一類解析函數(shù)的系數(shù)不等式和卷積性質(zhì)

李書海，周海燕

一類解析函數(shù)的系數(shù)不等式和卷積性質(zhì)

李書海，周海燕

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

本文繼續(xù)研究文[1]中引進(jìn)的解析函數(shù)類,給出了該函數(shù)類的卷積定理以及系數(shù)不等式等新性質(zhì).

星象函數(shù)；Hdamard卷積；從屬

1 引言

我們假定,本文中出現(xiàn)的λ，α，β均滿足:λ>-1，0≤α<1，0≤β<1.

設(shè)A是單位圓U={z:|z|<1}內(nèi)具有形式f(z)=z+a2z2+…的解析函數(shù)全體組成的類.S*(α),K(α),C(α)分別表示α級(jí)星象函數(shù)類、α級(jí)凸象函數(shù)類和α級(jí)近于凸函數(shù)類.

設(shè)給定實(shí)數(shù)λ>-1,用

定義算子Dλ,其中*表示Hadamard卷積.有展開式[1]：

令

和

則稱f(z)為α級(jí)預(yù)星象函數(shù),其全體記作R(α).

定義1[2]若函數(shù)f(z)∈A,滿足條件

則稱f(z)在B(λ,α,β)中.

作者在[1]中得到該族中函數(shù)的積分表達(dá)式;借助算子理論建立B(λ,α,β)的包含關(guān)系,討論端點(diǎn)性質(zhì);證明族中函數(shù)的偏差定理.本文給出了B(λ,α,β)的卷積定理以及系數(shù)不等式等新性質(zhì).

2 Hadamard卷積

引理1[4]若

定義2[1]設(shè)f(z)∈A,若存在函數(shù)g(z)∈A(λ,α),滿足條件

引理2[2]若?(z)∈R(α),g(z)∈S*(α),p(z)在U內(nèi)解析且有正實(shí)部，則

若Rep(z)>r,置Q(z)=p(z)-r,則Re(p(z)-r)>0,于是利用引理1不難證明：

引理3若α≤β<1,0r,則

引理4[5]設(shè)?(z)∈K(α),g(z)∈S*(α),若p(z)在U內(nèi)解析且Rep(z)>r則

根據(jù)引理3,得到

證畢.

由引理1和引理4不難證明：

對(duì)于復(fù)數(shù)r,Rer≥0，取凸象函數(shù)

由定理2可得

3 系數(shù)不等式

引理5[3]若,則

引理6[6]若在U內(nèi)解析，且Rep(z)>0，則

從引理6容易得到：

把

和

以及p(z)的級(jí)數(shù)展開式代入（3）式,即等式z(Dλf(z))'=p(z) Dλg(z)中，并比較z的同次冪的系數(shù)，得到

從（4）式推出

當(dāng)n=2時(shí),根據(jù)引理5和引理7,從（5）式推出

從上式即得（1）式；

當(dāng)n=3,4,…時(shí),根據(jù)引理5和引理7,從（5）式推出

推論2若

〔1〕李書海.一類新的解析函數(shù)族 [J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào), 2005,17（4）:344-348.

〔2〕Ruscheweyh St.Linear operators between classes of prestarlike functions[J].Comment Math.,Helv.,1977,52: 497-509.

〔3〕趙業(yè)喜.線性同胚于星象函數(shù)的一族解析函數(shù)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1997,40(3):385-394.

〔4〕趙業(yè)喜.線性同胚于星象函數(shù)的一族解析函數(shù)[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2000,29(1):26-28.

〔5〕Ruscheweyh St.and Sheil-Small,T.,Hadamard products of Schlicht functions and the Pólya-Schoenberg conjecture[J].Comm.Math.Helv.,48(1973):119-135.

〔6〕Ch.泊茂仁克著,楊維奇譯.單葉函數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社,1987.

O174.51

A

1673-260X（2014）10-0001-02