三種模型級(jí)聯(lián)的比較

張宇楠，曾 實(shí)

(清華大學(xué) 工程物理系，北京 100084)

同位素在生產(chǎn)與科研中的應(yīng)用日益廣泛，各種同位素的需求量也迅速增長(zhǎng)，尤其是利用目前最大規(guī)模和最經(jīng)濟(jì)的分離鈾同位素的離心法分離非鈾的穩(wěn)定同位素，推動(dòng)了多組分同位素分離級(jí)聯(lián)的研究。相對(duì)于理論已相當(dāng)成熟的雙組分分離級(jí)聯(lián)(特別是鈾濃縮級(jí)聯(lián))研究，多組分分離級(jí)聯(lián)這一領(lǐng)域還有很多亟待解決的問題，如在傳統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式中無法實(shí)現(xiàn)各級(jí)之間的交匯點(diǎn)處各組分豐度無混合，難以合理確定各級(jí)之間最合適的連接條件；在多組分分離中未能得到公認(rèn)的價(jià)值函數(shù)定義，難以利用價(jià)值函數(shù)和分離功率的概念分析和評(píng)價(jià)級(jí)聯(lián)的分離性能；一般形式的多組分分離級(jí)聯(lián)的計(jì)算牽涉到求解非線性方程組[1]，不方便進(jìn)行一般性的分析和研究。此外，在涉及生產(chǎn)實(shí)際時(shí)，由于對(duì)穩(wěn)定同位素的需求在量、種類、豐度方面的要求均不同，需建立不同的分離級(jí)聯(lián)并采用不同的運(yùn)行方式，而這成本高昂、費(fèi)時(shí)長(zhǎng)。故以真實(shí)實(shí)驗(yàn)的方式研究各種多組分分離不現(xiàn)實(shí)。

為解決這些問題，探索高效分離多組分同位素的方法，提出了模型級(jí)聯(lián)的概念。這些模型級(jí)聯(lián)是對(duì)一般形式的多組分分離級(jí)聯(lián)提出一些特殊的限制條件后得到的，它們通常具有相對(duì)簡(jiǎn)單的形式，易于計(jì)算，又能反映多組分分離級(jí)聯(lián)的一般規(guī)律和特性，因此可作為解析或數(shù)值分析級(jí)聯(lián)性質(zhì)的合適對(duì)象。模型級(jí)聯(lián)的一典型例子即雙組分分離的理想級(jí)聯(lián)，在大規(guī)模的鈾同位素分離實(shí)踐中得到檢驗(yàn)，目前仍在指導(dǎo)生產(chǎn)實(shí)際中發(fā)揮重要作用。然而，對(duì)于多組分分離，提出不同的要求可得到不同的模型級(jí)聯(lián)，如要求交匯點(diǎn)處來流中某兩組分的豐度比相等，則得到相對(duì)豐度匹配級(jí)聯(lián)[2](matched abundance ratio cascade，MARC)；要求各級(jí)的組分分流比相等則構(gòu)造出準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)[3]；而采用小分離系數(shù)、連續(xù)流量的假設(shè)則構(gòu)造出Q級(jí)聯(lián)[4-5]。

模型級(jí)聯(lián)無論對(duì)于實(shí)際級(jí)聯(lián)設(shè)計(jì)還是分離理論的研究均有重要作用。就前者而言，模型級(jí)聯(lián)可為實(shí)際級(jí)聯(lián)設(shè)計(jì)提供一參考。如Kolokol′tsov等[5]提出可用優(yōu)化后的Q級(jí)聯(lián)為模板，設(shè)計(jì)階梯級(jí)聯(lián)逼近Q級(jí)聯(lián)的形狀；宋天明等[6]通過優(yōu)化MARC分離Si同位素，證實(shí)其結(jié)果非常接近于直接優(yōu)化得到的最優(yōu)解，適合指導(dǎo)實(shí)際級(jí)聯(lián)的設(shè)計(jì)。事實(shí)上，直接對(duì)多組分分離級(jí)聯(lián)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，計(jì)算量很大，耗時(shí)很長(zhǎng)，通常選擇相對(duì)易計(jì)算的模型級(jí)聯(lián)給出一結(jié)果，再以此結(jié)果為初值或目標(biāo)，考慮各實(shí)際因素后，進(jìn)一步簡(jiǎn)化和優(yōu)化得到所需的實(shí)際設(shè)計(jì)方案，或分析實(shí)際情況中的缺陷。此外，模型級(jí)聯(lián)是分離理論研究的重要工具。如謝全新等[7]以準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)為模型，研究了存在多個(gè)供取料、有物料損失的級(jí)聯(lián)分離行為；Zeng等[8]也以Q級(jí)聯(lián)為模型進(jìn)行過類似的研究。實(shí)際上，無論是理想級(jí)聯(lián)、相對(duì)豐度匹配級(jí)聯(lián)，還是準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)或Q級(jí)聯(lián)，人們一直在努力探索最優(yōu)的分離級(jí)聯(lián)，以及最優(yōu)分離的物理本質(zhì)。鑒于理想級(jí)聯(lián)在指導(dǎo)鈾同位素分離的成功，模型級(jí)聯(lián)無論從理論和實(shí)驗(yàn)上均成為了同位素分離研究中的重要對(duì)象。

本文針對(duì)最常使用的三種模型級(jí)聯(lián)，即Q級(jí)聯(lián)、MARC級(jí)聯(lián)、準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)進(jìn)行分析，并對(duì)它們的背景以及關(guān)鍵參數(shù)、基本的分離特性等進(jìn)行總結(jié)介紹。以往的研究均發(fā)現(xiàn)這幾種模型級(jí)聯(lián)之間存在很大的相似性和聯(lián)系[1，9-10]，但不夠明確。本文擬通過較全面和系統(tǒng)的對(duì)比分析更明確地揭示其內(nèi)在的聯(lián)系，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)這些級(jí)聯(lián)的本質(zhì)，使對(duì)三種模型分別的研究工作能在一定程度上統(tǒng)一起來，避免或減少不必要的分析。

1 三種模型級(jí)聯(lián)

為在相同的條件下進(jìn)行對(duì)比研究，本文以傳統(tǒng)的雙管道逆流級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象。在級(jí)聯(lián)的兩端分別獲得精料流量P和貧料流量W，在中間某級(jí)引入供料流量F，如圖1所示。

圖1 連續(xù)流量級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)(a)和離散流量級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)(b)

1.1 Q級(jí)聯(lián)

Q級(jí)聯(lián)是一種連續(xù)流量的模型級(jí)聯(lián)(model cascade of continuous profile，MCCP)，它是從MCCP的一般模型出發(fā)，通過給定一組特征函數(shù)φi(l)的特殊形式得到的[4]。Q級(jí)聯(lián)的級(jí)數(shù)為實(shí)數(shù)，流量是級(jí)數(shù)的連續(xù)函數(shù)，因此稱其為連續(xù)流量級(jí)聯(lián)。MCCP的提出是為在弱分離的情況下，通過適當(dāng)簡(jiǎn)化，將多組分分離級(jí)聯(lián)離散形式的級(jí)間物質(zhì)輸運(yùn)關(guān)系轉(zhuǎn)化為微分形式，設(shè)法求解微分方程得到級(jí)聯(lián)連續(xù)形式的近似解。

假如引入一組特征函數(shù)φi(l)取代各組分的豐度Ci(l)，通過一些數(shù)學(xué)手段可將微分輸運(yùn)方程改寫成如下積分形式[5，11]：

貧化段

濃化段

(1)

對(duì)φi(l)的要求為：

(2)

為導(dǎo)出Q級(jí)聯(lián)，令：

(3)

其中，流量Q滿足：

Qi-Qj=εij

(4)

在此條件下，式(1)具有特別簡(jiǎn)單的形式，可得到：

i=1,2,…,NC

(5)

其中，SW、SP分別為Q級(jí)聯(lián)貧化段和濃縮段的長(zhǎng)度。

對(duì)于離心分離、擴(kuò)散分離，單級(jí)的分離系數(shù)滿足如下關(guān)系：

(6)

其中：γ0為單位摩爾質(zhì)量差的全分離系數(shù)；M為分子量?？紤]相對(duì)濃縮系數(shù)εij：

εij=lnγij=ε0(Mj-Mi)

(7)

其中，ε0=lnγ0為單位摩爾質(zhì)量差的濃縮系數(shù)，可作為衡量分離強(qiáng)弱的標(biāo)準(zhǔn)。

Q通常是人為給定的，因此，設(shè)：

Qi=ε0(M*-Mi)

(8)

其中，M*為虛擬組分分子量，數(shù)值給定。根據(jù)式(4)，有：

Qi∝ε0

(9)

由式(5)可知，決定Q級(jí)聯(lián)取料豐度的是QiSW和QiSP，若隨著ε0的變化，Q級(jí)聯(lián)的長(zhǎng)度SW和SP也相應(yīng)變化而使ε0SW和ε0SP不變，則級(jí)聯(lián)的各組分取料豐度就不會(huì)變化。對(duì)于Q級(jí)聯(lián)的流量分布也有類似的結(jié)論。

因此，ε0SW、ε0SP相等的Q級(jí)聯(lián)均可視為相似的，具有相似的豐度和流量分布，這也說明Q級(jí)聯(lián)模型不限于ε0遠(yuǎn)小于1的弱分離情況。

由于Q級(jí)聯(lián)計(jì)算簡(jiǎn)單，易于分析，為多組分分離級(jí)聯(lián)研究中最廣泛使用的模型之一，文獻(xiàn)[12-13]以Q級(jí)聯(lián)為模型討論了多組分分離級(jí)聯(lián)內(nèi)中間質(zhì)量組分的豐度分布規(guī)律與分離策略；文獻(xiàn)[11，14]則討論了Q級(jí)聯(lián)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。

1.2 MARC級(jí)聯(lián)

尋找實(shí)用的多組分同位素混合物的價(jià)值函數(shù)和分離功率的形式一直是研究的重點(diǎn)，眾多學(xué)者也提出了多種不同的價(jià)值函數(shù)定義形式，但均存在各自的問題而無法得到普遍的認(rèn)可。文獻(xiàn)[2]試圖通過考察三種組分分離的特殊情況，結(jié)合對(duì)價(jià)值函數(shù)一些實(shí)用性的要求得到適用于多組分混合物的價(jià)值函數(shù)定義：設(shè)想對(duì)于不同豐度組成的多組分混合物，定義一匹配函數(shù)，當(dāng)混合物的匹配函數(shù)值相等時(shí)，兩種混合物可任意混合而不產(chǎn)生總價(jià)值的變化。從這樣的思想出發(fā)，并借助一些數(shù)學(xué)上的推演，de la Garza等[2]得到了匹配函數(shù)與價(jià)值函數(shù)的關(guān)系，并給出了它們必須滿足的限制條件，當(dāng)選取關(guān)鍵組分的相對(duì)豐度R作匹配函數(shù)值時(shí)，得到了三組分情況下各級(jí)之間不因混合而產(chǎn)生價(jià)值損失的級(jí)聯(lián)形式。由于是以相對(duì)豐度作為匹配標(biāo)準(zhǔn)，因此稱為相對(duì)豐度匹配級(jí)聯(lián)，即MARC。后來又將MARC的概念和相應(yīng)的價(jià)值函數(shù)與分離功率定義推廣到更多組分的情況下[15]。

要確定一MARC的形式，必須事先定義兩種組分：關(guān)鍵組分，記為組分k；參考組分，記為組分n。在MARC的各級(jí)之間，要求匹配這兩種組分的相對(duì)豐度，即：

(10)

由于每個(gè)分離級(jí)的分離特性要求：

(11)

其中，αkn為兩種組分的濃化系數(shù)。結(jié)合式(10)，可知：

(12)

即MARC中的關(guān)鍵組分相對(duì)于參考組分是對(duì)稱分離的。根據(jù)式(10)、(12)以及各級(jí)質(zhì)量守恒：

(13)

可得式(14)[15]：

(14)

1.3 準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)

準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)是文獻(xiàn)[3]提出的，指各分離級(jí)的組分分流比φi為常數(shù)的離散級(jí)聯(lián)。

組分分流比的定義為：

(15)

(16)

顯然，βi=φi/(1-φi)，準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)的組分分流因子也保持為常數(shù)。

引入組分分流因子的概念可使多組分分離級(jí)聯(lián)的計(jì)算在形式上相對(duì)容易[17]，準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)的物質(zhì)輸運(yùn)關(guān)系可簡(jiǎn)化為：

(17)

(18)

(19)

其中，δsNf為Kronecker符號(hào)。

當(dāng)然，與Q級(jí)聯(lián)中的Qi相同，各組分的βi也不是任意的，必須滿足一定的約束關(guān)系。實(shí)際上，只要給定某組分(如關(guān)鍵組分)的組分分流因子，根據(jù)1個(gè)分離級(jí)的分離特性，可直接確定其余各組分的βi：

βi=γikβk

(20)

其中，k為關(guān)鍵組分的編號(hào)。應(yīng)注意，這一關(guān)系不僅限于準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)。

對(duì)式(17)、(18)、(19)的求解結(jié)果為：

(21)

準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)由于計(jì)算簡(jiǎn)單，也廣泛應(yīng)用于多組分分離研究中。

2 三種模型級(jí)聯(lián)之間的聯(lián)系

首先要指出的是，式(5)、(14)、(21)在形式上明顯類似或完全相同，說明三種級(jí)聯(lián)之間可能有深層的聯(lián)系。

以往的研究也涉及對(duì)三種模型之間的關(guān)系分析。文獻(xiàn)[1]從Q級(jí)聯(lián)出發(fā)，得到了兩種組分相對(duì)豐度匹配的條件，指出由此可將Q級(jí)聯(lián)得到的組分豐度分布、總流量等結(jié)論應(yīng)用于MARC。文獻(xiàn)[9]嘗試?yán)萌醴蛛x近似，證明Q級(jí)聯(lián)的組分分流比φi與準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)的均為常數(shù)，從而將二者歸為一類，但其推導(dǎo)方法在級(jí)聯(lián)長(zhǎng)度較長(zhǎng)的情況下并不合適，仍有待商榷。文獻(xiàn)[10]引入組分分流因子的概念簡(jiǎn)化三組分MARC的計(jì)算，但當(dāng)時(shí)尚未有準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)的概念，且也未進(jìn)一步推廣到更多組分的情況。

本文將在以往研究的基礎(chǔ)上，分析總結(jié)三種模型級(jí)聯(lián)之間的相似處以及相互關(guān)系，更系統(tǒng)地建立三者之間的聯(lián)系。

2.1 準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)與MARC

根據(jù)式(12)，MARC的任一級(jí)對(duì)于k、n兩組分均是對(duì)稱分離的，即：

(22)

根據(jù)組分分流因子的定義，有：

(23)

將式(23)代入式(22)，可得：

(24)

從另一角度看，對(duì)于準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)，根據(jù)式(20)，指定關(guān)鍵組分的βk，其余的組分分流因子就都確定了，由于只要求βk>0，因此，可令：

(25)

其他組分的組分分流因子可寫成：

(26)

因此，所有組分分流因子均可由M*確定。

對(duì)于MARC，由式(24)可知：M*=(Mk+Mn)/2。因此，MARC只是準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)的虛擬組分分子量取特定值時(shí)的一種特例。具體來說，M*取兩種組分分子量的算術(shù)平均值時(shí)，這兩種組分在各級(jí)之間滿足相對(duì)豐度匹配的條件，準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)就成為了一MARC。

2.2 準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)與Q級(jí)聯(lián)

準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)與Q級(jí)聯(lián)的相似之處可非常明顯地從式(5)、(21)中看到。假如作如下對(duì)應(yīng)：

SW→Nf，SP→N-Nf+1，βi→eQi

(27)

則兩種模型級(jí)聯(lián)的取料豐度的表達(dá)式完全一致。

進(jìn)一步可證明在一定近似下，Q級(jí)聯(lián)也同準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)一樣，具有常數(shù)的組分分流因子。以貧化段為例，在相鄰兩級(jí)之間，根據(jù)物質(zhì)輸運(yùn)關(guān)系，可得：

(28)

利用

(29)

(30)

另外，從Q級(jí)聯(lián)的積分輸運(yùn)方程(式(1))出發(fā)，可得到：

(31)

利用邊界條件

(32)

可求解式(30)，得到：

(33)

進(jìn)而可得：

(34)

一般，ε0?1，而Mi與M*相差不大，故|Qi|?1，由式(34)近似可得：

(35)

由式(29)、(31)、(35)，可知：

(36)

這說明在近似情況下，Q級(jí)聯(lián)的各組分分流因子恒定為常數(shù)，與準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)相同。

另外，在Q級(jí)聯(lián)中，同樣可引入類似于準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)的虛擬組分分子量M*。根據(jù)式(4)，考慮εij的定義，可知：

Qi-Qj=ε0(Mj-Mi)

(37)

根據(jù)式(8)，式(37)一定得到滿足。

M*對(duì)Q級(jí)聯(lián)和準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)均為重要的控制參數(shù)，其取值影響級(jí)聯(lián)的特性，因此，對(duì)Q級(jí)聯(lián)或準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)的優(yōu)化是針對(duì)M*進(jìn)行的。但本文重點(diǎn)是比較研究不同的級(jí)聯(lián)，優(yōu)化設(shè)計(jì)流程以及對(duì)M*參數(shù)范圍的設(shè)置可參考文獻(xiàn)[12，14]。從物理意義看，M*的取值決定了級(jí)聯(lián)對(duì)不同質(zhì)量組分的分離特性，這在文獻(xiàn)中有分析，但由于其非常重要，在下面對(duì)此稍加解釋。

在Q級(jí)聯(lián)中，對(duì)于輕組分，Qi>0，根據(jù)式(36)，βi>1；而對(duì)于重組分，βi<1，這也與準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)的規(guī)律一致。歸納起來，在準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)或Q級(jí)聯(lián)中，輕組分經(jīng)一個(gè)分離級(jí)后會(huì)更多地流向輕端，而重組分則相反，表明M*將所有組分劃為輕、重兩類，輕組分向著精料端被濃縮，而重組分向著貧料端被濃縮。但在精、貧料端獲得同樣的目標(biāo)組分豐度下，M*的取值影響級(jí)聯(lián)的總流量(各級(jí)入口流量之和)。為取得最好分離效益，希望用最小的總流量取得同樣的分離效果，這樣，M*就成為一優(yōu)化的參數(shù)，用來對(duì)MARC級(jí)聯(lián)[18]、準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)[19]或Q級(jí)聯(lián)優(yōu)化[11]。

Q級(jí)聯(lián)是一連續(xù)級(jí)聯(lián)，而準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)卻是離散的，二者之間不是嚴(yán)格的對(duì)等關(guān)系，但已可確定這兩種模型級(jí)聯(lián)具有相似的特性，可視為同一類級(jí)聯(lián)模型。

當(dāng)然，上面的分析也完全適用于描述Q級(jí)聯(lián)和MARC級(jí)聯(lián)之間的關(guān)系。

3 小結(jié)

雖然Q級(jí)聯(lián)是一連續(xù)級(jí)聯(lián)，無法與準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)完全等同，但分析可知，兩種級(jí)聯(lián)均可引入虛擬組分分子量M*，且其對(duì)于級(jí)聯(lián)的分離特性有相同的影響作用。更重要的是，與準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)類似，Q級(jí)聯(lián)的組分分流比在近似條件下可視為常數(shù)。認(rèn)為Q級(jí)聯(lián)和準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)是相似的級(jí)聯(lián)模型是合理的。

因此，可將這三種模型級(jí)聯(lián)歸為一種級(jí)聯(lián)，根據(jù)實(shí)際情況針對(duì)一種級(jí)聯(lián)進(jìn)行研究。

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