資源型產(chǎn)業(yè)可持續(xù)發(fā)展的動(dòng)力學(xué)模型分析

顧恩國,秦文釗,張梅娜

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074)

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,全球資源的壓力越來越大.資源型產(chǎn)業(yè)主要立足于自然資源,依賴自然資源的消耗來實(shí)現(xiàn)成長,要實(shí)現(xiàn)資源型產(chǎn)業(yè)的可持續(xù)發(fā)展,就應(yīng)該對過去傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)增長模式做出根本變革,因此對自然資源進(jìn)行有效合理利用,以及對資源環(huán)境的治理工作,對資源型產(chǎn)業(yè)的可持續(xù)發(fā)展尤為重要[1].近年來有關(guān)可持續(xù)發(fā)展的問題引起許多學(xué)者的關(guān)注,文獻(xiàn)[2]對當(dāng)前研究可持續(xù)發(fā)展的模型進(jìn)行了一個(gè)總結(jié),而文獻(xiàn)[3]給出了評價(jià)可持續(xù)發(fā)展的決策模型,文獻(xiàn)[4]基于動(dòng)力學(xué)模型研究了環(huán)境保護(hù)投資與經(jīng)濟(jì)增長之間的關(guān)系,文獻(xiàn)[5]應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型研究了資源與經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展之間的關(guān)系.研究表明,要實(shí)現(xiàn)資源型產(chǎn)業(yè)的可持續(xù)發(fā)展,不能只追求產(chǎn)量的增長,而要將資源與產(chǎn)量相結(jié)合,尋求二者的協(xié)調(diào)發(fā)展.

本文在文獻(xiàn)[5]提出模型的基礎(chǔ)上,應(yīng)用動(dòng)力學(xué)模型研究可再生資源與產(chǎn)量的關(guān)系,主要討論資源型產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)量對資源可持續(xù)利用(表示為平衡態(tài)的局部穩(wěn)定性)的影響,尋求既能夠滿足資源型產(chǎn)業(yè)的發(fā)展要求又能使資源不枯竭的產(chǎn)量的范圍,并弄清在給定產(chǎn)量下當(dāng)前資源存量在什么范圍才能保持資源不枯竭.能維持資源不枯竭的當(dāng)前資源存量范圍在非線性動(dòng)力學(xué)中被稱為可行吸引域[6,7].

1 模型的建立

可再生資源各階段存量的變化受資源開發(fā)量、資源自然恢復(fù)量及資源投資恢復(fù)量的影響,據(jù)此,陳明義等人在文獻(xiàn)[5]中建立資源存量的動(dòng)態(tài)方程:

S(t+1)=S(t)+G(φ·y(t))+J(S(t))-

R(y(t)).

(1)

其中S(t+1)(S(t+1)≥0，S(0)>0)和S(t)分別代表t+1和t時(shí)刻的資源存量,y(t)(y(t)>0)為總產(chǎn)量,G(φ·y(t))為資源投資恢復(fù)量,它是資源投資量的函數(shù),φ>0為資源投資量與總產(chǎn)量的比,J(S(t))是資源自然恢復(fù)量,它是資源存量的函數(shù),R(y(t))是資源開發(fā)量,它是總產(chǎn)量的函數(shù).

假設(shè)J、G、R函數(shù)如下:

(2)

(2)式中α>0為Holling type Ⅱ函數(shù)的半飽和常數(shù)[8],β>0為資源飽和投資恢復(fù)量,a,b為使得資源自然恢復(fù)量為零的資源存量,且0≤a0,表示資源此時(shí)具有自我恢復(fù)能力,若a,b較小表明資源儲量在較少時(shí)可以恢復(fù),若a,b較大表明資源儲量較高時(shí)才能恢復(fù).μ>0為資源開發(fā)速度.假定用于恢復(fù)資源的投資量占總產(chǎn)量的比例保持不變,綜合方程(1),(2),得到資源—總產(chǎn)量的一維離散動(dòng)力學(xué)模型：

S(t+1)=-S2(t)+(a+b+1)S(t)-ab+

(3)

2 正不動(dòng)點(diǎn)的存在性及其穩(wěn)定性分析

2.1 正不動(dòng)點(diǎn)的存在性

離散動(dòng)力系統(tǒng)(3)可以改寫為：

S(t+1)=-S2(t)+(a+b+1)S(t)-

ab+v(y),

(4)

S(t+1)=S(t),

(5)

令不動(dòng)點(diǎn)為S,把S帶入(5)式,有：

S2-(a+b)S+ab-v(y)=0,

(6)

因此系統(tǒng)(4)的不動(dòng)點(diǎn)是方程(6)的解.

記Δ=(a-b)2+4v(y),我們可以得到下面的定理1.

定理1

2.2 正不動(dòng)點(diǎn)的局部穩(wěn)定性及分叉

由映射動(dòng)力系統(tǒng)理論[8]知,(4)式可以寫成映射動(dòng)力系統(tǒng)的形式:

S′=f(S)=-S2+(1+a+b)S-ab+v(y).

(7)

系統(tǒng)(7)在不動(dòng)點(diǎn)S*處的局部穩(wěn)定性主要取決于|f′(S*)|,其中f′(S)=-2S+(1+a+b).

下面討論定理1中正不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性.

因此不動(dòng)點(diǎn)S2是漸近穩(wěn)定的.

定理2

2.3 使資源存量S穩(wěn)定到固定值的產(chǎn)量y的閾值

本段將研究使資源存量S穩(wěn)定在固定值的產(chǎn)量y的閾值,即具體給出當(dāng)a+b>2和a+b≤2時(shí)，由定理2給出的正不動(dòng)點(diǎn)S2存在且是漸近穩(wěn)定的產(chǎn)量y的變化范圍.

(8)

求出y的范圍,其中a,b,α,β,φ,μ,y均大于零.

(9)

的解.方程(9)可化為：

Dy3+ADy2+(C-B)y+AC=0,

(10)

此三次方程有3個(gè)實(shí)根,其中必有一個(gè)正根y1,解得：

(11)

E=(4C3-12C2B+8C2A2D+12CB2+

20CBA2D+4CA4D2-4B3-B2A2D)/D.

圖1 函數(shù)h1(y)和h2(y)的草圖Fig.1 Draft of function h1(y) and h2(y)

(12)

當(dāng)y≥y2時(shí)，h2(y)≤h4(y).

綜上所述,得到定理3.

定理3

(1) 假設(shè)a+b≤2且β

(2) 假設(shè)a+b>2且b-a>2,當(dāng)y2≤y

E=(4C3-12C2B+8C2A2D+12CB2+

20CBA2D+4CA4D2-4B3-B2A2D)/D.

20C1BA2D+4C1A4D2-4B3-B2A2D)/D.

定理3說明,當(dāng)資源較易恢復(fù)時(shí)(a+b≤2)，資源可持續(xù)利用的閾值范圍(0,y1)遠(yuǎn)比資源較難恢復(fù)時(shí)(a+b>2)的閾值范圍(y2,y1)大,即對于資源型產(chǎn)業(yè),如果依賴的是較易恢復(fù)的資源類型,則較易實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展.

2.4 系統(tǒng)(4)關(guān)于產(chǎn)量y的一維分叉圖

為了驗(yàn)證定理3,不妨令初始時(shí)刻資源存量S(0)=1.5,我們得到系統(tǒng)(4)的資源存量關(guān)于產(chǎn)量的分叉圖，見圖2.

在圖2(a)中, 設(shè)系統(tǒng)參數(shù)為a=0.02,b=1.9,α=0.2,β=0.03,μ=0.1,φ=0.02,此時(shí)a+b=1.92<2且β

在圖2(b)中, 系統(tǒng)參數(shù)為a=0.25,b=2.98,α=0.2,β=0.9,μ=0.1,φ=0.02,此時(shí)a+b=3.23>2且b-a=2.73>2,由定理3得出y1=4.6349,y2=3.2959,當(dāng)3.2959

圖2 資源存量S關(guān)于總產(chǎn)量y的分叉圖Fig.2 Bifurcation diagram for resource stock S with respect to production y

3 系統(tǒng)(4)可行吸引域、吸引子及吸收區(qū)間

本段討論在給定資源型產(chǎn)業(yè)產(chǎn)量水平下,當(dāng)前資源存量是否滿足可持續(xù)發(fā)展,即資源經(jīng)過若干年演變后是否會(huì)枯竭的問題.我們可以通過研究系統(tǒng)正平衡態(tài)的可行吸引域來確定.在此將利用文[7]中有單極值點(diǎn)的不可逆映射理論,研究可行吸引域結(jié)構(gòu)隨控制量y變化時(shí)所產(chǎn)生的全局分叉,通過給定不同產(chǎn)量水平y(tǒng),分別確定滿足可持續(xù)發(fā)展的當(dāng)前資源存量范圍即可行吸引域,從而為管理者監(jiān)控資源提供參考.

圖3給出了吸引子的可行吸引域,交點(diǎn)為正不動(dòng)點(diǎn),x軸上的藏青色區(qū)間為系統(tǒng)的可行吸引域,在x軸上的紅色點(diǎn)(不動(dòng)點(diǎn)或周期點(diǎn))或線段(混沌)為系統(tǒng)的吸引子(即資源演化的最終狀態(tài)),洋紅色線段為系統(tǒng)的不可行吸引域，即資源最終枯竭的資源存量范圍.

圖3(a)、(b)中除y外其余參數(shù)均相同為a=0.25,b=2.98,α=0.2,β=0.9,μ=0.1,φ=0.02.并且圖3中以關(guān)鍵點(diǎn)C及其一階像C1組成的區(qū)間[C1,C]為吸收區(qū)間[7].

圖3 正不動(dòng)點(diǎn)、吸引子、可行吸引域Fig.3 The positive fixed points, attractors, feasible domain of attraction

4 結(jié)語

本文利用非線性動(dòng)力系統(tǒng)理論研究了資源型產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)量對可再生資源可持續(xù)利用的影響,建立了可再生資源的離散動(dòng)力學(xué)控制模型,在此基礎(chǔ)上,首先應(yīng)用非線性分析給出了系統(tǒng)正不動(dòng)點(diǎn)的存在性、局部穩(wěn)定性條件,然后給出了資源存量S穩(wěn)定到固定值時(shí)產(chǎn)量y的范圍,并且利用數(shù)值模擬方法進(jìn)行了驗(yàn)證,最后給出了可行吸引域隨產(chǎn)量變化的全局分叉.研究表明:對依賴易恢復(fù)資源的資源型產(chǎn)業(yè)較易實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展;反之要特別注意控制企業(yè)的生產(chǎn)規(guī)模，即產(chǎn)量應(yīng)保持在一定范圍才能保證資源的可持續(xù)利用,如果過度生產(chǎn),會(huì)造成資源的不可再生甚至枯竭.在某些情況下(如a+b>2),如果總產(chǎn)量過小,資源可能不能穩(wěn)定到某一固定值,可能會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)波動(dòng),吸引子與吸引域的距離也變得較近(如圖3(b)),此時(shí)系統(tǒng)抗干擾能力也較差,不利于資源可持續(xù)利用.

參 考 文 獻(xiàn)

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