平行板間邊界層流體速度計(jì)算及差異分析

常青林

（中國海洋石油總公司工程建設(shè)部）

平行板間邊界層流體速度計(jì)算及差異分析

常青林

（中國海洋石油總公司工程建設(shè)部）

利用粘性流體相關(guān)理論并結(jié)合施利希廷平行管道邊界層研究成果，推導(dǎo)出了水平放置的平板間邊界層流體速度計(jì)算公式。在一定假設(shè)條件下利用斯托克斯定律對(duì)該公式進(jìn)行了驗(yàn)算，并對(duì)差異產(chǎn)生原因進(jìn)行了定性分析。結(jié)果表明，考慮邊界層條件時(shí)流體速度分布規(guī)律與理想流體明顯不同，考慮邊界層條件時(shí)油滴的實(shí)際運(yùn)移距離比理想狀態(tài)計(jì)算出的運(yùn)移距離長5%～7%，對(duì)除油效果有一定影響。因此在斜板除油器設(shè)計(jì)中應(yīng)充分考慮這種情況的影響。

平行板；邊界層流體速度；邊界層厚度；差異分析

斜板除油設(shè)備在海洋平臺(tái)生產(chǎn)水處理中多作為第一級(jí)處理裝置，用于分離生產(chǎn)水中大于50μm以上的浮離油。其基本原理是“淺層沉淀”，又稱“淺層理論”［1］，即在重力沉降器中放置若干個(gè)相互平行、間距相等的斜板以達(dá)到提高除油效率的目的。由于隔板本身也具有一定的厚度，隨著板間距的減小，板數(shù)增多，對(duì)有效分離容積會(huì)有較大的影響［2］。通常在設(shè)計(jì)時(shí)均假設(shè)流體為理想層流流動(dòng)，用斯托克斯定律計(jì)算待處理最小粒徑油滴到達(dá)上板的時(shí)間，并假設(shè)油滴到達(dá)上板即能夠被脫除。而根據(jù)粘性流體力學(xué)理論，流體流過兩平板之間時(shí)，速度不是恒定的。在最初一段距離內(nèi)，由于受到上下板之間的摩擦阻力，在板內(nèi)形成一個(gè)薄的邊界層；邊界層沿程增大，最后在某個(gè)位置相交，此后為具有拋物線形式作泊肅葉流動(dòng)。

在粘性流體理論中，平板間的理想層流速度與泊肅葉流動(dòng)速度均有準(zhǔn)確的解析解或近似解；而對(duì)于平板間邊界層厚度、速度以及邊界層內(nèi)速度分布的研究文獻(xiàn)較少。本文利用粘性流體相關(guān)理論結(jié)合施利希廷的上下平行的直流管道內(nèi)邊界層的研究成果，推導(dǎo)出了水平放置的平板間邊界層流體速度計(jì)算公式。在一定假設(shè)條件下用斯托克斯定律對(duì)公式進(jìn)行了驗(yàn)算，并定性分析了產(chǎn)生差異的原因。

1 基本理論

1.1 理想層流流動(dòng)

圖1 平行板間流體流場(chǎng)示意圖

流體在平行板間流動(dòng)，其流場(chǎng)示意圖見圖1。設(shè)來流沿x軸方向平行勻速流動(dòng)，速度為U0，y軸方向流體速度分量為0。假設(shè)介質(zhì)是連續(xù)的，不考慮粘性的影響，流體在平板間各點(diǎn)流動(dòng)都相同，這種流動(dòng)為理想層流流動(dòng)。油滴在層流狀態(tài)下以平均速度上升，上升速度按斯托克斯定律計(jì)算

式（1）中：voy為油滴垂直浮升速度，m／s；μ為流體粘度，Pa·s；ρw和ρo分別為流體和油滴的密度，kg／m3；d為油滴直徑，m。

油滴在x方向的流動(dòng)速度等于流體的水平流速，即Uox＝U0。如果板長為L，板間距為2a，當(dāng)粒徑為d的油滴的速度小于時(shí)，油滴能夠到達(dá)上板聚結(jié)被去除。

1.2 泊肅葉流動(dòng)

在粘性流體力學(xué)中，將單純由壓力梯度引起的管或槽中流體的流動(dòng)稱為泊肅葉流動(dòng)，是在流體進(jìn)入管或槽后經(jīng)過一定距離的流動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后形成的，可直接由納維-斯托克斯方程得出解析解

式（2）中：p為壓強(qiáng)，邊界條件為y＝a，u＝0；y＝－a，u＝0。在任意斷面處的平均流速為

如初始速度已知，上式可進(jìn)一步簡化，并用最大流速umax表示為

1.3 平板邊界層

邊界層是粘性流體中固壁面附近粘性起主導(dǎo)作用的薄層流體，在固壁面處速度為0，在很薄的厚度內(nèi)速度沿法線方向迅速達(dá)到層外流體的速度。如果在流速為U0的流體中放置一塊壁面光滑的平板，平板沿x方向無限長，則二維平面邊界層微分方程式可寫為

考慮邊界條件（即y＝0，u＝0，v＝0；y＝∞，u＝U0），經(jīng)過一系列計(jì)算，得出邊界層厚度計(jì)算公式為

式（7）中：δ為邊界層厚度，m；v為流體運(yùn)動(dòng)粘度，m2／s；K為系數(shù)。

邊界層內(nèi)外區(qū)域并沒有嚴(yán)格的分界面，因此劃分邊界層的外緣具有一定的任意性；一般是通過人為約定在縱向的流速與層外流速uo相差1%的地方，即ux＝0.99 uo處作為邊界層的外緣。由邊界層外緣到物面的垂直距離定義為邊界層的厚度［3］，不同的假設(shè)條件推導(dǎo)出的邊界層厚度計(jì)算公式的系數(shù)不同。例如：朱克勤、許春曉［4］推導(dǎo)的近似解系數(shù)是3.464；章榟雄、曾圖南［5］推導(dǎo)出的近似解系數(shù)為4.64；李玉柱、賀五洲［3］推導(dǎo)出的近似解系數(shù)為5.477。目前采用較多的是布拉修斯解，約等于5。分析認(rèn)為，邊界層公式在一定雷諾數(shù)Re范圍內(nèi)是適用的，計(jì)算與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果也是吻合的；但如果x很小，或當(dāng)Re小于100時(shí)，邊界層理論則不能適用了，也就是說邊界層在x＝0處是奇異的［6］。

由于邊界層的存在，流體流速受壁面摩擦的阻滯而降低，使得在此區(qū)域內(nèi)通過的流體流量較之理想流體流動(dòng)時(shí)所能通過的流量減少，相當(dāng)于固體壁面向內(nèi)“移動(dòng)”了一個(gè)小距離δ1，稱為位移厚度。δ1≈也就是約為系數(shù)5的1／3。

1.4 二維管道進(jìn)口段流體流動(dòng)

假設(shè)管道進(jìn)口斷面處流體流速均勻分布，即流速為U0，由于粘性流動(dòng)壁面的無滑移條件，上下壁面均將產(chǎn)生邊界層流動(dòng)，邊界層將沿程發(fā)展［3］，交匯于管道半高度處。

施利希廷利用級(jí)數(shù)展開方法［7］計(jì)算出在上下管壁互相平行的二維直管道中上下邊界層交匯于xc＝（見圖2），在此斷面后管道斷面流速形成具有拋物線流速分布形式的泊肅葉流動(dòng)；進(jìn)口段長度Le＝0.04（2a）Re，此處Re為以板間距2a為特征長度的雷諾數(shù)。上述研究成果也被其他學(xué)者的研究所證實(shí)，但僅適用于“很大雷諾數(shù)”情況，對(duì)于小雷諾數(shù)也是不適用的［5］。

圖2 二維管道進(jìn)口段流體流動(dòng)示意圖

與平板邊界層顯著不同的是，由于壁面影響邊界層內(nèi)流體流速降低而損失的流量將由管道中心處流速增加得到補(bǔ)償，上下壁面邊界層流體流動(dòng)是在外流為加速流的情況下發(fā)展的，任意截面處速度為常數(shù)，這部分流動(dòng)稱為勢(shì)流核，從板前緣至xc處為進(jìn)口段。邊界層沿x軸逐漸增厚，到達(dá)平板半高度a處重合，勢(shì)流核消失；此后變?yōu)榫哂袙佄锞€形式的泊肅葉流動(dòng)。

2 平板間邊界層流體速度計(jì)算及假設(shè)條件

2.1 邊界層流體速度計(jì)算

設(shè)流體質(zhì)點(diǎn)在二維平行平板勢(shì)流核內(nèi)由x1移動(dòng)到x2，根據(jù)上述理論和研究成果，可以得出Ux1＝常數(shù)1＜Ux2＝常數(shù)2，勢(shì)流核沿程加速流動(dòng)，至xc處速度增加到U。由式（4）和（5）式可知

平行平板間與一個(gè)平板上的邊界層厚度取值有所不同。由于勢(shì)流核內(nèi)任意斷面處流體速度為常數(shù)，在邊界層上的速度就等于勢(shì)流核內(nèi)的流動(dòng)速度。到達(dá)xc處形成泊肅葉流動(dòng)時(shí)，勢(shì)流核的速度達(dá)到最大，邊界層速度也達(dá)到最大，且數(shù)值相等。因此，邊界層速度可以不取外流速度的99%，邊界層厚度也不再是人為選取的值，而是一個(gè)相對(duì)清晰的界線。

將平板間流體流動(dòng)作為一個(gè)整體，根據(jù)質(zhì)量守恒定律和不可壓縮流體恒定總流的連續(xù)方程［2］，平板間各斷面處流體流量應(yīng)該相等。平板前緣處單寬流量q＝2aU0，設(shè)在進(jìn)口段x處勢(shì)流核速度為u（x），邊界層厚度為δ（x），邊界層上速度分布為ub（x），則在x斷面處勢(shì)流核內(nèi)的單寬流量為

上下兩板2個(gè)邊界層內(nèi)的流體單寬流量為

令q＝q1＋q2可得

由于δ與v、U0及x有關(guān)，而v、U0是固定的，因此u（x）是■x的函數(shù)。

2.2 邊界層厚度和邊界層內(nèi)流體速度分布的假設(shè)條件

由于泊肅葉流動(dòng)的速度分布為拋物線形式，為使勢(shì)流核內(nèi)邊界層內(nèi)流體流速與泊肅葉流動(dòng)的速度分布在xc處連續(xù)，假設(shè)其速度也是拋物線形式是比較合理的，可以保證在xc斷面處用邊界層速度分布公式和用泊肅葉流動(dòng)速度分布公式計(jì)算的各點(diǎn)處流體速度相等。因此，設(shè)邊界層內(nèi)的速度分布

則在x處，2個(gè)邊界層內(nèi)的單寬流量為

將式（10）代入式（8），得

在上述假設(shè)條件下，原本在平板邊界層內(nèi)的流量損失則在2板間通過勢(shì)流核和邊界層內(nèi)速度共同增加來補(bǔ)償。

3 油滴在平板間運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)值計(jì)算和差異分析

根據(jù)上述邊界層速度計(jì)算公式以及邊界層厚度和邊界層內(nèi)速度分布的假設(shè)條件，在保證流體流動(dòng)為層流時(shí)可以用斯托克斯方程計(jì)算油滴在平板間的運(yùn)動(dòng)軌跡。在層流流動(dòng)時(shí)，油滴在垂直方向勻速上升，在水平方向以與流體水平速度一樣的速度位移，在流體中形成位移軌跡，可以用來比較平板間不同流態(tài)油滴在各處速度的分布情況。

3.1 油滴在板間運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)值計(jì)算

計(jì)算模型選用長、寬各為1 m、板間距為0.03 m水平放置的兩塊平板；來流速度取0.01 m／s；運(yùn)動(dòng)粘度取常壓50℃時(shí)的數(shù)值，0.556×10－6m2／s；水密度取999 kg／m3；油滴密度取900 kg／m3。以水力半徑為特征值時(shí)，雷諾數(shù)2，小于層流臨界雷諾數(shù)值500；以板長為特征值時(shí)，Re＝U0L＝v 1.8×104，可以滿足流場(chǎng)層流和邊界層層流狀態(tài)條件（一般認(rèn)為平板邊界層保持層流的臨界雷諾數(shù)為3.5×105～3.5×106）。

將圖1中坐標(biāo)原點(diǎn)移到下板前端。圖3、4為油滴在平板間運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，可以看出：計(jì)算邊界層厚度的K值取2.5時(shí)，上下邊界層相交于xc＝0.647 482 m處；K值取5時(shí)，上下邊界層相交于xc＝0.161 871 m處（圖3）。在0～0.647 482 m內(nèi)為進(jìn)口段，速度由0.01 m／s增加到0.015 m／s；沿進(jìn)口段加速度則在板前緣突然增大，且隨x增大迅速減小（理論上在xc處加速度應(yīng)為0）；0.647 482～1 m區(qū)間內(nèi)為泊肅葉流動(dòng)。

圖3 不同板長及板間距時(shí)平板間邊界層厚度曲線

圖4 平板間邊界層流體的速度和加速度曲線

如圖5所示，從原點(diǎn)出發(fā)的油滴在理想層流流動(dòng)和泊肅葉流動(dòng)時(shí)初始速度為0，到達(dá)上板的時(shí)間和水平移動(dòng)距離都相同，只是運(yùn)動(dòng)軌跡不同。因此邊界層條件下油滴到達(dá)上板的差異只與理想層流流動(dòng)情況有關(guān)。

圖5 平板間理想流動(dòng)和泊肅葉流動(dòng)油滴位移軌跡

選油滴粒徑分別等于60、80、100μm計(jì)算油滴的位移軌跡，結(jié)果見圖6。可以看出，邊界層條件下，油滴到達(dá)上板的水平位移距離比理想狀態(tài)下的位移距離要長，直徑100、80μm油滴全部在進(jìn)口段內(nèi)位移，水平方向位移分別增加2.91%和3.37%；直徑60μm油滴穿過進(jìn)口段，在泊肅葉流動(dòng)段內(nèi)到達(dá)上板，水平位移距離增加5.92%。

3.2 差異分析

圖6 平板間理想和邊界層條件時(shí)油滴位移軌跡

為分析差異產(chǎn)生原因，可以通過調(diào)整參數(shù)人為將上下邊界層交匯點(diǎn)延長至平板的末端。如果只增加來流速度至0.015 44 m／s，而其他參數(shù)保持不變時(shí)，直徑60μm油滴在1 m距離內(nèi)不能到達(dá)上板，直徑100、80μm油滴水平位移距離分別增加2.91%和3.37%，與圖6中算例中的差異一樣，但水平位移距離的絕對(duì)值增加約6%（圖7）；如果只降低運(yùn)動(dòng)粘度至0.36×10－6m2／s，其他參數(shù)保持不變時(shí)，3種粒徑的油滴運(yùn)動(dòng)軌跡全部在勢(shì)流核內(nèi)（圖8），100、80、60μm油滴水平位移距離分別增加1.16%、2.68%和2.97%。

圖7 平板間進(jìn)口段流動(dòng)油滴位移軌跡（初始速度為0.015 44 m／s）

圖8 進(jìn)口段流動(dòng)油滴位移軌跡（運(yùn)動(dòng)粘度為0.36×10－6m2／s）

當(dāng)板間距由0.03 m增加到0.04 m時(shí)，直徑60μm油滴在1 m距離內(nèi)不能到達(dá)上板，直徑100、80μm油滴水平位移距離分別比理想流動(dòng)時(shí)增加2.6%和3.33%，比板間距為0.03 m時(shí)稍微有所減小，但水平位移距離絕對(duì)值增加25%（圖9）。

圖9 平板間油滴位移軌跡（板間距離為0.04 m）

通過上述算例分析可知，在層流狀態(tài)下，相同直徑的油滴垂直位移到上板的時(shí)間都相同，不同的是水平位移距離和軌跡。分析認(rèn)為，這種差異產(chǎn)生的主要原因?yàn)椋?/p>

1）邊界層與理想流場(chǎng)的差異。在靠近下板前緣附近，邊界層厚度比上板靠后附近的邊界層厚度要小很多，但水平方向速度卻大很多。油滴在進(jìn)口段運(yùn)動(dòng)時(shí)，水平方向位移差異隨油滴直徑減小而增大，造成的總體差異在3.5%以內(nèi)，無論怎樣給定初值，都不會(huì)對(duì)油滴到達(dá)上板的水平位移距離造成太大的影響。在泊肅葉流動(dòng)中，流動(dòng)是軸對(duì)稱的，所以在平行板間油滴的位移軌跡也對(duì)稱，與理想層流狀態(tài)下油滴到達(dá)上板的水平位移距離相等。

2）邊界層的幾何形狀與泊肅葉流動(dòng)的幾何形狀不同。盡管在一個(gè)平板上的邊界層厚度計(jì)算公式已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)證明，但其能否用于封閉的兩個(gè)平板間的邊界層厚度計(jì)算尚無定論。由于邊界層厚度的連線是拋物線形式，且拋物線的開口朝向x軸遠(yuǎn)端（圖3），而在邊界層相交點(diǎn)的泊肅葉流動(dòng)區(qū)域的拋物線開口朝向x軸前端（圖1），這種幾何形狀上的不同可能會(huì)造成計(jì)算邊界層內(nèi)速度時(shí)存在一定差異。因此與實(shí)際斜板裝置計(jì)算可脫除油滴直徑相比，考慮邊界層條件時(shí)油滴的實(shí)際運(yùn)移距離比理想狀態(tài)計(jì)算出的運(yùn)移距離長5%～7%，對(duì)除油效果有一定影響，因此在斜板除油器設(shè)計(jì)中應(yīng)充分考慮。

4 結(jié)論與建議

1）根據(jù)施利希廷平行管道邊界層研究成果推導(dǎo)出了計(jì)算平板間邊界層流體速度的公式，此公式符合粘性不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程。即使勢(shì)流核內(nèi)斷面速度由于邊界層慢速的影響而存在不是常數(shù)的可能，只要差異不大，也可以近似地使用。

2）考慮邊界層條件時(shí)流體速度分布規(guī)律與理想流體明顯不同，靠近下板前緣附近的邊界層厚度比上板后部的邊界層厚度要小很多，但水平方向流體的速度卻大很多。無論邊界層厚度連線是什么形式，原點(diǎn)和上下邊界層的交點(diǎn)的位置是相對(duì)固定的，這種流場(chǎng)速度分布的總趨勢(shì)是一致的。建議在以后設(shè)計(jì)和研究中，應(yīng)充分考慮邊界層流場(chǎng)特征，揚(yáng)長避短，利用后部“慢速”的水平流動(dòng)特征，在保證層流條件下優(yōu)化板組的結(jié)構(gòu)。

［1］ 段明，王虎，張健，等．旅大10-1平臺(tái)污水效果影響因素分析［J］．中國海上油氣，2010，22（6）：420-423．

［2］ 戚俊清，劉亞莉，許培援，等．斜板沉降器板間距對(duì)處理負(fù)荷的影響［J］．鄭州輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1999，14（4）：51-55．

［3］ 李玉柱，賀五洲．工程流體力學(xué)：上冊(cè)［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2011．

［4］ 朱克勤，許春曉．粘性流體力學(xué)［M］．北京：高等教育出版社，2009．

［5］ 章榟雄，董曾南．粘性流體力學(xué)［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2011．

［6］ 郭永懷．邊界層理論講義［M］．北京：中國科技大學(xué)出版社，2008．

［7］ HERNMANN S．Boundary-layer theory［M］．McGraw-Hill Book Company，1979：185-186．

Fluid velocity calculation in boundary layer and difference analysis between two parallel plates

Chang Qinglin
（Engineering Department of CNOOC，Beijing，100010）

A fluid velocity formula in boundary layer between two horizontal parallel plates is derived based on relative theory of viscous fluid mechanics and research of Schiliting H．a(chǎn)bout flow in a inlet length of a straight channel．On some given assumptions，we checked computations with the motion law of Stokes of oil droplets and analyzed the reason of the differences．The Calculations show that the flow is different between the cases of boundary layer and ideal laminar．The former horizontal movement distance of oil droplets is 5%～7%longer than those in ideal laminar conditions．It will decrease the oil removal efficiency and should be taken into consideration in the design of inclined plate separator．

parallel plates；fluid velocity of boundary layer；thickness of boundary layer；difference analysis

2013-04-24改回日期：2013-06-02

（編輯：葉秋敏）

常青林，男，高級(jí)工程師，1986年畢業(yè)于原武漢地質(zhì)學(xué)院石油及地球物理勘探專業(yè)，現(xiàn)主要從事工程項(xiàng)目管理工作。地址：北京市東城區(qū)朝陽門北大街25號(hào)（郵編：100010）。電話：010-84521456。