴增一維誤差積分項，可得到擴增后系統(tǒng)狀態(tài)方程的確定部分：

(13)

或縮寫為如下形式：

(14)

為使系統(tǒng)維數(shù)統(tǒng)一，方程中不確定參數(shù)常數(shù)矩陣H1、H2、E1和E2需相應擴增，擴增部分均為適當維數(shù)的零矩陣。

設Ki為擴增后的積分控制器增益，Kb為狀態(tài)反饋控制器增益，對擴增后的系統(tǒng)(10)按2.1節(jié)設計H∞魯棒狀態(tài)反饋控制器，控制輸入量形式為：

(15)

對應的跟蹤控制系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 SG的H∞魯棒跟蹤控制系統(tǒng)

至此，針對具有一定不確定性系統(tǒng)的H∞魯棒跟蹤控制器設計完畢。

3 仿真結(jié)果

以上3種控制策略，其參數(shù)的可解性問題均可轉(zhuǎn)化為LMIs的可行性問題，經(jīng)Matlab中包含的LMIs工具箱求解即可得到相應的控制增益。本節(jié)將基于表1所列的5個SG穩(wěn)定工作點驗證分析不同策略的控制效果。

本文利用Matlab的Simulink模塊進行仿真試驗，在試驗中，5%、15%、30%、50%和100%負荷穩(wěn)定工作點分別命名為1#～5#工況點。對于系統(tǒng)的不確定性所帶來的參數(shù)變動，設定為±5%，魯棒性能指標γ的取值在40～50之間變動。極點配置中參數(shù)r取值為10，d取值范圍在0.5～1之間變動。

試驗包括兩項內(nèi)容：水位跟蹤及定值擾動。在穩(wěn)定工作點參數(shù)下進行水位跟蹤試驗，設定水位在2 250 s時躍升500 mm，在跟蹤進行至3 000 s時令擾動量蒸汽流量由穩(wěn)定值躍升10%，借此考察不同控制策略的穩(wěn)態(tài)及動態(tài)性能。

1#～5#工況點水位控制效果示于圖2。

1#工況點下水位設定值躍升時，狀態(tài)反饋H∞控制(下稱魯棒控制)的響應速度在3種控制策略中最快，但其超調(diào)量較大，無法快速跟蹤水位設定值；極點配置魯棒控制(下稱極點控制)的響應速度與魯棒控制相比稍慢，也產(chǎn)生一定超調(diào)，但能快速跟蹤水位設定值，在3 600 s左右即穩(wěn)定在設定值；魯棒矩陣擴增跟蹤控制(下稱跟蹤控制)的響應速度在三者之中最慢，但其超調(diào)量在三者之中最小，過渡平穩(wěn)且無振蕩，在4 000 s時基本實現(xiàn)了對水位的跟蹤。在3 000 s時，可明顯看出定值擾動給極點控制和跟蹤控制下的水位帶來的波動，但此波動對水位的跟蹤影響較?。辉? 250～3 500 s范圍內(nèi)，魯棒控制下的水位一直處于振蕩狀態(tài)，故定值擾動給控制過程帶來的影響不明顯。當設定水位在4 250 s回到0 mm時，3種控制策略下的水位均出現(xiàn)了與3 250 s時相同的反向波動，這是因為給水流量忽然增大(減小)，SG內(nèi)汽水混合物內(nèi)能減少(增加)，導致體積暫時減小(增大)，水位反向變化?？煽闯觯咧懈櫩刂剖芩环聪蜃兓挠绊懽钚?。

在1#工況點，從穩(wěn)定性的角度，跟蹤控制在整個控制過程能平穩(wěn)跟蹤水位設定值，幾乎未產(chǎn)生超調(diào)量，是3種控制策略中較優(yōu)的；而從快速性的角度，跟蹤控制表現(xiàn)較優(yōu)。

在2#和3#工況點，隨著負荷的增加，定值擾動量相應增大，但不同策略表現(xiàn)出的特性與1#工況點基本一致。

在4#工況點，不同策略體現(xiàn)出的特性與低負荷時不同。當水位設定值躍升時，響應速度最快的是魯棒控制，其超調(diào)量及振蕩較大，水位反向變化也較大。跟蹤控制的響應速度較極點控制大，相應產(chǎn)生了較大的超調(diào)量。從時間上看，不同策略在接近4 000 s時，均能使水位穩(wěn)定在設定值；從動態(tài)性能看，不同策略在水位跟蹤的過程中產(chǎn)生了不同程度的振蕩，其中極點控制振蕩次數(shù)較少，超調(diào)量較小，動態(tài)性能較優(yōu)。在3 000 s時，定值擾動使魯棒控制產(chǎn)生了較大的振蕩，也使跟蹤控制下的水位產(chǎn)生了一定的振蕩，但極點控制受其影響較小，體現(xiàn)了較好的魯棒性。對于水位反向波動，極點控制也體現(xiàn)了較好的穩(wěn)定性。

圖2 1#～5#工況點水位控制效果

從穩(wěn)定性的角度，極點控制能平緩接近水位設定值，超調(diào)量較小，其控制性能在此工況點是3種控制策略中較優(yōu)的。

在5#工況點，定值擾動對水位的影響非常明顯，這是因為隨著負荷的上升，蒸汽流量增大，其擾動對水位的影響也逐漸增大。當水位設定值躍升時，響應速度從高到低依次為魯棒控制、極點控制和跟蹤控制。定值擾動使不同控制策略下的水位均產(chǎn)生了較大振蕩，魯棒控制與極點控制在3 800 s左右使水位穩(wěn)定在設定值，但跟蹤控制受擾動影響，在4 000 s尚未實現(xiàn)對水位的跟蹤。這說明當擾動增大到一定程度，跟蹤控制控制效果受到較大影響。

雖然極點控制在響應速度上稍慢于魯棒控制，但其超調(diào)量較小，受水位反向波動影響也較小；與跟蹤控制相比，極點控制在設定時間內(nèi)能快速跟蹤水位設定值。

綜合1#～5#工況的仿真結(jié)果可知，在低負荷工況(5%、15%、30%)下極點控制能較快跟蹤水位設定值，而跟蹤控制表現(xiàn)出了較優(yōu)的穩(wěn)定性，上述工況點的仿真結(jié)果較為一致，實際應用中可采用同種控制策略；在中等負荷(50%)工況，極點控制體現(xiàn)了較好的穩(wěn)定性和魯棒性；在滿負荷工況，定值擾動使水位產(chǎn)生了較大的振蕩，影響了跟蹤控制的控制效果，但極點控制仍表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性和魯棒性；魯棒控制表現(xiàn)出較好的快速性。

4 結(jié)論

本文針對核電站蒸汽發(fā)生器(SG)水位模型，在系統(tǒng)具有一定不確定性的前提下，利用線性矩陣不等式(LMIs)設計了狀態(tài)反饋H∞控制器，基于極點配置的H∞控制器以及H∞跟蹤控制器，并在5%、15%、30%、50%和100%負荷穩(wěn)定工作點考察了上述3種控制策略的特性。結(jié)果表明：在低負荷工況點，跟蹤控制表現(xiàn)出了較好的穩(wěn)定性和魯棒性；魯棒控制響應速度最快，但其穩(wěn)定性和魯棒性較為不足；極點控制在大多數(shù)工況點穩(wěn)定性和響應速度介于其余兩種控制策略之間，在中等及滿負荷工況穩(wěn)定性及魯棒性較優(yōu)。

參考文獻：

[1] TAN W. Water level control for a nuclear steam generator[J]. Nuclear Engineering and Design, 2011, 241: 1 873-1 880.

[2] ANSARIFAR G R, DAVILU H, TALEBI H A. Gain scheduled dynamic sliding mode control for nuclear steam generators[J]. Progress in Nuclear Energy, 2011, 53: 651-663.

[3] ANSARIFAR G R, TALEBI H A, DAVILU H. Adaptive estimator-based dynamic sliding mode control for the water level of nuclear steam generators[J]. Progress in Nuclear Energy, 2012, 56: 61-70.

[4] HU K, YUAN J. Multi-model predictive control method for nuclear steam generator water level[J]. Energy Conversion and Management, 2008, 49: 1 167-1 174.

[5] LIU C, ZHAO F Y, HU P, et al. P controller with partial feed forward compensation and decoupling control for the steam generator water level[J]. Nuclear Engineering and Design, 2010, 240: 181-190.

[6] SOHN J J, SEONG P H. A steam generator model identification and robust H∞controller design withυ-gap metric for a feedwater control system[J]. Annals of Nuclear Energy, 2010, 37: 180-195.

[7] HU K, YUAN J Q. On switching H∞controllers for nuclear steam generator water level: A multiple parameter-dependent Lyapunov functions approach[J]. Annals of Nuclear Energy, 2008, 35: 1 857-1 863.

[8] 金鑫,譚文,李志軍,等. 典型工業(yè)過程魯棒PID 控制器的整定[J]. 控制理論與應用,2005,22(6):947-953.

JIN Xin, TAN Wen, LI Zhijun, et al. Tuning of robust PID controllers for typical industrial processes[J]. Control Theory and Applications, 2005, 22(6): 947-953(in Chinese).

[9] 江瓊,陳懷民,吳佳楠. H∞魯棒控制與PID控制相結(jié)合的無人機飛行控制研究[J]. 宇航學報,2006,27(2):192-195.

JIANG Qiong, CHEN Huaimin, WU Jianan. Research on UAV flight control based on PID control and H∞r(nóng)obust control[J]. Journal of Astronautics, 2006, 27(2): 192-195(in Chinese).

[10] WU J, NGUANG S K, SHEN J, et al. Guaranteed cost non-linear tracking conrol of a boiler-turbine unit: An LMI approach[J]. International Journal of Systems Science, 2010, 41(7): 889-895.

[11] WU J, NGUANG S K, SHEN J, et al. Robust H∞tracking control of boiler-turbine systems[J]. ISA Transactions, 2010, 49: 369-375.

[12] 柳善建,劉西陲,沈炯,等. 基于模糊Lyapunov函數(shù)的機爐協(xié)調(diào)跟蹤控制器設計[J]. 中國電機工程學報,2013,33(11):96-103.

LIU Shanjian, LIU Xichui, SHEN Jiong, et al. Design of tracking controller for coordinated boiler-turbine control system based on fuzzy Lyapunov functions[J]. Proceedings of the CSEE, 2013, 33(11): 96-103(in Chinese).

[13] 聞繼偉,劉飛. 不確定線性切換系統(tǒng)的H∞魯棒控制和極點配置[J]. 東南大學學報:自然科學版,2008,38(增刊2):163-167.

WEN Jiwei, LIU Fei. H∞r(nóng)obust control of uncertain switched linear systems with pole location[J]. Journal of Southeast University: Natural Science Edition, 2008, 38(Suppl.2): 163-167(in Chinese).

[14] GUO X H, YANG G H. Non-fragile H∞filter design for delta operator formulated systems with circular region pole constraints: An LMI optimization approach[J]. Acta Automatica Sinica, 2009, 35(9): 1 209-1 215.

[15] 俞立,陳國定,楊馬英. 不確定系統(tǒng)的魯棒輸出反饋區(qū)域極點配置[J]. 控制理論與應用,2002,19(2):244-246.

YU Li, CHEN Guoding, YANG Maying. Robust regional pole assignment of uncertain systems via output feedback controllers[J]. Control Theory and Applications, 2002, 19(2): 244-246(in Chinese).

[16] MOHEIMANI S O R, PETERSEN I R. Guaranteed cost control of uncertain systems with a time-multiplied quadratic cost function: An approach based on linear matrix inequalities[J]. Automatica, 1998, 34(5): 651-654.

[17] 吳婕. 機爐協(xié)調(diào)系統(tǒng)的非線性控制研究[D]. 南京：東南大學,2010.