一個(gè)拒斥邏輯矛盾、容納辯證矛盾的命題演算系統(tǒng)*1

曹 飛

(中共陜西省委黨校 哲學(xué)部，陜西 西安 710061)

邏輯矛盾是因人們在思維過程中違反形式邏輯不矛盾律的要求而引起的，辯證矛盾是因人們在思維過程中表達(dá)對象的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的，二者根本不同。然而，經(jīng)典命題演算沒有區(qū)別辯證矛盾與邏輯矛盾，它拒斥邏輯矛盾，但不容納辯證矛盾，因而不能合乎邏輯地表達(dá)對象的運(yùn)動(dòng)。如何在思維的邏輯中表達(dá)對象的運(yùn)動(dòng)，無疑是邏輯研究的一個(gè)重要問題。鑒于此，本文試對經(jīng)典命題演算做適當(dāng)改動(dòng)，在區(qū)別辯證矛盾與邏輯矛盾的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個(gè)拒斥邏輯矛盾、容納辯證矛盾的命題演算系統(tǒng)PC6。

一、命題演算系統(tǒng)PC6及其可靠性、完全性

(一)PC6的語法、語義及定理的證明

1、語法

初始符號：

甲、 p0，p1，p2，p3，…，pm，…，m是自然數(shù)。

乙、┌ ，┐，∨.

丙、(，).

語法語言的符號：

(1)Q、R、S代表任意一個(gè)甲類符號。

(2)X、Y、Z代表任意一個(gè)符號序列。

(3)A、B、C、D、E代表任意一個(gè)合式公式。

(4)“┠”寫在一公式前，表示緊隨其后的公式是本系統(tǒng)要加以肯定的。

形成規(guī)則：

(1)如果X為甲類符號，那么┌X和┐X為合式公式。

(2)如果X為合式公式，那么┌X和┐X亦為合式公式。

(3)如果X、Y均為合式公式，那么(X∨Y)為合式公式。

(4)只有符合上述三條規(guī)則的符號序列才是合式公式。

定義(=df是定義符號)：

甲、(A→B)=df(┐A∨B)

乙、(A∧B)=df┐(┐A∨┐B)

丙、(A≡B)=df((A→B)∧(B→A))

括號省略規(guī)則：

(1)位于公式最外層的那對括號可省略。

(2)真值聯(lián)結(jié)詞的結(jié)合能力按下列次序遞減：

┐，┌，∨，∧，→，≡。

公理：

1.┠A∨A→A

2.┠A→A∨B

3.┠A∨B→B∨A

4.┠(B→C)→(A∨B→A∨C)

5.┠┌A≡A

6.┠ ┌Q∨┐Q

變形規(guī)則：

(1)分離規(guī)則：由┠A和┠ ┐A∨B可得┠B。

(2)定義置換規(guī)則：定義的左右兩方可相互替換，設(shè)原公式為A，替換后所得公式為B，則由┠A可得┠B。

公式的級的遞歸定義：

(1)如果X為甲類符號，那么┌ X、┐X都是1級公式。1級公式又稱原子公式。

(2)如果X為m級公式，那么┌ X、┐X都是m+1級公式。

(3)如果X為m級公式，Y為n級公式，并且m≥n，那么X∨Y、Y∨X、X∧Y、Y∧X、X→Y、Y→X、X≡Y、Y≡X都是m級公式。

2、語義

1)甲類符號為0級命題變項(xiàng)，代表任意一個(gè)0級命題。

2)乙類符號為聯(lián)結(jié)詞符號，┌代表肯定詞“是”，┐代表否定詞“不”，∨代表析取詞“或”，它們的真值表為(其中T表示“單真”，F(xiàn)表示“單假”，C表示“既真又假”)[1]31-33。

表一

表二

表三

3)丙類符號是括號，其中“(”是左括號，“)”是右括號。

重言式的定義：A是重言式，當(dāng)且僅當(dāng)無論A中0級命題變項(xiàng)取什么值，A的值都是T。

3、定理的證明

我們可以將PC6中相同的原子公式看作經(jīng)典命題演算中相同的命題變項(xiàng)，將PC6的不同的原子公式看作經(jīng)典命題演算中不同的命題變項(xiàng)，這樣我們就可以將PC6看作經(jīng)典命題演算的擴(kuò)充。因此，經(jīng)典命題演算的定理都是PC6的定理。PC6的其它定理的證明，這里僅舉3例。

定理：┠┌A→A

證：[公理5，定義丙] ┠(┌A→A)∧(A→┌A) (1)

[定理] ┠(┌A→A)∧(A→┌A)→(┌A→A) (2)

[(1)、(2)分離] ┠┌A→A 證畢。

定理：┠A→┌A

證：[公理5，定義丙] ┠(┌A→A)∧(A→┌A) (1)

[定理] ┠(┌A→A)∧(A→┌A)→(A→┌A) (2)

[(1)、(2)分離] ┠A→┌A 證畢。

定理：┠┌Q∨┐Q∨C

證：[公理2、公理6分離] ┠┌Q∨┐Q∨C 證畢。

基本置換定理 令DA表示A是D的組成部分，設(shè)已證├A→B和├B→A，并且以公式B置換DA中的公式A得DB，則可得├DA→DB和├DB→DA。因之，從├DA，可得├DB。本規(guī)則稱為“置換”。簡單地說，如果A和B等值，則從├DA可得├DB。

基本置換定理的證明。該定理的嚴(yán)格證明必須運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，施歸納于合式公式的構(gòu)造。本文采取的證明較為簡單，不完全嚴(yán)格。

現(xiàn)證明該定理在下述最簡單情況下是成立的。

(1)A在DA中只出現(xiàn)一次，

(2)DA的形式是：(甲)┌A，(乙)┐A，(丙)C∨A，(丁)A∨C。

依據(jù)形成規(guī)則，不管DA的形式怎樣復(fù)雜，總是由多次重復(fù)運(yùn)用肯定、否定、析取構(gòu)成，因此，一般的情況只是上述情況的簡單重復(fù)。

(甲)設(shè)DA為：┌A，

則DB為：┌B。

設(shè)已證 ├A→B。

[定理] ┠┌A→A。

[定理] ┠B→┌B

[假言三段論] ┠┌A→┌B

即是 ├DA→DB。

同理，由 ├B→A，

可得 ├DB→DA。

(乙)設(shè)DA為：┐A，

則DB為：┐B。

設(shè)已證 ├A→B。

[假言易位] ├ ┐B→┐A。

即是 ├DB→DA。

同理，由 ├B→A，

可得 ├DA→DB。

(丙)設(shè)DA為：C∨A，

則DB為：C∨B。

設(shè)已證 ├A→B。

[附加] ├C∨A→C∨B。

即是 ├DA→DB。

同理，由 ├B→A，

可得 ├DB→DA。

(丁)設(shè)DA為：A∨C，

則DB為：B∨C。

設(shè)已證 ├A→B。

[附加] ├C∨A→C∨B。

[公理3] ├A∨C→C∨A。

├C∨B→B∨C。

[假言三段論] ├A∨C→B∨C。

即是 ├DA→DB。

同理，由 ├B→A，

可得 ├DB→DA。

定理得證。

這里雖然沒有明確地提出數(shù)學(xué)歸納法，僅提出“一般的情況是簡單情況的重復(fù)”，但證明的基本思想及證明的保證仍是數(shù)學(xué)歸納法。

有了上述定理，我們就可以證明PC6的完全性。

(二)PC6的可靠性

PC6的可靠性定理：PC6的定理均為重言式。

PC6的可靠性定理的證明較容易，為節(jié)省篇幅，這里只提供證明的基本思路，不做具體證明。證明的基本思路為：首先，PC6的公理均為重言式；其次，運(yùn)用PC6的變形規(guī)則，由重言式只能得到重言式。因之可得結(jié)論：PC6的定理均為重言式。

(三)PC6的完全性

茲引入合取范式這一概念，以便證明PC6的完全性。

1、合取范式

定義1. A為簡單析取式，當(dāng)且僅當(dāng)A為形如A1∨A2∨…∨An(n∈N且n≥1)的公式，其中每個(gè)Ai(1≤i≤n)都是原子公式或原子公式的否定。

定義2. A為合取范式，當(dāng)且僅當(dāng)A為形如A1∧A2∧…∧An(n∈N且n≥1)的公式，其中每個(gè)Ai(1≤i≤n)都是簡單析取式。

定義3. Aˊ為A的合取范式，當(dāng)且僅當(dāng)Aˊ滿足：A和Aˊ等值，即A≡Aˊ為重言式，并且Aˊ為合取范式。

下面我們來說明：任一公式都有其合取范式，即從一給定公式，總能求得其合取范式。

依據(jù)定義，合取范式在表達(dá)上有如下特征：

(1)不出現(xiàn)→和≡符號。

(2)肯定符┌只在0級命題變項(xiàng)前出現(xiàn)。

(3)否定符┐只在0級命題變項(xiàng)或原子公式前出現(xiàn)。

(4)是單獨(dú)的一個(gè)簡單析取式或簡單析取式的合取。

因此，求一個(gè)公式的合取范式有如下步驟：

(1)銷去蘊(yùn)涵和等值符。即以┐A∨B置換A→B，以(┐A∨B)∧(A∨┐B)或(A∧B)∨(┐A∧┐B)置換A≡B。

(2)將否定符逐步內(nèi)移至原子公式之前。即以┐A∨┐B置換┐(A∧B)，以┐A∧┐B置換┐(A∨B)。

(3)銷去多余的否定符和多余的肯定符。即以A置換┐┐A，以A置換┌A。

經(jīng)過以上三個(gè)步驟后，公式中僅含原子公式及其否定，以及∨和∧。

(4)分配。在以上步驟的基礎(chǔ)上，以(A∨B)∧(A∨C)置換A∨(B∧C)就得到原公式的合取范式。

以上所用置換規(guī)則都有系統(tǒng)內(nèi)的根據(jù)：或是定理，例如多余的否定符┐和多余的肯定符┌的銷去；或是定義，例如→的銷去。置換所得結(jié)果和原公式是等值的。

任一公式，運(yùn)用以上方法，均可在有限步內(nèi)求得其合取范式。所以，任一公式都有其合式范式。

2、PC6的完全性定理：重言式均為PC6的定理。

證明：設(shè)A是一重言式。A有一合取范式。設(shè)A的合取范式是B，B亦為重言式。并且B為B1∧B2∧…∧Bn，Bi(1≤i≤n)為簡單析取式，Bi必為重言式。每一Bi里必有一0級命題變項(xiàng)Q，并且至少滿足下列條件之一：(甲)┌Q和┐Q都作為Bi的析取支出現(xiàn)；(乙)┌Q和┐┌Q都作為Bi的析取支出現(xiàn)；(丙)┐Q和┐┐Q都作為Bi的析取支出現(xiàn)。因?yàn)椋喝粲幸籅i里每一個(gè)0級命題變項(xiàng)Q，都不滿足(甲)(乙)(丙)三個(gè)條件中的任何一個(gè)條件，則該Bi里任何一個(gè)0級命題變項(xiàng)Q，必處于下述三種情形之一：(1)┌Q和┐┐Q都作為Bi的析取支出現(xiàn)，或其中之一作為Bi的析取支出現(xiàn)；(2)┐Q和┐┌Q都作為Bi的析取支出現(xiàn)，或其中之一作為Bi的析取支出現(xiàn)；(3)┐┌Q和┐┐Q都作為Bi的析取支出現(xiàn)。對于該Bi里任一0級命題變項(xiàng)Q，若它處于第一種情形則取值F，若它處于第二種情形則取值T，若它處于第三種情形則取值C，此時(shí)該Bi的每一個(gè)析取支的值均為F，該Bi的值為F。該Bi不是重言式。這與Bi必是重言式相矛盾。所以，每一Bi里必有一0級命題變項(xiàng)Q，并且至少滿足(甲)(乙)(丙)三條件之一，即每一Bi必具有形式┌Q∨┐Q或┌Q∨┐Q∨C或⊿∨┐⊿或⊿∨┐⊿∨C (其中⊿代表任一原子公式)。因┌Q∨┐Q、┌Q∨┐Q∨C、A∨┐A、A∨┐A∨C都可證，故每一Bi均可證。依據(jù)定理┠A→(B→(A∧B))，B1∧B2∧…∧Bn可證，亦即B可證。B是A的范式，是由A依據(jù)置換規(guī)則得到的，若B可證，則A亦可證。可見若A為重言式，則A可證。所以，重言式均為PC6的定理。證畢。

二、PC6的一個(gè)重要特征：拒斥邏輯矛盾，容納辯證矛盾

(一)邏輯矛盾與辯證矛盾的區(qū)別

就語法而言，辯證矛盾命題與邏輯矛盾命題都是同時(shí)既肯定又否定同一個(gè)命題而形成的兩個(gè)相反命題的合取，所不同的是：辯證矛盾命題同時(shí)肯定和否定的是同一個(gè)0級命題，辯證矛盾命題是1級命題，其形式為┌Q∧┐Q；邏輯矛盾命題同時(shí)肯定和否定的是同一個(gè)n(n∈N且 n≥1)級命題，邏輯矛盾命題是n(n∈N且 n≥2)級命題，其形式為┌A∧┐A。

從語義上看，辯證矛盾與邏輯矛盾截然有別：辯證矛盾命題的形式是其值可為單真的矛盾式，當(dāng)Q為既真又假時(shí)，┌Q∧┐Q為單真，其它情況下┌Q∧┐Q為單假；邏輯矛盾命題的形式是其值必為單假的矛盾式，無論A中0級命題變項(xiàng)取什么真值，┌A∧┐A都為單假。

根據(jù)上述兩點(diǎn)區(qū)分，我們可以對辯證矛盾和邏輯矛盾分別定義如下：

一個(gè)矛盾命題是辯證矛盾命題，當(dāng)且僅當(dāng)該矛盾命題具有辯證矛盾命題的形式。辯證矛盾命題簡稱“辯證矛盾”。

一個(gè)矛盾命題是邏輯矛盾命題，當(dāng)且僅當(dāng)該矛盾命題具有邏輯矛盾命題的形式。邏輯矛盾命題簡稱“邏輯矛盾”。

在PC6中有定理┠ ┐(┐┌Q∧ ┐┐Q)。這說明，在PC6中不能同時(shí)否定┌Q和┐Q。┐(┌┌Q∧┌ ┐Q)不是PC6的定理。這說明，在PC6中可以同時(shí)肯定┌Q和┐Q。從真值表看，┌Q和┐Q不能同為單假，但可以同為單真?？梢?，在PC6中，肯定和否定同一個(gè)0級命題而形成的兩個(gè)相反命題，并不是矛盾關(guān)系，而是下反對關(guān)系。

在PC6中有定理┠ ┐(┌┌A∧┌ ┐A)和┠ ┐(┐┌A∧ ┐┐A)。這說明，在PC6中既不能同時(shí)肯定┌A和┐A，也不能同時(shí)否定┌A和┐A。從真值表看，┌A和┐A既不能同為單真，也不能同為單假?？梢姡赑C6中，肯定和否定同一個(gè)n(n∈N且 n≥1)級命題而形成的兩個(gè)相反命題，是矛盾關(guān)系。

總之，PC6區(qū)分了對0級命題的肯定與否定和對n(n∈N且 n≥1)級命題的肯定與否定的不同邏輯意義，并在此基礎(chǔ)上區(qū)分了辯證矛盾與邏輯矛盾。

(二)PC6拒斥邏輯矛盾，容納辯證矛盾

PC6有下列定理：

┠┌A∧┐A→B

這一定理是說：在PC6中邏輯矛盾可以任意擴(kuò)散，從邏輯矛盾可推出任何命題。

┠ ┐(┌A∧┐A)

這一定理表明：形式邏輯的不矛盾律在PC6中成立，PC6拒斥邏輯矛盾。

┌Q∧┐Q→B不是PC6的定理。這說明：在PC6中辯證矛盾不能任意擴(kuò)散，并非所有命題都能從辯證矛盾推出。

┐(┌Q∧┐Q)不是PC6的定理。這說明：形而上學(xué)的不矛盾律在PC6中不成立，PC6容納辯證矛盾。

綜上所述可見，PC6是一個(gè)拒斥邏輯矛盾、容納辯證矛盾的命題演算系統(tǒng)。

三、PC6區(qū)分邏輯矛盾與辯證矛盾的直觀依據(jù)

眾所周知，在西方哲學(xué)史上古希臘哲學(xué)家芝諾(約公元前490-前436年)第一個(gè)對思維提出了系統(tǒng)責(zé)難，他認(rèn)為思維無法描述對象的運(yùn)動(dòng)，其理由是運(yùn)動(dòng)的觀念中必然地包含著矛盾，而包含矛盾的觀念是不可理解的。由此出發(fā)，他提出了“二分法”、“阿基里斯追不上烏龜”、“飛矢不動(dòng)”等著名的關(guān)于運(yùn)動(dòng)的責(zé)難，以證明“運(yùn)動(dòng)不能享有真正的存在”。[2]282列寧在讀到芝諾關(guān)于運(yùn)動(dòng)的責(zé)難時(shí)就明確指出：“問題不在有沒有運(yùn)動(dòng)，而在于如何在概念的邏輯中表達(dá)它”。[3]281“如果不把不間斷的東西割斷，不使活生生的東西簡單化、粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那么我們就不能想象、表達(dá)、測量、描述運(yùn)動(dòng)，思維對運(yùn)動(dòng)的描述，總是粗糙化、僵化?！盵3]285這就是說，運(yùn)動(dòng)是活生生的、不間斷的，思維對運(yùn)動(dòng)的描述總是僵化的、間斷的，思維的相對靜止性與對象的絕對運(yùn)動(dòng)性之間必然存在著矛盾，思維只有通過斷言自身與對象之間的上述矛盾才能表達(dá)對象的運(yùn)動(dòng)。表達(dá)對象運(yùn)動(dòng)而形成的思維矛盾，也就是人們通常所說的辯證矛盾。

與辯證矛盾不同，邏輯矛盾只是思維自身的矛盾，是思維混亂的產(chǎn)物，并不涉及對象的運(yùn)動(dòng)，不是對象的運(yùn)動(dòng)之觀念中所必然包含著的矛盾。

鑒于上述理由，本文對思維進(jìn)行了層次區(qū)分，將思維區(qū)分為直接描述對象的思維與對思維的思維兩種，前者用0級命題來表達(dá)，后者用n(n∈N且 n≥1)級命題來表達(dá)。

在直接描述對象的思維中，思維的相對靜止性與對象的絕對運(yùn)動(dòng)性之間的矛盾必然表現(xiàn)為思維的真與假的矛盾，本文用“同一個(gè)0級命題同時(shí)既真又假”來刻畫這一矛盾。這樣在對直接描述對象的思維之思維中就可以用“同時(shí)既肯定又否定同一個(gè)0級命題”來表達(dá)對象的運(yùn)動(dòng)。于是，同時(shí)既肯定又否定同一個(gè)0級命題而形成的矛盾，也就是通常所說的辯證矛盾。

在對思維的思維中，由于一個(gè)n(n∈N且 n≥1)級命題不可能同時(shí)既真又假，因而在n+1級思維中同時(shí)既肯定又否定同一個(gè)n(n∈N且 n≥1)級命題而形成的矛盾，就是思維混亂的產(chǎn)物。這樣的矛盾，也就是通常所說的邏輯矛盾。

參考文獻(xiàn)：

[1]王憲鈞.數(shù)理邏輯引論[M].北京大學(xué)出版社，1982.

[2]黑格爾.哲學(xué)史講演錄(第1卷)[M].三聯(lián)書店，1956.

[3]列寧.哲學(xué)筆記[M].人民出版社，1956.