極限式中待定常數(shù)的幾種題型和求法

張小華

【摘要】本文主要通過(guò)一些典型例題講解了含有待定常數(shù)的極限式的幾種題型和求解相關(guān)待定常數(shù)的方法。包括：有理函數(shù)極限式，分式函數(shù)極限式和根式極限式中的待定常數(shù)，以及利用結(jié)論、命題、數(shù)學(xué)定理、法則和性質(zhì)等方法來(lái)求解待定常數(shù)。

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 極限式待定常數(shù)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）05-0146-02

已知一極限式，求其待定常數(shù)的題型有下述幾類(lèi)：

題型一 求有理函數(shù)的極限式中的待定常數(shù)

常用下述極限結(jié)果求之，其中：a0≠0 ，b0≠0：

■■=a■b■，n=m0，n＜m∞，n＞m（結(jié)論1）

應(yīng)用上述結(jié)果時(shí)，應(yīng)注意x→∞ 這一極限過(guò)程，當(dāng)然對(duì)x→±∞也適用，但當(dāng)x趨于有限值時(shí)，上述結(jié)論不再成立，還應(yīng)注意m,n為任意實(shí)數(shù)。

例1：已知在（-∞，+∞）上f′■(x)=■+1，且■（■-ax-b)=■[f(x+1)-f(x)]，則

(A) a=1，b=0 (B) a=0，b=1 (C) a=1，b=1 (D)a=1，b=-2

解：由拉格朗日中值定理得到：

f(x+1)-f(x)=f′(ξ)=■+1，ξ∈(x，x+1).當(dāng)x→∞時(shí)，有ξ→∞因而■[f(x+1)-f(x)]=■（■+1）=1，于是有■（■-ax-b）=■■=■■=1， 由（結(jié)論1）有1-a=0，-(a+b)=1，解之得a=1，b=-2，僅（D）入選

注意 ：因■f(x)不一定存在，極限■[f(x+1)-f(x)]不一定為0

例2：設(shè)a＞0，a≠1，且■xp(a■-a■)=1na，則p=▁▁▁。

解 ：a■-a■=a■(a■-1)=a■(a■-1)，當(dāng)x→+∞時(shí)，

a■→1,a■-1~■1na，故原式左端=■xpa■(a■-1)=■■由（結(jié)論1）知當(dāng)p=2時(shí)，原式左端=■■=1na

題型二 確定分式函數(shù)極限式中的參數(shù)

求法一 用下述命題求之

已知■■=A（x0與A均為常數(shù)），且■Q（x)=0[或■P（x)=0]，則P（x)[或Q（x)]必為無(wú)窮小量，即■P（x)=0[■Q（x)=0]

上述命題可說(shuō)成分式極限存在，而分母（或分子）的極限為零，則分子（或分母）的極限也必為零。

先由上述命題推知分子（或分母）的極限為零，從而建立待求參數(shù)所滿足的（第1個(gè)）方程。

如有多個(gè)待求參數(shù)，可多次使用洛必達(dá)法則（每次使用都要驗(yàn)證是否滿足洛必達(dá)法則的條件）得到多個(gè)其分子（或分母）極限為零的等式，從而得到多個(gè)待求參數(shù)所滿足的多個(gè)方程，直接由這些方程能求出待求參數(shù)為止。

例3 ： 若■■(cosx-b）=5,則a=▁，b=▁

解：因■■=5，■sinx(cosx-b）=0，由上述命題知■（ex-a）=0，則a=■ex=1

當(dāng)x→0時(shí)，sinx~x,ex-1~x，此時(shí)有■■=■■=■（cosx-b)=5

故b=■cosx-5)=1-5=-4

例4 ：已知■■=1，求a，b，c.

解：■x■=0，且■■=1，由上述命題知，必有■（axsinx+bcosx+c）=0即b+c=0，于是使用洛必達(dá)法則得到原式（■）=■■=■■（■）=■■=■■=1(*)因■12x■=0，由上述命題知必有■[(2a-b)cosx-axsinx]=0，即■(2a-b)cosx=■(2a-b）=0，因而b=2a，將b=2a代入(*)式得到■■=■■=-■=1即a=-12，從而b=2a=-24，c=-b=24

注意：上例中各式每次使用洛必達(dá)法則后，其分子極限總為零，據(jù)此求出待定常數(shù)。

求法二 利用無(wú)窮小的性質(zhì)求之

這里的無(wú)窮小性質(zhì)是指，有界變量與無(wú)窮小之積為無(wú)窮?。辉跇O限的加減運(yùn)算中高階無(wú)窮小可以略去；在極限的乘除運(yùn)算中等價(jià)無(wú)窮小可以代換。

例5：設(shè)■■=2，其中a2+c2≠0，則必有

（A)b=4d (B)b=-4d (C)a=4c (D)a=-4c

解：因x→0時(shí)，tanx是與x等價(jià)的無(wú)窮小，1-cosx是與■等價(jià)的無(wú)窮小，a≠0,所以b(1-cosx)在x→0時(shí)是較atanx高階的無(wú)窮?。辉趚→0時(shí)，1n（1-2x)與-2x是等價(jià)無(wú)窮小，1-e-x■=-(e-x■-1)與x2是等價(jià)無(wú)窮小，c≠0,故d(1-e-x■)在x→0時(shí)是較c1n（1-2x)高階無(wú)窮小，根據(jù)無(wú)窮小的性質(zhì)：在極限的加減運(yùn)算中高階無(wú)窮小可以略去，得到原式=■■=■■=-■=2，故a=-4c，僅（D）入選。

題型三求∞±∞型的根式極限中的待定常數(shù)

一般可用兩種方法確定之。一是直接將所給無(wú)理式有理化，求出極限式中所含待定常數(shù)；

二是先提出無(wú)窮大因子，將∞±∞化為■型，然后由極限存在的條件求出待求常數(shù)。

例6：設(shè)■（αx+■-β)=0，求α，β

解法1： 原式=■[α+■-β/x]/(1/x)=0，因?yàn)?，?1/x)=0，故必有■（α+■-β/x）=0，而■（α+■-β/x）=α+1，故1+α=0，從而α=-1，將α=-1代入給定極限式得到■（■-x-β)=0，于是β=■（■-x）=■■=■■=■=-■

解法2：β=l■（αx+■）=l■■=l■■因β為常數(shù)，而上式右端分母的的最高方冪為1，因而有α2-1=0，此時(shí)有β=l■■=l■■=■=β,于是α≠1，有α+1=0，故α=-1，從而β=-1/2.

參考文獻(xiàn)：

[1]數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M]．北京：高等教育出版社，1995．

[2]張敏捷．函數(shù)極限的幾種特殊求法[J].黃石理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，4(24)：56-58．

[3]高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)[M]．北京：高等教育出版社，2003．

[4]薛嘉慶．高等數(shù)學(xué)題庫(kù)精編[M]．東北大學(xué)出版社，2000年3月第1版．