淺談小學(xué)數(shù)學(xué)建模的思想和方法

林明全

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）05-0147-01

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）版》將數(shù)學(xué)基本思想作為“四基”之一提出，模型思想是《課程標(biāo)準(zhǔn)》的10個核心概念中唯一一個以思想指稱的概念，同時明確指出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生感悟建模過程，發(fā)展“建模思想”。

所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，去抽象概括所研究對象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。模型思想的感悟應(yīng)蘊含于概念、命題、公式、法則的教學(xué)當(dāng)中，并與數(shù)感、符號感、空間觀念等數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)緊密結(jié)合。在《課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗版）》中，“模型”一詞出現(xiàn)在第三學(xué)段的教學(xué)建議中，其提法是“教學(xué)應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容采用‘問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用于拓展的模式展開，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成于應(yīng)用過程，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識的意義……”。

因此，在小學(xué)開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)的研究是實施新課程的需要。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式為一系列概念系統(tǒng)、公理系統(tǒng)、定律、關(guān)系等。從一定角度說，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程，實際上是對一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握過程。課堂教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型呢？

一、數(shù)形結(jié)合，勾勒數(shù)學(xué)模型

小學(xué)生以形象思維為主，因此小學(xué)的數(shù)學(xué)建模離不開幾何直觀。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法將蘊藏著大量數(shù)學(xué)信息的客觀問題形象化、簡單化，把數(shù)量之間的關(guān)系明朗化、明確化，學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，凸顯其中的邏輯性，以便于能很快地獲取信息、發(fā)現(xiàn)問題、分析和處理信息。

如：一杯牛奶，小紅第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上一次剩下的一半，小紅五次一共喝了多少牛奶？此問題若把五次所喝的牛奶加起來，即1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32即為所求。但這不是最好的解題策略。教師不妨指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法解決。先畫一個正方形，并假設(shè)它的面積為單位“1”，由圖可知，1—1/32即為所求。

建立數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)模型，能直接反映問題本質(zhì)特征，為正確分析數(shù)量關(guān)系作了形象、直觀的鋪墊，學(xué)生通過分析形象圖，理清數(shù)量之間的關(guān)系，形成解決思路的初步模型，探尋解決問題的方法，激發(fā)創(chuàng)造的靈感。

二、歸納抽象，概括數(shù)學(xué)模型

抽象概括是形成概念、得出規(guī)律的關(guān)鍵性手段，也是建立數(shù)學(xué)模型最為重要的思維方法之一。在充分觀察的基礎(chǔ)上，從許多數(shù)學(xué)事實或數(shù)學(xué)現(xiàn)象中舍去個別的、非本質(zhì)的屬性而抽象出共同的本質(zhì)屬性，構(gòu)建現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)模型。如教學(xué)正比例時出示：一種磚，塊數(shù)和鋪地面積，如下表

老師先讓學(xué)生通過觀察討論，總結(jié)出關(guān)系式：鋪地面積/塊數(shù)＝每塊磚面積（一定）,接著引導(dǎo)學(xué)生概括出成正比例的量的含義，最后讓學(xué)生用字母概括成正比例的兩種量的關(guān)系式：X/Y＝K（一定）。

在整個過程中，舍去了與數(shù)關(guān)系的具體情節(jié)，把反映數(shù)學(xué)問題的“本質(zhì)特征”抽取出來，用關(guān)系式概括，形成數(shù)學(xué)模型，以便于后面學(xué)習(xí)中有效地進(jìn)行解釋、應(yīng)用。因此抽象概括，可以加深學(xué)生對事物本質(zhì)的把握，形成一般化、形象化的認(rèn)識，從而構(gòu)建模型。

三、化歸轉(zhuǎn)化，創(chuàng)造數(shù)學(xué)模型

化歸是指將有待解決或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較容易解決的問題中去，以求得解決。數(shù)學(xué)問題的解決過程都是一個未知向已知轉(zhuǎn)化的過程，是一個等價轉(zhuǎn)化的過程，化歸轉(zhuǎn)化是基本而典型的建立新數(shù)學(xué)模型方法。

例如：在教學(xué)“圓面積”的推導(dǎo)過程中，引導(dǎo)學(xué)生思考由圓拆拼而成的長方形與原來圓之間的關(guān)系，學(xué)生在自主探索、合作交流中得出：

因為長方形面積＝長×寬

↓↓

所以圓的面積 ＝πr × r

學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化要素進(jìn)行研究，找出其內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律，發(fā)揮創(chuàng)造才能，通過轉(zhuǎn)化，最終發(fā)現(xiàn)規(guī)律，獲得數(shù)學(xué)模型，也同時獲得了解決實際問題的思想、程序與方法，二者對學(xué)生的發(fā)展來說，其意義遠(yuǎn)大于僅僅獲得某些數(shù)學(xué)知識。

四、比較分類，形成數(shù)學(xué)模型

比較是對有關(guān)數(shù)學(xué)知識或數(shù)學(xué)材料，辨別它們的共同點與不同點。比較的目的是認(rèn)識事物的聯(lián)系與區(qū)別，明確彼此之間存在的同上一性與相似性，以便提示其背后的共同模型。分類是在比較的基礎(chǔ)上，按照事物間性質(zhì)的異同，將具有相同性質(zhì)的對象歸入一類，不同性質(zhì)的對象歸入另一類的思維方法。因此，比較與分類，在建立數(shù)學(xué)模型的諸多思維方法中，比較與分類往往是抽象概括，合情推理的前提。

例如，在復(fù)習(xí)四邊形的認(rèn)識時，我們可以出示這樣一幅圖，讓學(xué)生沿著箭頭的指向補充相關(guān)的條件。

學(xué)生在思考過程中，不僅需要把某些儲存的信息檢索出來，更重要的是體驗分析比較、聯(lián)系分類等數(shù)學(xué)建模方法。這種復(fù)習(xí)遠(yuǎn)比空洞的讓學(xué)生說出每個圖形的特征更有作用，更容易幫助學(xué)生理解各種四邊形之間的關(guān)系，建立正確的數(shù)學(xué)模型，提高數(shù)學(xué)思維水平。

數(shù)學(xué)是關(guān)于模式規(guī)律的科學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，重要的是學(xué)會探求模式、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。因此，引導(dǎo)學(xué)生運用各種方法從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)模型，初步領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的思想和方法，這一過程將是課堂教學(xué)中的生命線。