乙肝病毒感染數量的一個數學模型

（邵陽學院理學與信息科學系，湖南邵陽422000）

（邵陽學院理學與信息科學系，湖南邵陽422000）

乙型肝炎是由乙型肝炎病毒（HBV）引起的肝病，該病毒干擾肝功能并造成病理損害.一小部分受感染者無法消滅該病毒而成為慢性感染，進而面臨極高的死于肝硬化和肝癌的危險.乙型肝炎病毒通過與受感染者的血液或體液接觸傳播，這與人類免疫缺陷病毒（艾滋病毒）的方式相同.但是，乙型肝炎病毒的感染性比艾滋病毒高50至100倍.接種乙型肝炎疫苗是預防乙型肝炎的主要方法.如何有效防控乙肝的傳染，不只是政府的事，也是每個國民應關注的問題.文章建立一個乙肝病毒傳染的數學模型，并對模型進行實證分析；同時，對乙肝病毒的傳染也做了一個預測.

傳染??；乙肝病毒；數學模型

0 引言

據世界衛(wèi)生組織在2013年的統(tǒng)計，全球每年估計有140萬甲型肝炎新發(fā)病例；約20億人感染了乙型肝炎病毒，有2.4億人患有慢性乙肝；大約有2000萬人感染戊型肝炎，約有1.5億人為慢性丙型肝炎病毒感染；300多萬急性戊肝病例；每年約有60萬人死于急性或慢性乙型肝炎，有35萬余人死于與丙肝相關的肝臟疾病，與戊肝有關的死亡有5.7萬例［1］.中國有9000多萬乙肝患者，該病常無癥狀表現，但日后可發(fā)展為肝硬化或肝癌.乙肝給患者、家庭和中國社會帶來了沉重的經濟負擔.由此可見，了解肝炎，科學地認識肝炎，預防肝炎顯得多么重要.

乙肝是由乙肝病毒（HBV）引起的一種疾病，主要以肝臟炎性病變?yōu)橹?，并可引起多器官損害，少數患者可轉化為肝硬化或肝癌.廣泛流行于世界各國，兒童及青壯年易受侵犯.因此，乙肝嚴重威脅人類健康，成為世界性疾病.在我國，乙肝成了流行最廣泛，危害性最嚴重的一種疾病.它沒有一定的流行期，一年四季均可發(fā)作，近年來，乙肝發(fā)病率呈明顯上升趨勢.

一般說來，乙肝的傳播途徑有以下幾個方面：第一，母嬰垂直傳播.據統(tǒng)計，我國現有HBsAg陽性者約1.4－1.5億人，其中85%是通過母嬰傳播的，垂直傳播是乙肝蔓延和高發(fā)的最主要原因，主要是通過產道感染或宮內感染.第二，血液或血制品傳播.被乙肝病毒污染的血制品，比方說白蛋白、血小板或血液，一旦輸給受血者，大多數人會發(fā)生輸血后肝炎.另外，比如血液透析、腎透析時也有可能感染HBV.第三，醫(yī)源性傳播.被乙肝病毒污染的醫(yī)療器械：腹腔鏡、內窺鏡、牙鉆、手術刀等等，都可傳播HBV.第四，家庭內密切接觸，譬如，日常生活中的密切接觸，同用一個茶杯、碗筷、牙刷、毛巾.再譬如性接觸等，HBV可通過破損粘膜進入密切接觸者的體內，這樣均有受HBV感染的可能.第五，公共場所例如美容院、理發(fā)店、洗浴城等也容易被乙肝病毒污染.

本文根據一些實際數據，建立數學模型；然后，利用數學模型，對乙肝傳染做一個預測.

1 數學模型

根據乙肝傳染的特點，將人群劃分為健康者，易感者，病毒攜帶者.傳播過程是：健康者與乙肝病人或乙肝病毒攜帶者經過有效的接觸后感染乙肝病毒，成為病毒感染者；潛伏期為45～150天，平均3個月的時間，潛伏期后期具有傳染性，然后成為急性乙型肝炎.急性乙型肝炎病期在4～6個月的時間內能基本恢復，90%以上的急性乙肝患者可能痊愈，大約有5%～10%的急性乙肝患者轉為慢性乙肝.慢性乙肝患者徹底治愈概率很低，大多數最終成為乙肝病毒攜帶者，少數治愈后具有較強的免疫力.所以病愈的人即非健康者，也非病人，他們已經退出感染系統(tǒng).

對于乙肝病毒的數學模型研究，已有一些文獻（參見［2－5］），我們在已有文獻的基礎上，建立了乙肝病毒的動力學模型.

首先對模型進行假設：

①假設研究對象為理想人群，總人數保持在固定水平N.無遷入遷出及其他原因引起的死亡現象.設患傳染病后并完全病愈的任何人均具有長期的免疫力，并設傳染病的潛伏期很短，可以忽略不計，即任何人患病后立即成為傳染者.在這種情況下，把居民分成易感者（S），傳染者（I）及移出者（R）三類，分別記作s（t），i（t）和r（t），三者之和保持常數N，即

模型構成

利用SIR模型，有

在初始值r0＝0下得到其解為累計移出人數：

所以，（1．3）式可化為

下面我們再分析s（t），i（t）和r（t）的變化情況．

模型中前兩個方程與r（t）無關，所以可以從前兩個方程求出i（t）與s（t）之間的關系．

①不論初始條件s0，i0如何，i∞＝0，即病人終將基本治愈或者病情得到明顯改善，或者轉化為癌癥而死亡［6］．

然后i（t）減小且趨于0，s（t）單調減小至s∞．就是說，如果僅當感染者比例i（t）有一段增長時期才認為傳染病在蔓延，則σ是一個閾值，當s0＞σ時傳染病會蔓延．

④若s0≤σ，則i（t）單調減小到0，s（t）單調減小至s∞；減小傳染期接觸數σ，使得s0≤σ傳染病就不會蔓延．注意到人們的健康意識，衛(wèi)生水平越高，年接觸率越?。会t(yī)療水平越高，年治愈率越大；所以提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平是控制傳染病蔓延的有效途徑．

2 實證分析

先簡單了解一下什么是“大三陽”，“小三陽”.乙肝病毒表面抗原（HBsAg）、e抗原（HBeAg）和核心抗體（HBcAb）同時陽性，稱＂大三陽＂；乙肝病毒表面抗原、e抗體（HBeAb）及核心抗體同時陽性，稱＂小三陽＂.乙肝表面抗原呈陽性表明感染了乙型肝炎病毒；e抗原陽性說明有傳染性；乙肝表面抗體（抗－HBs）陽性一般表明人體已得到保護，對病毒有抵抗力；乙肝e抗體（抗－HBe）陽性的人如e抗體陽性，表明傳染性很低；乙肝核心抗體呈陽性，表明乙肝病毒處于繁殖狀態(tài).

通過研究，人們慢慢認識到，VBH的傳播主要是由于感染者與易感者的密切接觸而引發(fā).這個傳播速度、強度、廣度與人群中感染者和易感者的數量、有效接觸的程度有很大關系.再有，還發(fā)現乙肝傳染病患者，在痊愈后很長一段時間，身體由于產生某種抗體，因此，終身不再患乙肝.

一般說來，檢驗一個模型是否合理可用，須在建立數學模型后，把模型得到的解，用實際資料作擬合檢驗.如果一致，初步認為模型合理，因而可按其適用范圍，到實踐中去應用并作進一步驗證；如果不一致，就應認真檢查：模型的假設條件，數學式等，進行修改，直至擬合結果基本滿意為止.

下面，根據從某市一家醫(yī)院采集的數據作一個分析與預測.這些數據表示在乙肝兩對半化驗中，即表面抗原（HBsAg）和表面抗體（抗HBs或HBsAb）、e抗原（HBeAg）和e抗體（抗HBe或HBeAb）、核心抗原（HBcAg）和核心抗體（抗HBc或HBcAb），通常核心抗原沒有檢驗.HBsAg，HBeAg，HBcAb中至少有一個陽性的數據統(tǒng)計表.

表1 2004～2013乙肝兩對半檢查HBsAg，HBeAg，HBcAb中至少一個呈陽性Tab.1 Checking HBsAg，HBeAg，HBcAb at least one is positive in 2004～2013

根據上述數據，做出散點圖，見下面的圖1.從圖形來看，感染者呈逐年上升趨勢.

圖1 2004～2013某醫(yī)院乙肝兩對半化驗數據圖Fig.1 The data graph of a hospital hepatitis B two half－and－h(huán)alf assay

若用指數函數擬合，可得到曲線

圖形如下：

圖2 y＝－7．1951×103＋4．327× 103e0．0233x＋3．6491×103e－0．0233x的圖形Fig.2 The graph of the function y＝－7.1951× 103＋4.327×103e0．0233x＋3．6491×103e－0．0233x

圖3 感染人數逐年移出圖Fig.3 The graph of the infections

3 結論

通過對乙肝病毒模型的分析，我們發(fā)現這個轉化率，也就是易感染人群向患病人群的轉化率，對累計患者數的減少有很重要的作用.在早期控制，降低傳染率對阻止傳播效果很明顯.這個乙肝病毒模型能模擬出乙肝傳播的不同階段，譬如開始加速上升，后來人們開始防范，在有效控制下，疫情快速而略有起伏的衰退.模型還提供了在給定參數下，對乙肝病毒持續(xù)時間和全部病人數的定量估計，擬合曲線能很好地表現這一實際情況.模型的累計患者數是收斂的，并且模型中的參數是幾個離散的常數，能為疾病預測、預防和控制提供參考信息.

當然，乙肝病毒的傳播是一個相當復雜的過程，受到多種因素的制約.而數學模型只能是在理想化的狀態(tài)下建立起來，因此，用數學模型去描繪傳染病實際發(fā)生的過程去估計實際傳染的人數可能有誤差.但是，用這種定量的分析方法總比籠統(tǒng)的定性分析要好，它為我們制定防預措施具有參考意義.

［1］世界衛(wèi)生組織.病毒性肝炎感染的預防與控制：全球行動框架［DB／OL］.http：／／www. who.int／csr／disease／hepatitis／GHP＿Framework＿Ch.pdf，2012

［2］Zhao S J，Xu Z Y，Lu Y.A mathematical model ofhepatitisBvirustransmissionandits application for vaccination strategy in China［J］. International Journal of Epidemiology，2000，29（4）：744－752.

［3］Long C J，Qi H，Huang S H.A dynamic model for the hepatitis B virus infection［J］.Journal of Systemics，Cybernetics and Informatics，2007，5（1）：1－5.

［4］Mohammad R M，Tayebeh W.A mathematical model for HBV［J］.Journal of Basic and Applied Scientific Research，2012，2（9）：9407－9412.

［5］IsaacKA，AnthonyYA，IsaacOD. Mathematical model of hepatitis B in the Bosomtwe district of Ashanti region，Ghana［J］.Applied Mathematical Sciences，2014，8（67）：3343－3358.

［6］姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

乙肝病毒感染數量的一個數學模型

周后卿

A Mathematical Model of HBV Infections

ZHOU Hou－qing

（Department of Science and Information Science，Shaoyang University，Shaoyang，Hunan 422000，China）

Hepatitis B is a liver disease caused by the hepatitis B virus（HBV）.The virus interferes with the functions of the liver and causes pathological damage.A small percentage of infected people cannot get rid of the virus and become chronically infected-these people are at higher risk of death from cirrhosis of the liver and liver cancer.HBV is spread by contact with blood or body fluids of an infected person-the same way as the human immunodeficiency virus（HIV）.However，HBV is 50 to 100 times more infectious than HIV.The hepatitis B vaccine is the mainstay of hepatitis B prevention.How to effectively control and prevent hepatitis B infection，not only the government，also everyone in the country should focus on problems.This paper established a mathematical model of hepatitis B virus（HBV）infection，and made an empirical analysis on the model；Furthermore，we also made a prediction for the infection of hepatitis b virus.

book=2,ebook=5

infectious disease；Hepatitis B virus；Mathematical Model

O175.1 文獻標志碼：A

1672－7010（2014）03－0001－05

2014－06－12

邵陽市科技局科技計劃項目（M230）

周后卿（1963—），男，湖南新邵人，碩士，副教授，研究方向：組合數學及其應用.