多學(xué)科優(yōu)化中的近似模型及其在艇體結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的應(yīng)用

許 輝, 周 奇

(中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武漢 430064)

多學(xué)科優(yōu)化中的近似模型及其在艇體結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的應(yīng)用

許 輝, 周 奇

(中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武漢 430064)

近似技術(shù)是多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化關(guān)鍵技術(shù)之一。系統(tǒng)介紹多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化中常用的3種近似模型：響應(yīng)面模型(Response Surface Methodology，RSM)、Kriging模型、徑向基函數(shù)(Radical Basis Function，RBF)模型。對(duì)比分析3類近似模型在典型數(shù)學(xué)函數(shù)不同維度下的擬合性能。結(jié)果表明，Kriging模型的綜合擬合性能最優(yōu)，RBF模型次之，RSM擬合性能不佳。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)選取樣本點(diǎn)，基于Kriging模型構(gòu)造潛艇平行舯體某艙段耐壓殼體結(jié)構(gòu)響應(yīng)的近似模型，應(yīng)用粒子群優(yōu)化算法完成了耐壓殼體結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)。最優(yōu)化設(shè)計(jì)方案質(zhì)量較初始方案減少了11.99%。

近似模型；擬合性能；粒子群優(yōu)化；潛艇殼體；拉丁超立方試驗(yàn)

0 引 言

目前，在艦船研制領(lǐng)域各學(xué)科相繼引進(jìn)了各類先進(jìn)的設(shè)計(jì)分析工具，如結(jié)構(gòu)學(xué)科的Ansys，Abaqus，Nastran等；快速性學(xué)科的Fluent，Cfx、Shipflow等；耐波性學(xué)科的HYDROSTAR等；操縱性學(xué)科的Shipma，Napa等。這些設(shè)計(jì)分析工具的使用極大提高了設(shè)計(jì)效率和分析精度。然而，在進(jìn)行多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化過(guò)程中，通常需要很多次迭代才能得到最優(yōu)結(jié)果。數(shù)值仿真軟件在進(jìn)行學(xué)科計(jì)算時(shí)，需要花費(fèi)巨大的時(shí)間成本，這種基于數(shù)值仿真模型的多學(xué)科優(yōu)化求解，其計(jì)算耗時(shí)往往是設(shè)計(jì)者無(wú)法接受的。

自20世紀(jì)80年代Kleijnen提出近似模型概念以來(lái)，構(gòu)建近似模型成為解決以上問(wèn)題的有效途徑。Hefazi等[1]為快速性子學(xué)科構(gòu)造響應(yīng)面近似模型完成了三體船總體概念多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)；Lam等[2]將Kriging模型應(yīng)用于機(jī)翼氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題中，有效地驗(yàn)證了近似模型在實(shí)際工程中的應(yīng)用價(jià)值；宋保維等[3]在魚(yú)雷外形優(yōu)化設(shè)計(jì)中采用基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)的響應(yīng)面方法構(gòu)造阻力系數(shù)比的二次響應(yīng)面近似模型，設(shè)計(jì)出符合工程實(shí)際的魚(yú)雷外形；孫凱軍等[4]采用拉丁超立方抽樣試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法得到樣本點(diǎn)，并建立Kriging模型替代費(fèi)時(shí)的流動(dòng)模擬，進(jìn)行高超聲速舵面平面形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)；容江磊等[5]基于Kriging模型建立跑車尾翼斷面數(shù)學(xué)模型，在近似模型上進(jìn)行全局尋優(yōu)，較大改善了跑車的空氣動(dòng)力學(xué)性能。

耐壓殼作為潛艇核心設(shè)備的保護(hù)體，一旦耐壓殼出現(xiàn)結(jié)構(gòu)破損，耐壓艙室進(jìn)水，將引發(fā)各電子儀器、電池的短路失控，甚至發(fā)生電機(jī)擊穿導(dǎo)致整個(gè)電控系統(tǒng)毀滅以致潛艇失事的惡性事故，同時(shí)殼體重量、殼體結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)潛艇運(yùn)行的平穩(wěn)性、快速性都起重要作用[8]。因此，研究合理的耐壓殼結(jié)構(gòu)是潛艇總體設(shè)計(jì)中的結(jié)構(gòu)學(xué)科專家所關(guān)心的重要問(wèn)題。

本文介紹多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化中常用的3種近似模型：響應(yīng)面近似模型(ResponseSurface Methodology，RSM)、Kriging模型及徑向基函數(shù)(Radical Basis Function，RBF) 模型，對(duì)比分析3種近似模型對(duì)數(shù)學(xué)測(cè)試函數(shù)不同維數(shù)的擬合性能。然后，基于Kriging模型進(jìn)行潛艇平行舯體某艙段耐壓殼體結(jié)構(gòu)響應(yīng)的近似模型：輸入變量的選?。灰岳〕⒎皆囼?yàn)設(shè)計(jì)生成樣本點(diǎn)；基于ABAQUS進(jìn)行的有限元建模與仿真分析；應(yīng)力響應(yīng)的提取及近似模型的全局與局部誤差檢驗(yàn)。最后，應(yīng)用粒子群優(yōu)化算法完成了耐壓殼體結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)。

1 多學(xué)科近似模型

近似方法是通過(guò)插值或者擬合來(lái)構(gòu)造近似模型，利用已知樣本數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)未知響應(yīng)的數(shù)學(xué)方法。其構(gòu)建過(guò)程主要如下：

1)篩選合適的設(shè)計(jì)變量

選定對(duì)輸出響應(yīng)影響較大的輸入?yún)?shù)x=[x1,x2…xn]，并確定參數(shù)的上下限[xlow,xup]。

2)通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法選取樣本點(diǎn)

常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有全因子試驗(yàn)(Full Factorial Design，F(xiàn)FD)、中心組合試驗(yàn)(Central Composite Design，CCD)、正交數(shù)組試驗(yàn)(Orthogonal Arrays Design，OAD)、拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)(Latin Hypercube Design，LHD)等。

3)近似模型的構(gòu)建與精度檢驗(yàn)

在試驗(yàn)設(shè)計(jì)選定的樣本點(diǎn)下，通過(guò)數(shù)學(xué)解析或仿真等獲取樣本點(diǎn)下的響應(yīng)值，選取合適的近似模型，構(gòu)建近似模型并進(jìn)行精度分析。

目前，多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化領(lǐng)域常用的近似模型主要包括RSM模型、Kriging模型和RBF模型。

1.1 響應(yīng)面近似模型

響應(yīng)面近似技術(shù)是數(shù)學(xué)方法和統(tǒng)計(jì)方法結(jié)合的產(chǎn)物，他通過(guò)多項(xiàng)式回歸表達(dá)式，依托最小二乘法來(lái)建立輸入變量與響應(yīng)之間的函數(shù)表達(dá)式，是目前多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化中常用的近似方法。

多項(xiàng)式響應(yīng)面模型的基本形式如下：

(1)

式中：d為響應(yīng)面的最高階數(shù)；β0，βi，βij…βii…i為逼近系數(shù)，通過(guò)最小二乘法求得。將樣本點(diǎn)的值代入響應(yīng)面模型中，使得響應(yīng)的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的誤差平方和最小。

β=[XTX]-1XTY。

(2)

式中：X=[X1…Xn]T；Xi為樣本點(diǎn)xi的分量與β次序?qū)?yīng)構(gòu)成的行向量；Y為由樣本點(diǎn)的響應(yīng)值組成的列向量。

1.2 Kriging近似模型

Kriging模型是一種估計(jì)方差最小的無(wú)偏估計(jì)模型，它通過(guò)相關(guān)函數(shù)的作用，具有局部估計(jì)的特點(diǎn)。最早由南非地質(zhì)學(xué)家Krige于1951年提出，并用于礦產(chǎn)資源的分布預(yù)測(cè)。后經(jīng)由sack等引入工程應(yīng)用領(lǐng)域。

Kriging模型一般表示為[6]：

(3)

Cov[z(xi),z(xj)]=σ2R[R(xi,xj)]。

(4)

式中：R(xi,xj)為樣本點(diǎn)xi,xj之間的相關(guān)函數(shù)；R為對(duì)稱相關(guān)矩陣。相關(guān)函數(shù)有不同的形式，實(shí)際工程應(yīng)用中，以Guassian函數(shù)最為常見(jiàn)：

(5)

(6)

式中：Y為由樣本點(diǎn)的響應(yīng)值組成的列向量；F為n維列向量，當(dāng)式中的g(x)簡(jiǎn)化為常數(shù)時(shí)，F(xiàn)為單位列向量；rT(x)為n維列向量，代表預(yù)測(cè)點(diǎn)與樣本點(diǎn)之間的相關(guān)性，即：

rT(x)=[R(x,x1),R(x,x2),…R(x,xn)]T。

(7)

(8)

(9)

式(9)中描述的未知參數(shù)θk可通過(guò)極大似然估計(jì)方法求得，即：

(10)

通過(guò)上述無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的求解，可得到最優(yōu)擬合的Kriging模型。

1.3 徑向基函數(shù)近似模型

徑向基函數(shù)是一類以待測(cè)點(diǎn)與樣本點(diǎn)之間的歐氏距離為自變量的函數(shù)，其基本形式為[7]：

(11)

式中：w(x)=[w1,w2…,wn]T為權(quán)重系數(shù)；φ=[φ(r1),φ(r2),…，φ(rn)]T；ri=‖x-xi‖描述樣本點(diǎn)與待測(cè)點(diǎn)之間的歐氏距離。常用的徑向函數(shù)有多二次函數(shù)、逆多二次函數(shù)、薄板是徑向函數(shù)，樣條函數(shù)和高斯函數(shù)等。本文選用高斯函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(12)

式中δ為高斯函數(shù)的寬度。

待測(cè)點(diǎn)權(quán)系數(shù)使在滿足插值條件f(xj)=yj(j=1,2…n)下，通過(guò)轉(zhuǎn)換式求得：

w=φ-1·Y。

(13)

式中：

φ=[φij]=[φ(‖xi-xj‖)],Y=(y1,y2…yn)T。

2 三類近似模型的評(píng)價(jià)分析

2.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了合理評(píng)價(jià)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化中的3種近似模型的全局和局部擬合性能，本文引入復(fù)相關(guān)系數(shù)和最大誤差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。

1)復(fù)相關(guān)系數(shù)R2

(14)

2)最大誤差δME

(15)

δME反應(yīng)近似模型局部擬合精度。其值越小，表明近似模型局部擬合性能越好。

2.2 典型函數(shù)不同維數(shù)下三類近似模型擬合精度

(16)

設(shè)計(jì)變量范圍為-1≤xi≤1。

當(dāng)n=1時(shí)，采用拉丁超立方設(shè)計(jì)試驗(yàn)方法在設(shè)計(jì)空間選取12個(gè)樣本點(diǎn)，分別運(yùn)用RSM模型、Kriging模型、RBF模型對(duì)f(x)進(jìn)行設(shè)計(jì)空間內(nèi)的擬合，同時(shí)，在[-1,1]區(qū)間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生24個(gè)檢驗(yàn)點(diǎn)對(duì)3種模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)。圖1所示為n=1時(shí)3種近似模型擬合效果。

圖1 n=1時(shí)三類近似模型對(duì)測(cè)試函數(shù)擬合效果Fig.1 Three approximate model fitting results for n=1

由圖1可看出，與函數(shù)解析值相比較，RBF模型與Kriging模型擬合效果較好，RSM模型擬合程度稍微欠缺，但偏差度不大。

為探討三類近似模型對(duì)不同復(fù)雜度函數(shù)的擬合能力及發(fā)展趨勢(shì)，對(duì)比了維數(shù)n=1至n=5時(shí)，等樣本情況下三類近似模型擬合的擬合精度。圖2和圖3分別為三類近似模型的最大誤差δME和復(fù)相關(guān)系數(shù)R2。

圖2 三類近似模型對(duì)測(cè)試函數(shù)不同維數(shù)下擬合最大誤差Fig.2 Maximum error of three approximate models

圖3 三類近似模型對(duì)測(cè)試函數(shù)不同維數(shù)下擬合復(fù)相關(guān)系數(shù)Fig.3 Multiple correlation coefficient of three approximate models

由圖2和圖3可看出：

1)隨著維數(shù)的增加，三類近似模型的擬合精度均不同程度的降低。其中，隨非線性程度的增加，RSM模型擬合精度下降最明顯，當(dāng)n=5時(shí)RSM模型擬合最大誤差達(dá)到60.518%，復(fù)相關(guān)系數(shù)降低至0.141，可認(rèn)為擬合失敗。RBF模型與Kriging模型穩(wěn)定性比較接近。

2)相同維數(shù)下，Kriging模型的全局?jǐn)M合能力和局部擬合能力略優(yōu)于RBF模型，RSM模型擬合性能最差。

3 近似模型在潛艇耐壓殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的應(yīng)用

3.1 潛艇耐壓艙殼體結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

潛艇殼體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的目的是在使殼體的強(qiáng)度和穩(wěn)定性都滿足要求的條件下，盡量節(jié)約材料，減少整個(gè)殼體的重量。本文討論一型具有T型肋骨的水滴型核動(dòng)力潛艇平行舯體某艙段殼體結(jié)構(gòu)。已知?dú)んw外徑R=5.05 m，總長(zhǎng)L=110.3 m，潛艇極限下潛深度h=530 m，耐壓體采用HY-80高強(qiáng)度鋼，其屈服極限σs=548.8 MPa，楊氏模量E=2.9×105MPa，泊松比u=0.3，密度ρ=7 750 kg/m3。設(shè)計(jì)變量為殼體厚度60 mm≤t≤80 mm，肋骨間距1 m≤l≤1.2 m。優(yōu)化模型為：

(17)

式中：σ1≤0.85σs和σ2≤1.15σs分別為殼體強(qiáng)度約束；σ3≤0.55σs為肋骨強(qiáng)度約束；Pcr≥1.2Pj為總體穩(wěn)定性約束；Pj為殼體工作外載荷；σ1為肋骨跨距中點(diǎn)處殼板最大周向應(yīng)力；σ2為肋骨處殼板橫截面上的相當(dāng)應(yīng)力；σ3為肋骨應(yīng)力；Pcr為殼板整體失穩(wěn)時(shí)的實(shí)際臨界壓力。

3.2 潛艇耐壓殼體結(jié)構(gòu)Kriging近似模型構(gòu)造

若在上述優(yōu)化模型中，結(jié)構(gòu)響應(yīng)采用基于有限元的分析方法，在優(yōu)化迭代過(guò)程中需反復(fù)求解新的分析方程，并計(jì)算每次結(jié)構(gòu)參數(shù)修改后的性態(tài)響應(yīng)，計(jì)算成本過(guò)大。由上節(jié)典型數(shù)學(xué)函數(shù)不同維數(shù)下的對(duì)比分析可知，Kriging模型的擬合性能在三類近似模型中最優(yōu)，故選用Kriging模型訓(xùn)練和構(gòu)建耐壓殼體在均勻靜水壓力下各應(yīng)力成分的近似模型。

通過(guò)LHD選取32個(gè)試驗(yàn)樣本的，利用ABAQUS軟件參數(shù)化建模，獲取試驗(yàn)樣本點(diǎn)下的響應(yīng)值，建立輸入變量與性態(tài)響應(yīng)之間的近似關(guān)系。

為驗(yàn)證近似模型的擬合精度是否達(dá)標(biāo)，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)隨機(jī)選取一組樣本點(diǎn)，綜合Kriging模型給出的預(yù)測(cè)值和有限元方法獲取真實(shí)響應(yīng)值，求取Kriging模型的精度，整個(gè)過(guò)程如圖4所示。表1給出了LHD(32)下各響應(yīng)值的擬合精度結(jié)果。

表1 精度分析結(jié)果

由表1可知，基于Kriging近似模型給出的預(yù)測(cè)

圖4 潛艇耐壓殼體結(jié)構(gòu)輸出響應(yīng)的近似模型構(gòu)建與精度分析流程Fig.4 The flow chart of approximate models for shell hull of submarine

結(jié)果與有限元給出的預(yù)測(cè)結(jié)果一致性較好。潛艇耐壓殼體各項(xiàng)性態(tài)響應(yīng)值的復(fù)相關(guān)系數(shù)均接近1，精度能滿足工程要求，可以用來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)。圖5為肋骨跨距中點(diǎn)處殼板最大周向應(yīng)力σ1與殼體厚度t，肋骨間距l(xiāng)形成的Kriging近似模型。

圖5 σ1與t，l間的Kriging近似模型Fig.5 The approximate models betweenσ1，t，l

3.3 優(yōu)化結(jié)果討論

為了獲取設(shè)計(jì)結(jié)果的全局最優(yōu)解，采用粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)作為尋優(yōu)策略。PSO通過(guò)模仿自然界中鳥(niǎo)類和魚(yú)類群體覓食遷徙中，個(gè)體與群體協(xié)調(diào)一致的機(jī)理，通過(guò)群體最優(yōu)方向、個(gè)體最優(yōu)方向和慣性方向的協(xié)調(diào)來(lái)求解優(yōu)化問(wèn)題。優(yōu)化參數(shù)設(shè)定為：粒子數(shù)目為20，最大迭代次數(shù)100次，加速因子c1和c2均取2，慣性權(quán)值w=0.9。優(yōu)化結(jié)果與初始結(jié)果對(duì)比如表2所示。

由表2可看出，優(yōu)化設(shè)計(jì)質(zhì)量比初始設(shè)計(jì)質(zhì)量降低11.99%。將優(yōu)化結(jié)果帶入有限元分析程序，驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)值滿足強(qiáng)度與穩(wěn)定性要求。表明優(yōu)化設(shè)計(jì)方案有效可靠。

表2 優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié) 語(yǔ)

近似模型技術(shù)是解決復(fù)雜系統(tǒng)工程結(jié)構(gòu)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化的必要方法。其常用于優(yōu)化迭代過(guò)程中替代高精度有限元仿真模型，獲取優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解。對(duì)三類常用的多學(xué)科近似模型進(jìn)行擬合性能研究，對(duì)比分析其對(duì)典型函數(shù)不同維數(shù)的擬合精度，結(jié)果表明，Kriging模型的綜合擬合性能最優(yōu)、RBF模型次之，RSM擬合性能不佳。以粒子群優(yōu)化算法完成潛艇耐壓殼體結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，獲得了滿意的設(shè)計(jì)方案，為潛艇總體性能多學(xué)科優(yōu)化奠定了一定的基礎(chǔ)。

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Approximation methods of multidisciplinary design optimization and their application in shell hull of submarine

XU Hui, ZHOU Qi

(China Ship Development and Design Center,Wuhan 430064,China)

Approximation method is one of the key technologies for multidisciplinary design optimization of vessels. In this paper,three commonly approximation methods,including response surface method,Kriging,radical basis function are introduced concise. A comparison of three approximation for their fitting performance is conducted through a typical mathematical functions with different dimensions.The results shows that Kriging,with its optimum comprehensive performance,is best suitable for replacing finite element model,the radical basis function is in the middle position,while the approximation performance of response surface is poor.Then, Sample points selected by latin hypercube experimental design method,and a Kriging medols are constructed for shell struct of submarine. Error analysis showed that the models can meet the engineering application requirements.Finally, The structural lightweight design results are proposed base on the particle swarm optimization.Optimized design program quality decrease 11.99% compared to the weight of the initial design scheme.

approximation models;fitting performance;particle swarm optimization;shell structure of submarine;latin hypercube design experimental

2013-12-02;

2014-05-15

國(guó)防基礎(chǔ)科研重點(diǎn)資助項(xiàng)目

許輝(1980-)，女，工程師，從事艦船總體優(yōu)化研究。

U661

A

1672-7649(2014)12-0006-05

10.3404/j.issn.1672-7649.2014.12.002