幾何繞射理論下楔形障礙物衍射

王海波，余 志，蔡 銘

(中山大學(xué)工學(xué)院 廣東省智能交通重點實驗室,廣州510006)

幾何繞射理論下楔形障礙物衍射

王海波，余 志，蔡 銘

(中山大學(xué)工學(xué)院 廣東省智能交通重點實驗室,廣州510006)

應(yīng)用幾何繞射理論，研究不同角度和不同頻率情況下楔形障礙物衍射衰減規(guī)律，并結(jié)合90°楔形障礙物現(xiàn)實應(yīng)用，模擬楔形建筑物下聲音傳播衰減。得出了楔形障礙物插入損失與楔形角度和聲波頻率的關(guān)系，結(jié)果與Maekawa實測值比較并進行精度分析。針對現(xiàn)實場景下楔形建筑物的遮擋，應(yīng)用空間剖分和聲線束追蹤生成聲音路徑，模擬楔形建筑物區(qū)域的聲音衰減。結(jié)果顯示聲音衰減隨楔形角度減小和頻率增加而增大，幾何繞射理論可應(yīng)用于大區(qū)域建筑物群聲傳播衰減計算中。

聲學(xué)；幾何繞射理論；衍射；90°楔角；斜頂建筑物

楔形障礙物指的是具有一定的棱角的構(gòu)筑物，這種結(jié)構(gòu)廣泛存在于實際生活中，如不同頂部構(gòu)造建筑物的棱角等。當聲波經(jīng)過楔形障礙物時，根據(jù)惠更斯原理，頂端會產(chǎn)生次波源，從而將聲波衍射到聲場的影區(qū)。研究楔形障礙物的衍射，可為探究聲波經(jīng)過障礙物尤其是建筑物群的簡化算法提供高精度計算方式。

目前楔形障礙物衍射研究已經(jīng)取得了很多成果。學(xué)者們對聲波衍射衰減提出的計算方法可以分為三類：數(shù)值解法(如邊界元法[1])、經(jīng)驗公式法(如Maekawa實測數(shù)據(jù)[2])和理論解法(如幾何繞射理論(Geometrical theory of diffraction(GTD))[3]）。學(xué)者們對硬質(zhì)聲屏障對點聲源的衍射衰減問題時行了實驗測量，實驗結(jié)果反映了衍射衰減和波長、聲屏障高度、衍射角的關(guān)系[4]，并有應(yīng)用于聲屏障聲學(xué)設(shè)計和計算機仿真方面的研究[5]。對于楔形障礙物衍射，經(jīng)典的基爾霍夫衍射理論[6]借助格林函數(shù)解Helmholtz方程，從而把面積分轉(zhuǎn)化為對障礙物的線積分，對高頻波的計算尤其精確。Keller于1951年提出了無線電波衍射衰減的一致性幾何繞射理論[7]。現(xiàn)在該理論已經(jīng)應(yīng)用到聲學(xué)問題的計算中[8]。其他學(xué)者如Ouis[9]、Hyun-Sil kim[10]等應(yīng)用于解決聲音衰減的頻域問題。其他方法諸如Biot-Tolstoy[11]法和時域的有限差分法[12]等也被應(yīng)用于室內(nèi)聲學(xué)的振蕩混響中。在工程上，Maekawa圖[2]和Kurze[13]的簡化公式最為常用。上述方法中，幾何繞射理論由于相對簡單且容易實現(xiàn)而被廣泛應(yīng)用于精確計算中。

文章著力于室外聲經(jīng)過楔形障礙物的衰減情況，選用幾何繞射理論對不同角度、不同頻率下的衰減規(guī)律進行研究，并結(jié)合現(xiàn)實建筑物常見的90°楔角，對建筑物區(qū)域下聲音的傳播衰減進行模擬，結(jié)果顯示聲音衰減隨楔形角度增大和頻率降低而減小，幾何繞射理論可應(yīng)用于大區(qū)域建筑物群聲傳播衰減計算中。

1 幾何繞射理論

考慮二維空間中圓柱坐標系下的楔形障礙物，如圖1所示。聲源S坐標(RS，θS)；接受點R為 (RR，θR)；楔形角度為vπ。在接受點R上的衍射聲場可以表示為[9]

其中φi(Q)為聲源到點Q的直接聲場；DQ為衍射系數(shù)，M為比例系數(shù)，k為波數(shù)。

圖1 楔形障礙物衍射圖

在三維情況下，根據(jù)聲波方程的基本解及計算幾何理論有

其中F(X)為菲涅耳積分有的過渡函數(shù)，用于計算邊緣繞射系數(shù)

a±為反射邊界和繞射邊界上的角度突變的描述函數(shù)

在公式6中，N可以表示為

將公式(1)—公式(7)聯(lián)立，便可以得到二維空間下圓柱坐標系楔形障礙物衍射場分布情況。

則障礙物對聲衍射的衰減可以表示為

其中|φdirect|為無障礙物時直達聲的模；|φdiffration|為有障礙物時衍射聲的模。值得指出的是，三維全自由空間下，距聲源點r半徑的聲場為

2 楔形障礙物角度及聲波頻率對衍射的影響

2.1 不同障礙物角度和不同聲波頻率下聲衍射規(guī)律

在圖1情況下，設(shè)定點聲源的坐標為（2，70°），接受點的坐標為（4，310°）。選用頻率為100 Hz，500 Hz，2 000 Hz，20 000 Hz的聲波作為研究，不同角度、不同頻率狀況下聲波經(jīng)過楔形障礙物的衰減結(jié)果如圖2所示。

圖2 楔形障礙物衰減和聲波頻率及楔形角度的關(guān)系

結(jié)果顯示四種頻率的聲波的插入損失表現(xiàn)為相同的規(guī)律：

隨著角度的增加，插入損失不斷減少；且越接近聲源與接受點的夾角時，插入損失下降得越劇烈，這是因為越趨近于130°時，衍射越來越不明顯，逐漸從影區(qū)趨近于亮區(qū)；當角度為0時，楔形障礙物退化成薄而不透聲的板，此時的插入損失最大。

相同角度的楔形障礙物的插入損失在隨著頻率的增加而增加，這是因為低頻的聲波波長小，更容易產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。

2.2 幾何繞射理論計算值與Maekawa實測值的比較

Maekawa在1968年在半消聲室進行了薄板衍射的經(jīng)典實測實驗，故本文選取0°障礙物、500 Hz頻率聲波計算數(shù)據(jù)和Maekawa實驗圖表進行對比。不同的菲涅爾系數(shù)下，即不同聲源點接收點對應(yīng)位置下GDT理論計算值和Maekawa實測值的比較如圖3所示。

圖3 不同菲涅爾系數(shù)下幾何繞射理論和Maekawa實測值比較

圖表顯示，幾何衍射理論值當N＜0時與實驗結(jié)果（Maekawa）比較接近；在N＞0時，其數(shù)值大于Maekawa曲線的數(shù)值，而且隨菲涅爾系數(shù)增大而增大；在N＜1的情況下，幾何繞射理論計算數(shù)值與Maekawa之間的誤差控制在3 dB以內(nèi)，在大區(qū)域建筑物群聲衰減計算中可以采用。

3 幾何繞射理論在建筑物聲衰減計算中的應(yīng)用

3.1 90°障礙物聲衍射規(guī)律

在聲波經(jīng)過建筑物的邊角點時，會產(chǎn)生衍射現(xiàn)象，而在大區(qū)域建筑物群聲傳播衰減計算中，斜屋頂建筑物通常可以簡化為頂角為90°的典型模型。90°楔形障礙物衰減規(guī)律具有重要的現(xiàn)實意義。

在1.1小節(jié)的假設(shè)條件下，90°障礙物插入損失可以應(yīng)用幾何繞射理論求出。圖4為障礙物區(qū)域的聲場模擬圖以及插入衰減圖。

從圖4可以看出，點聲源其衰減特性與接收點距離有關(guān)；聲波經(jīng)過障礙物邊界時，聲波發(fā)生衍射，聲壓級由邊界向內(nèi)部遞減，在障礙物背后的邊緣附近生成聲影區(qū)。90°障礙物插入明顯削減了聲影區(qū)的聲能，其衰減值也從衍射邊界的0 dB增加到邊界內(nèi)部的20+dB。

3.2 建筑物群聲傳播衰減計算實例

在建筑物群聲衰減計算實例中，文章采用聲線束追蹤法生成聲線路徑，綜合考慮了聲傳播過程中的反射衍射現(xiàn)象，其中衍射時采用幾何繞射理論進行計算。先將整個空間剖分成有序的四面體網(wǎng)絡(luò)，并遞歸地構(gòu)建聲線束樹形結(jié)構(gòu)。對每一對聲源點和接收點，通過聲線束追蹤法在生成的四面體樹形結(jié)構(gòu)中搜索所有節(jié)點并生成聲音傳播路徑。最后進行聲衰減計算(該部分另文闡述)。

模擬現(xiàn)實建筑物場景，文章設(shè)計了兩棟建筑物的模擬算例。設(shè)計的兩棟建筑物A和B的高度分別為5 m和3 m。算例設(shè)定建筑物表面反射系數(shù)設(shè)為0.8。聲源為單點定頻率無指向性聲源，頻率為500 Hz。對平頂和斜頂兩種情況進行聲衰減計算。得到了兩棟建筑物區(qū)域在三維情況下單點聲源聲場分布，在高度為1.5 m時如圖5所示。

在豎直面上，兩種情況的聲衰減分布如圖6所示。

圖4 90°障礙物區(qū)域聲衍射示意圖

圖5 建筑物區(qū)域平面聲場分布圖

圖6 建筑物區(qū)域立面聲場分布圖

文章選取1—4號點作為聲壓級數(shù)值研究對象，其坐標依次對應(yīng)圖5中的(0，-7.5)、(0，2.5)、(0，7.5)、和(0，12.5)。在平頂建筑物和斜頂建筑物兩種情況下，各個點位的聲壓級數(shù)值及對比情況如表1所示。

表1 各點位平頂建筑物和斜頂建筑物聲場比較

對比平頂建筑物和斜頂建筑物的聲場，可以發(fā)現(xiàn)，在建筑物高度相同的情況下，平頂建筑物對聲音的遮擋作用更加明顯，算例中兩種情況下建筑物后的聲能大小直接反映了建筑物的遮擋：建筑物前的1號點，兩種情況下聲壓級大小相若；在一棟建筑物后的2號點，平面屋頂比斜面屋頂聲壓級小1.1 dB；兩棟建筑物后的3號點和4號點，聲音衰減差值大約為2 dB。這是由于在其他條件相同的條件下，不考慮建筑物的自防護遮擋，平頂建筑物對聲音的傳播過程中有兩次衍射作用，而斜頂建筑物只有一次，在這種情況下，平頂建筑物帶來了額外的一次衍射（算例中約為1 dB～2 dB）的衰減。

4 結(jié)語

(1)應(yīng)用幾何繞射理論研究楔形障礙物插入損失。隨著楔形障礙物的角度增加，聲波的衰減量逐漸減少；隨著聲波頻率的增加，聲波的衰減量逐漸增大。與Maekawa實測值對比顯示，菲涅爾系數(shù)較小時，幾何繞射理論計算值較為準確。

(2)90°障礙物插入明顯削減了聲影區(qū)的聲能，其衰減值也從衍射邊界的0 dB增加到邊界內(nèi)部的20+dB。90°的楔形障礙物在建筑物群聲衰減計算中有一定的價值。

(3)90°障礙物的幾何繞射理論可應(yīng)用與建筑物群聲傳播衰減計算，文章算例下，平頂建筑物所帶來的聲衰減比斜頂建筑物大約大1 dB～3 dB。

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Study on Wedge-shaped Obstacle Diffraction Based on Geometrical Theory of Diffraction

WANG Hai-bo,YUZhi,CAIMing

(School of Engineering,Sun Yat-sen University,Guangdong Provincial Key Laboratory of Intelligent Transportation System,Guangzhou 510006,China)

∶Geometrical theory of diffraction is used to study the diffraction rules of wedge-shaped obstacle with different angles and sound frequencies.A wedge-shaped obstacle with 90°wedge angle is taken as a typical example to simulate sound propagation and attenuation of wedge-shaped buildings.The relation of the insertion loss and the wedge angle of the obstacle and the sound frequency are obtained.The result of simulation is compared with the Maekawa’s measurement data and the accuracy of the simulation is analyzed.Considering the sheltering effect of the in-situ wedge-shaped buildings,sound attenuation amid the buildings is calculated with the help of spatial subdivision and beam tracing method when the sound path is generated.The results show that the sound attenuation increases with the decreasing of the wedge angle and increasing of the sound frequency.And the geometrical theory of diffraction can be applied to the sound diffraction calculation amid buildings in a large area.

∶acoustics;geometrical theory of diffraction;diffraction;90°wedge angle;pitched roof building

TB53；X8；O422< class="emphasis_bold">文獻標識碼：ADOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.06.031

1006-1355(2014)06-0140-04+147

2014-03-20

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863計劃2012AA112311)國家自然基金(51178476)

王海波(1989-)，男，河北保定人，博士生，目前從事道路交通噪聲方面的研究。

余志，教授，博士生導(dǎo)師。

E-mail∶yz987@sina.com