傳輸函數(shù)和平面波入射角對(duì)合成聲場(chǎng)的影響

彭昌友 黃青華

（上海大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，上海，200072）

引 言

隨著音頻技術(shù)的發(fā)展，人們不僅能夠準(zhǔn)確識(shí)別聲源位置［1］，而且還可使用揚(yáng)聲器陣列在聽(tīng)音區(qū)域內(nèi)營(yíng)造聲學(xué)場(chǎng)景。譜分法（Spectral division method，SDM）［2-3］是最近提出的一種新的合成聲場(chǎng)方法。該方法首先對(duì)聲場(chǎng)進(jìn)行空間傅里葉變換，在波數(shù)域內(nèi)推導(dǎo)合成聲場(chǎng)的次源驅(qū)動(dòng)函數(shù)，再根據(jù)次源和次源驅(qū)動(dòng)函數(shù)合成聲場(chǎng)。理想的次源分布是連續(xù)次源，而現(xiàn)實(shí)生活中的次源是揚(yáng)聲器，故需對(duì)連續(xù)次源分布進(jìn)行空間抽樣離散化，在空間放置離散的揚(yáng)聲器陣列。因而抽樣過(guò)程產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，相關(guān)文獻(xiàn)提出了抗混疊條件［4-5］和抗混疊次源［6］。因此，在波數(shù)域內(nèi)研究離散次源和離散驅(qū)動(dòng)函數(shù)成為聲場(chǎng)合成研究的重要內(nèi)容。

本文分析了SDM合成平面波聲場(chǎng)和推導(dǎo)次源驅(qū)動(dòng)函數(shù)的過(guò)程，在波數(shù)域內(nèi)對(duì)傳輸函數(shù)加矩形窗函數(shù)，消去傳輸函數(shù)的瞬逝部分，實(shí)現(xiàn)傳輸函數(shù)的修改。在平面波頻率一定的情況下，離散次源合成平面波聲場(chǎng)還與抗混疊頻率大小有關(guān)，同時(shí)平面波入射角決定抗混疊頻率的大小，因此提出了在波數(shù)域內(nèi)聯(lián)合傳輸函數(shù)和平面波入射角的方式分析其對(duì)合成聲場(chǎng)的影響。仿真結(jié)果表明，修改的傳輸函數(shù)和較大的平面波入射角有利于合成理想聲場(chǎng)。

1 線形次源合成的平面波聲場(chǎng)

1.1 連續(xù)線形次源合成的平面波聲場(chǎng)

聲場(chǎng)合成系統(tǒng)目的是通過(guò)次源在聽(tīng)音區(qū)域內(nèi)重現(xiàn)聲學(xué)場(chǎng)景，這就要求分析合成聲場(chǎng)的次源分布和找到合適的次源驅(qū)動(dòng)函數(shù)［7］?，F(xiàn)實(shí)中線形分布的揚(yáng)聲器能合成具有立體感的平面聲場(chǎng)，如圖1所示。

圖1 線形次源分布Fig.1 Linear secondary source distribution

合成聲場(chǎng)的次源分布在x坐標(biāo)軸上，合成的聲場(chǎng)可以表示為

式中：X0＝［x0，0，0］T為次源位置；X＝［x，y，0］T為xoy平面（（y＞0））的任意點(diǎn)位置；ω＝2πf為角頻率；D（X0，ω）和G（X-X0，ω）分別為驅(qū)動(dòng)函數(shù)和空間傳輸函數(shù)（三維格林函數(shù)）［8］。假設(shè)式（1）中次源具有全向性，即空間傳輸函數(shù)具有如下形式G｜y｜（x，y，z，ω）＝G｜y｜（x，-y，z，ω）＝G｜y｜（x，｜y｜，z，ω），那么合成的平面波聲場(chǎng)相對(duì)于次源具有對(duì)稱性，其表達(dá)式為

此時(shí)空間傳輸函數(shù)為

由式（4）可得次源驅(qū)動(dòng)函數(shù)

通過(guò)式（5）推導(dǎo)出驅(qū)動(dòng)函數(shù)（kx，ω）的方法稱為SDM，（kx，y，z，ω）是頻率為fpw，傳播方向?yàn)椋é萷w，αpw）的平面波聲場(chǎng)，在波數(shù)域內(nèi)的平面波和傳輸函數(shù)表達(dá)式｜y｜（kx，y，z，ω）見(jiàn)文獻(xiàn)［2］，考慮合成聲場(chǎng)在z＝0的水平面上，此時(shí)傳輸函數(shù)｜y｜（kx，y，0，ω）表達(dá)式為

將（kx，y，z，ω）和式（6）代入式（5）得到驅(qū)動(dòng)函數(shù)［2］

式中kpw＝ωpw/c，c是聲音在空氣中傳播速度。在聽(tīng)音區(qū)內(nèi)，文獻(xiàn)［7］設(shè)｜y｜＝y(tǒng)ref處到次源之間的區(qū)域能正確地合成聲場(chǎng)，稱｜y｜＝y(tǒng)ref為合成聲場(chǎng)的參考距離（見(jiàn)圖1），kpw，x，kpw，y和已知頻率ωpw關(guān)系為

根據(jù)以上條件，可以得到次源的驅(qū)動(dòng)函數(shù)

將式（10）和式（6）代入式（4），運(yùn)用空間傅里葉反變換得到合成的聲場(chǎng)為

由于連續(xù)次源未經(jīng)過(guò)離散化，此時(shí)產(chǎn)生的聲場(chǎng)為模擬聲場(chǎng)，但實(shí)際生活中使用離散的揚(yáng)聲器陣列充當(dāng)次源，故需要對(duì)連續(xù)次源的離散化進(jìn)行分析。

1.2 離散線形次源合成的平面波聲場(chǎng)

現(xiàn)實(shí)生活中使用離散的揚(yáng)聲器陣列合成聲場(chǎng)，在理論分析時(shí)對(duì)次源抽樣離散。設(shè)次源間隔為Δx，在空間離散位置放置揚(yáng)聲器，并且推導(dǎo)出相應(yīng)的驅(qū)動(dòng)函數(shù)。對(duì)驅(qū)動(dòng)函數(shù)的抽樣離散過(guò)程如圖2所示。

圖2 驅(qū)動(dòng)函數(shù)的抽樣和加窗的傳輸函數(shù)Fig.2 Sampling and windowing of driving function

抽樣后的驅(qū)動(dòng)函數(shù)表達(dá)式為

由傳輸函數(shù)式（6）和離散化后的驅(qū)動(dòng)函數(shù)式（12）得到聲場(chǎng)的表達(dá)式如式（13）所示。

傳輸函數(shù)在波數(shù)域內(nèi)包含瞬逝部分和傳播部分，由于傳輸函數(shù)的瞬逝部分離散化造成合成聲場(chǎng)的不理想［7］。因此，盡可能消除傳輸函數(shù)的瞬逝部分，達(dá)到合成理想聲場(chǎng)的目的。

2 瞬逝聲場(chǎng)的消除

2.1 傳輸函數(shù)的修改

2.2 抗混疊頻率與傳輸函數(shù)的組合

式中：（x0，y0）為聲場(chǎng)中的各點(diǎn)的坐標(biāo)；P（x0，y0，ω）表示點(diǎn)（x0，y0）理想平面波聲場(chǎng)。通過(guò)這些不同的組合方式，綜合分析傳輸函數(shù)的瞬逝部分與平面波入射角對(duì)合成平面波聲場(chǎng)的影響。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

圖3 線形次源合成的聲場(chǎng)Fig.3 Sound field synthesized by linear secondary sources

對(duì)應(yīng)于第2種組合方式，加上窗函數(shù)后的合成聲場(chǎng)如圖4所示，和圖3（a）非抽樣離散情況下合成的聲場(chǎng)極相似，顯然圖4（a）合成的平面波聲場(chǎng)優(yōu)于圖3（b）合成聲場(chǎng)，即對(duì)傳輸函數(shù)加窗消除了部分瞬逝聲場(chǎng)，提高了合成聲場(chǎng)的效果。同時(shí)，經(jīng)窗函數(shù)濾除的瞬逝部分合成的聲場(chǎng)如圖4（b）所示。

圖4 入射角（θpw，αpw）＝合成的聲場(chǎng)Fig.4 Synthesized sound field with incidence angle（θpw，αpw）＝

圖5 入射角（θpw，αpw）＝合成的聲場(chǎng)Fig.5 Synthesized sound field with incidence angle（θpw，αpw）＝

為了分析平面波頻率在滿足抗混疊情況下和平面波入射角對(duì)合成聲場(chǎng)的影響，文中利用計(jì)算聲場(chǎng)誤差算法仿真了對(duì)傳輸函數(shù)加窗和不加窗兩種情況下合成聲場(chǎng)的誤差圖，如圖6所示。

圖6 傳輸函數(shù)加窗和不加窗時(shí)合成聲場(chǎng)的誤差Fig.6 Synthesized sound field error with modified transfer function and transfer function

4 結(jié)束語(yǔ)

本文分析了由連續(xù)線形次源和離散線形次源合成的平面波聲場(chǎng)。針對(duì)傳輸函數(shù)中的瞬逝部分離散化對(duì)合成平面波聲場(chǎng)的不利影響，提出了一種改進(jìn)傳輸函數(shù)的方法，改進(jìn)的傳輸函數(shù)減少了合成聲場(chǎng)中的瞬逝聲場(chǎng)，達(dá)到較好的效果。同時(shí)根據(jù)抗混疊頻率大小對(duì)合成聲場(chǎng)的影響，給出傳輸函數(shù)和抗混疊頻率的組合方式。在平面波頻率和離散次源間隔一定的情況下，加窗后的傳輸函數(shù)能消除傳輸函數(shù)的瞬逝部分，且當(dāng)平面波頻率滿足抗混疊條件時(shí)，合成的聲場(chǎng)較理想。當(dāng)平面波頻率不能滿足抗混疊條件時(shí)，合成聲場(chǎng)中存在混疊現(xiàn)象。文中沒(méi)有分析揚(yáng)聲器間隔和平面波入射角的最佳結(jié)合取值對(duì)合成平面波聲場(chǎng)的影響，以及在不滿足抗混疊條件下，平面波入射角增大造成合成聲場(chǎng)誤差變大的原因，這些是今后研究的內(nèi)容。

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