高階緊致格式在非線性數(shù)值模擬中的應(yīng)用

呂 紅，趙士奇，卜 忱

(1.中航工業(yè)空氣動力研究院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.中國船舶重工集團(tuán)公司，北京 100097)

高階緊致格式在非線性數(shù)值模擬中的應(yīng)用

呂 紅1，趙士奇2，卜 忱1

(1.中航工業(yè)空氣動力研究院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.中國船舶重工集團(tuán)公司，北京 100097)

對比分析迎風(fēng)型格式及中心耗散格式優(yōu)劣性，采用傅里葉分析方法分析顯式格式及緊致格式在波數(shù)空間可準(zhǔn)確模擬的波數(shù)范圍。通過編程研究6種緊致格式，其中為保證緊致格式在內(nèi)點及邊界點的一致性，采用高精度邊界格式，加入了濾波運算和采用更小的CFL數(shù)來控制緊致格式的穩(wěn)定性。數(shù)值試驗表明，中心緊致格式有更小的耗散誤差及色散誤差；通過4階Pade格式計算模型繞流，驗證了邊界處理的正確性，也更加認(rèn)識到緊致格式有非常嚴(yán)格的穩(wěn)定性限制。

數(shù)值模擬；高階緊致格式；濾波運算；4階Pade格式

0 引 言

對于一般工程問題，如海洋中船舶的繞流問題，二階精度格式被大多數(shù)CFD應(yīng)用所接受。可是由于所需求解問題日趨復(fù)雜，很多問題要求所用數(shù)值方法對流場特性有更強(qiáng)的模擬能力(如艦載機(jī)起飛降落和艦載機(jī)的典型機(jī)動狀態(tài)的模擬),這就需要提高數(shù)值解的分辨能力，給出質(zhì)量更高的流場解。解決這一問題可以通過2種方式來實現(xiàn)，一是通過網(wǎng)格技術(shù)來實現(xiàn)；二是建立高精度的格式。但對于艦載機(jī)等戰(zhàn)斗機(jī)的非定常多尺度復(fù)雜流場的模擬，單利用網(wǎng)格技術(shù)解決該問題也存在較大困難。這就需要發(fā)展更高階精度的格式，要求數(shù)值方法既能描述大尺度的宏觀結(jié)構(gòu)，又能正確反映出小尺度流動結(jié)構(gòu)的影響。本文編程實現(xiàn)6種緊致格式，采用單波傳播、單渦傳播計算分析不同格式的耗散特性。數(shù)值試驗表明：中心緊致格式有更小的耗散誤差及色散誤差。最后采用四階Pade格式計算翼型繞流，從而驗證了邊界處理的正確性，也更加認(rèn)識到緊致格式有非常嚴(yán)格的穩(wěn)定性限制。

1 數(shù)值方法

曲線坐標(biāo)系下的控制方程為：

(1)

(2)

其中：

2 傅里葉分析及緊致格式

分析差分格式誤差經(jīng)常采用的傳統(tǒng)方法是截斷誤差分析，截斷誤差以網(wǎng)格尺度為參考尺度，給出物理導(dǎo)數(shù)與其差分近似之間誤差的量級估計。通常截斷誤差與流場梯度相關(guān)，表現(xiàn)為網(wǎng)格尺度的高階小量。對于以定常、層流或湍流計算為主的傳統(tǒng)CFD問題，流場比較光滑，二階格式為主的低階格式通常就足以對流場做出準(zhǔn)確的描述，流場中存在的高波數(shù)分量往往都是需要加以抑制的數(shù)值波動。對于這樣的流場，截斷誤差足以評價離散格式誤差的影響。

在一些非定常、多尺度的計算問題中，流場中往往存在與網(wǎng)格尺度相當(dāng)?shù)母哳l分量，如大渦模擬計算中，網(wǎng)格尺度處于慣性子區(qū)內(nèi)，因此流場中直到增大網(wǎng)格尺度都有比較關(guān)心的脈動量，又比如在湍流的直接模擬計算中，雖然理論上網(wǎng)格尺度要完全解析最小耗散尺度，然而由于所需的網(wǎng)格量非常大，通常只能做到使網(wǎng)格尺度能夠精確捕捉絕大部分動能耗散，所用的網(wǎng)格尺度都比最小耗散尺度要大。因此，直接數(shù)值模擬計算仍然需要離散格式能夠盡可能準(zhǔn)確的捕捉與網(wǎng)格尺度相當(dāng)?shù)母哳l分量。

這要求格式不僅在物理空間有小的截斷誤差，還應(yīng)該在波數(shù)空間較好地保持流場的頻譜關(guān)系，因此需要知道格式誤差在波數(shù)空間的分布及其在動力學(xué)過程中對不同波數(shù)的影響從而理解和改進(jìn)數(shù)值格式處理不同波數(shù)共存的多尺度問題的能力。對這樣一些問題，傅里葉分析方法是量化格式誤差的有效手段。

2.1 誤差分析和變形波數(shù)

通過考察變形波數(shù)可以知道差分誤差在波數(shù)空間中的分布，而要了解差分誤差對數(shù)值解的影響則需要考察其對差分方程動力學(xué)行為的影響。對非線性方程，其差分方程在動力學(xué)演化過程中還會產(chǎn)生與非線性相關(guān)聯(lián)的離散誤差。

用差分格式表示空間導(dǎo)數(shù)得到的半離散方程包含有差分誤差，其動力學(xué)行為與原來的微分方程不完全一致。對半離散方程動力學(xué)行為的考察，可以揭示出差分誤差對數(shù)值解產(chǎn)生影響的方式。

高精度差分格式的耗散特性和色散特性在數(shù)值解中表現(xiàn)為小尺度量的各向異性效應(yīng)。這種各向異性效應(yīng)既反映在波的傳播特性方面，也表現(xiàn)在波的幅值變化方面，因此它們可能成為對所感興趣小尺度物理量的污染源。數(shù)值解中的耗散特性可能影響小尺度量在流動中的幅值變化，色散特性可能影響小尺度量的流動結(jié)構(gòu)，如改變湍流場中的擬序結(jié)構(gòu)。因此，這些數(shù)值解中的高波數(shù)效應(yīng)必須得到控制，使在數(shù)值模擬結(jié)果中，所感興趣的物理量能得到正確的刻畫。

變形波數(shù)的概念在差分格式誤差的傅里葉分析中廣泛采用，它刻畫了波數(shù)空間中差分格式求得的近似導(dǎo)數(shù)與真實的物理導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。對流項的逼近質(zhì)量對數(shù)值解的影響極大，這里只考察1階導(dǎo)數(shù)的差分格式，對應(yīng)方程為:

(3)

這里僅討論初值問題。設(shè)在t=0時刻有

u(x,0)=φ(x)，

(4)

則方程(3)的解為

u(x,t)=φ(x-ct)，

(5)

為便于討論，設(shè)方程的解具有周期性，解的定義域為[-π,π]。在這一區(qū)間分為N等分，設(shè)在t=0時刻的初始分布可通過傅里葉級數(shù)來表示：

(6)

則方程(3)的解為

(7)

(8)

對比式(7)和式(8)可知，數(shù)值解逼近準(zhǔn)確解要求

kr/α=0，ki/α=1，

(9)

其逼近程度反映了格式的精度，逼近方式可反映出數(shù)值解的行為特性。

這里參考LeLe對Pade格式的誤差分析

(10)

(11)

在這里進(jìn)行顯式2階(E2)、顯式4階(E4)、顯式6階(E6)、緊致2階(C2)、緊致4階(C4)、緊致6階(C6)4種格式的傅里葉分析。

顯式2階：

ki=sin(ω)；

(12)

顯式4階：

(13)

顯式6階：

(14)

緊致4階：

(15)

緊致6階：

(16)

圖1 顯式格式及緊致格式在波數(shù)空間的模擬范圍Fig.1 Range simulation explicit scheme and compact format in the wavenumber space

2.2 中心型及迎風(fēng)型緊致格式

空間差分格式可分為中心型和迎風(fēng)型兩類。中心格式采用對稱模板，迎風(fēng)型格式則根據(jù)特征波的傳播方向，采用偏向信息來源的偏置模板。如果差分格式的模板和系數(shù)都是對稱分布，則差分誤差為純粹的色散誤差，相反，如果格式的模板和系數(shù)不是對稱分布，則其差分誤差包括耗散和色散2部分。

為了盡可能減小數(shù)值誤差，提高格式對高波數(shù)分量的分辨能力，同時避免數(shù)值耗散對高波分量的影響，本文采用中心型緊致格式。緊致格式通過在一條網(wǎng)格線上求解代數(shù)方程組來得到變量的導(dǎo)數(shù)，其優(yōu)點是可以在較窄的網(wǎng)格模板上實現(xiàn)較高的格式精度。通常采用的格式有求解標(biāo)量三對角矩陣和標(biāo)量五對角矩陣2種，因為三對角矩陣的追趕方法速度較快，為了兼顧求解效率，本文采用三對角緊致格式。

2.3 過濾運算及邊界條件

對于給定的差分格式，用于數(shù)值模擬多尺度復(fù)雜流場，在網(wǎng)格步長確定的條件下，所能正確模擬的波數(shù)范圍是一定的，超過該范圍的更高波數(shù)范圍的數(shù)值模擬結(jié)果是非物理的，為了消除或減小這種非物理數(shù)值結(jié)果的影響，高精度濾波方法是很有用的。

數(shù)值解中的高波數(shù)效應(yīng)主要指數(shù)值誤差在數(shù)值解中的反映，以及它們可能給數(shù)值解帶來的影響；高波數(shù)效應(yīng)具體表現(xiàn)為數(shù)值解中高波數(shù)的色散效應(yīng)和耗散效應(yīng)，對多維問題這種高波數(shù)效應(yīng)還表現(xiàn)為色散和耗散效應(yīng)在空間的各向異性特性

濾波算子應(yīng)該保持低波數(shù)分量不變，并將導(dǎo)致奇偶失聯(lián)的波長為兩倍網(wǎng)格寬度的分量完全濾掉，因此

T(0)=1，T(π)=0，

(17)

由于濾波算子的對稱性，兩邊Taylor展開后，奇數(shù)階全為0，對稱濾波算子，其傳遞函數(shù)為實數(shù)，因此濾波運算只改變不同波數(shù)分量的幅值，而不改變流場的色散關(guān)系。

濾波算子是針對計算域內(nèi)點設(shè)計的，對邊界點，M.R.Visbal考慮了2種處理方式：一種是仍使用對稱濾波，但逐漸降低算子精度，并通過調(diào)節(jié)AF的值來改善邊界濾波算子，這種方法的優(yōu)點是不會帶來色散誤差。另一種方法是在邊界點處，采用與內(nèi)點具有一直精度的單側(cè)非對稱濾波算子，其優(yōu)點是在邊界保持高精度，缺點是會引入色散誤差?？紤]到濾波引入的色散誤差難以控制，而逐漸降階的方法雖然在邊界處精度降低，但通過調(diào)節(jié)AF的值可以改善傳遞函數(shù)形狀，本文采用逐漸降階的方法。

內(nèi)點的過濾運算為

(φi+n+φi-n)

邊界點第3點過濾運算為

a1,3a2,3a3,3a4,3a5,3a6,3a7,3-164+af32332+13af164964+15af32516+3af8-1564+15af32332-3af16-164+af32

邊界點第2點過濾運算為

a1,2a2,2a3,2a4,2a5,2a6,2a7,2116+7af834+af238+af4-14+af2116-af800

邊界點處不進(jìn)行濾波運算。

2.4 導(dǎo)數(shù)運算及邊界條件

內(nèi)點的求導(dǎo)運算為

(18)

對于高階有限差分格式，邊界格式取得不好也會影響數(shù)值解的穩(wěn)定性，構(gòu)造與內(nèi)點格式精度一致的邊界格式，對于一個雙曲系統(tǒng)，如果內(nèi)點采用P階精度的格式，則邊界格式精度應(yīng)達(dá)到P-1階，才能保證空間差分離散精度為P階。目前，許多高精度差分格式，由于未成功的構(gòu)造與其精度匹配的穩(wěn)定的邊界格式，不得不采用低精度的邊界格式，通常認(rèn)為，這種情況的空間離散精度只比邊界格式的精度高一階，即高階內(nèi)點格式的精度受到邊界格式的影響，而使實際計算的精度降低。

邊界點的求點運算為

φ1+b2φ2+c1φ3+d1φ4)

2.5 離散方法

本文采用6種緊致格式:

Pade，經(jīng)典3點4階中心格式

(19)

OPTC4，優(yōu)化5點4階中心格式

(20)

DCS5，含耗散5點中心5階格式

(21)

α=-0.2；

CCS6，無耗散5點中心6階格式

(22)

α=0；

UCD3，迎風(fēng)3點3階格式

(23)

UCD5，迎風(fēng)5點5階格式

(24)

3 六種離散格式的對比分析

1)算例1 單波傳播問題

u(x,0)=sin(kx)·exp[-16(x-0.5)2]，

(25)

計算區(qū)域為[0，3]，取301個計算點，取波數(shù)使得α=kΔx=2π/8≈0.79, 微分方程的解以1的速度向右傳播，在T=2時，波心應(yīng)到達(dá)X=2.5處。Δx=0.011，CFL=0.4，Δt=0.004，N=1/Δt=250，T=2時計算500步。

圖2 六種緊致格式數(shù)值耗散對比圖Fig.2 Six compact scheme numerical dissipation comparison chart

從6種緊致格式的數(shù)值試驗可以看出，低階迎風(fēng)格式有太大的數(shù)值耗散，耗散中心格式比無耗散中心格式的幅值有所減小。經(jīng)典4階格式無耗散并有非常小的數(shù)值色散，接下來的工作采用的是經(jīng)典4階格式。

2)算例2 單渦傳播問題

本算例模擬單渦在均勻流中的運動，主要目的是考察計算方法的數(shù)值耗散問題。計算域取為[-10,10]×[-10,10]，網(wǎng)格均勻分布，共包含61×61的網(wǎng)格點，計算域的所有邊界都設(shè)定為周期性邊界條件，這樣渦從一個邊界出去再從相反一側(cè)的邊界回到計算域中。

控制方程如下：

(26)

采用擬壓縮算法，β=5.0。

初始條件，

(27)式中：P∞=0.0；U∞=1.0；R=4Δ；C=0.02RU∞。

物理時間推進(jìn)采用4階龍格庫塔，時間步長Δt=0.1。

對速度及壓力做數(shù)值穩(wěn)定濾波，濾波算子采用F6，每個完整的龍格庫塔進(jìn)行一次濾波，濾波參數(shù)0.45，只濾掉了高波數(shù)分量。

計算10個周期，從計算結(jié)果看出，對2階格式來說，渦量的耗散十分嚴(yán)重,高階方法維持了渦的初始形狀，沒有明顯耗散，4階緊致耗散小于四階顯式格式。

圖3 單渦運動云圖Fig.3 Single vortex cloud

3)算例3 翼型繞流問題

計算狀態(tài)：

Ma=0.3，Alf=1.25°，Re=6 000 000，CFL=0.2。

圖4 壓力系數(shù)分布圖Fig.4 Map of the distribution of pressure coefficient

圖5 殘差收斂圖Fig.5 Map of the residual convergence

從翼型繞流的數(shù)值試驗可以看出，緊致格式有更加嚴(yán)格的穩(wěn)定性限制，只有CFL=0.2才能保證計算收斂。

4 結(jié) 語

本文首先闡述高階緊致格式對流動多尺度的準(zhǔn)確模擬的重要性，對比分析了迎風(fēng)型格式及中心耗

散格式優(yōu)劣性，采用傅里葉分析方法分析了顯式格式及緊致格式在波數(shù)空間可準(zhǔn)確模擬的波數(shù)范圍。隨后，編程實現(xiàn)了6種緊致格式。

其中為保證緊致格式在內(nèi)點及邊界點的一致性，采用高精度邊界格式，加入了濾波運算和采用更小的CFL數(shù)來控制緊致格式的穩(wěn)定性。最后采用單波傳播、單渦傳播算例分析不同格式的耗散特性，數(shù)值試驗表明：中心緊致格式有更小的耗散誤差及色散誤差；采用4階Pade格式計算翼型繞流，從而驗證了邊界處理的正確性，也更加認(rèn)識到緊致格式有非常嚴(yán)格的穩(wěn)定性限制。

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Research on application of high order compact scheme in numerical simulation of nonlinear

LV Hong1,ZHAO Shi-qi2,BU Chen1

(1.Avic Aerodynamics Research Institute,Harbin 150001,China;2.China Shipbuilding Industry Corporation,Beijing 100097,China)

The article analyzed the merits of the upwind scheme and central dissipation scheme. Using the Fourier analysis method to analyze the wave number range of explicit and compact format, it can be accurately simulated in wave number space. Through programming on six compact scheme, In order to ensure consistency of formats, including compact point and boundary points, the program use high-precision format border. Filtering operation and the use of a smaller number of CFL compact format to control the stability. Numerical experiments show:the centre compact format has smaller error of dissipation and dispersion. Through fourth-order Pade format to compute the flow around airfoil, It verifies the correctness of the boundary treatment. Morely, we recognize the compact scheme has very strict stability limit.

numerical simulation;advanced compact scheme;filtering operation;fourth-order pade format

2014-03-01;

2014-06-25

總裝備部重點預(yù)研基金資助項目

呂紅(1981-)，女，高級工程師，研究方向為流體力學(xué)。

V211.1+5

A

1672-7649(2014)11-0085-06

10.3404/j.issn.1672-7649.2014.11.017