懸臂梁質(zhì)量擺桿結(jié)構(gòu)一階模態(tài)減振控制分析

陳娟娟 劉 杰

（三峽大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

利用質(zhì)量擺（使用繩索懸掛小球）減小豎直懸臂梁結(jié)構(gòu)或者豎直多質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)（均是模擬高層建筑結(jié)構(gòu)或者輸電塔結(jié)構(gòu)）的振動(dòng)的應(yīng)用非常廣泛［1－9］.隨著水平外荷載作用的增加，高層建筑會(huì)產(chǎn)生較大的水平振動(dòng)，于是將高層建筑看作豎直懸臂梁結(jié)構(gòu)來考慮會(huì)更加合理［6－7］.但是外荷載越大，質(zhì)量擺的振動(dòng)也會(huì)越大，過大的外荷載可能會(huì)使得懸掛小球的繩索不再處于拉伸的狀態(tài)，即小球本身在振動(dòng)過程中失去了穩(wěn)定性，文獻(xiàn)［7］中的懸臂梁質(zhì)量擺結(jié)構(gòu)進(jìn)行二階模態(tài)振動(dòng)時(shí)懸掛小球的繩索出現(xiàn)了收縮的狀態(tài)，質(zhì)量擺的振動(dòng)不再能減小懸臂梁的二階模態(tài)的振動(dòng)了，質(zhì)量擺結(jié)構(gòu)也因此失去了意義.

如若將小球和懸臂梁之間用擺桿連接，由于擺桿屬于剛體，因此即使外荷載再大，小球振動(dòng)再劇烈，小球會(huì)一直保持以擺桿的長(zhǎng)度為擺長(zhǎng)的振動(dòng)，從而達(dá)到減振的作用，另一方面，因擺桿本身的質(zhì)量不可忽略，故擺桿和小球可以共同起到減振的作用.

1 動(dòng)力學(xué)建模

設(shè)梁高為H，橫截面面積為A，單位質(zhì)量密度為ρ（即單位體積的質(zhì)量），抗彎剛度為EI，質(zhì)量擺桿結(jié)構(gòu)中的小球質(zhì)量為m1，小球與支架用均質(zhì)擺桿連接，擺長(zhǎng)為l，擺桿質(zhì)量m2，支架質(zhì)量為m3，擺桿與豎直面的擺角為θ（t）.根據(jù)懸臂梁的邊界條件，梁的中線不考慮伸長(zhǎng)，即梁無軸向變形而只有橫向變形.如圖1所示，假設(shè)梁最初沿著x軸，隨后在x－y平面內(nèi)振動(dòng)，沿著梁中線的曲線坐標(biāo)為s，于是振動(dòng)時(shí)梁的坐標(biāo)表示為（x（s，t），y（s，t））（后面將梁的軸向坐標(biāo)和橫向坐標(biāo)分別簡(jiǎn)寫為x和y，擺桿的擺角簡(jiǎn)寫為θ），支架位置在距離梁底面L處（0＜L≤H）［6］.

基本假設(shè)為：1）梁的截面尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其高度；2）系統(tǒng)在x－y平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)；3）忽略梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形的影響；4）忽略梁的阻力的影響［6］.

建模方法運(yùn)用能量方法哈密頓原理［7］，表述為

式中，T為系統(tǒng)的總動(dòng)能；V為系統(tǒng)的總勢(shì)能，包括了應(yīng)變能與保守外力的勢(shì)能；Wnc為非保守力所做功，包括了阻尼力和沒有計(jì)算在V中的外力；δ（）表示括號(hào)中參量的第一變分，即虛變化；t1和t2為已知系統(tǒng)相對(duì)位置變化的時(shí)間.

圖1 懸臂梁懸掛小球和擺桿減振結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)動(dòng)能

按二維平面狀態(tài)表示，梁的動(dòng)能［6］為

小球的運(yùn)動(dòng)速度由梁轉(zhuǎn)動(dòng)和自身轉(zhuǎn)動(dòng)的牽連復(fù)合組成［6］，其動(dòng)能為

同理，均質(zhì)擺桿的動(dòng)能為

支架和豎直懸臂梁固定在一起，其動(dòng)能為

注：′表示對(duì)曲線坐標(biāo)s的導(dǎo)數(shù)，·表示對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，并也用于以下各式.

1.2 系統(tǒng)勢(shì)能

梁的彎曲應(yīng)變能［6］為

式中，κ為梁的彎曲曲率.

令梁底面的重力勢(shì)能為零勢(shì)能位置，則梁的重力勢(shì)能［6］為

小球的重力勢(shì)能［6］為

均質(zhì)擺桿的重力勢(shì)能為

支架的重力勢(shì)能為

1.3 結(jié)構(gòu)非保守力功

整個(gè)結(jié)構(gòu)的非保守力只考慮懸臂梁材料應(yīng)變的粘滯阻尼力σD，阻尼力所作的功［7］為

1.4 動(dòng)力學(xué)連續(xù)方程

結(jié)構(gòu)的邊界條件［6］為

分別對(duì)方程（2）～（11）取變分，并在區(qū)間（t1，t2）上對(duì)t積分，并代入邊界條件（12）式，采用文獻(xiàn)［6］中的方法經(jīng)整理得懸臂梁質(zhì)量擺桿結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)連續(xù)方程為

為了能運(yùn)用一端固支另一端自由的懸臂梁的振型函數(shù)，將邊界條件齊次化［6］.設(shè)

則邊界條件（12）變?yōu)?/p>

滿足條件.另外，初始條件變?yōu)?/p>

將式（15）代入到方程（13）和（14）中，則邊界條件齊次化后的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中的△（s）代表 Dirac函數(shù)［10］.

1.5 離散化方程

采用Galerkin方法對(duì)方程（18）、（19）進(jìn)行離散化（具體過程參見文獻(xiàn)6），可得系統(tǒng)如下的離散化動(dòng)力學(xué)方程：

式中：

2 一階模態(tài)減振控制參數(shù)分析

選取文獻(xiàn)［4］中的懸臂梁模型，其幾何參數(shù)見表1及表2.小球質(zhì)量m1和擺桿質(zhì)量m2為分析參數(shù).

表1 懸臂梁的幾何參數(shù)

表2 支架和動(dòng)位移的參數(shù)

截取一階模態(tài)（i＝j(luò)＝1），并令L＝H，同時(shí)將表1和表2中的數(shù)據(jù)代入方程（20）和（21）中，經(jīng)計(jì)算并整理得到如下方程：

2.1 m1＝m2＝0的情況

此種情況即是懸臂梁上不懸掛小球和擺桿結(jié)構(gòu)，只是懸臂梁自身作一階模態(tài)振動(dòng)，此時(shí)懸臂梁的運(yùn)動(dòng)方程為

動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果如圖2所示.

圖2 無小球和質(zhì)量擺桿時(shí)懸臂梁頂點(diǎn)加速度和位移變化曲線

由此可見，懸臂梁作一階模態(tài)振動(dòng)時(shí)，頂點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生較大速度的振動(dòng)，且水平振動(dòng)位移很明顯，加速度的峰值為2.4m／s2，頂點(diǎn)水平位移的峰值為12mm.

2.2 m1＝m2的情況

分別取m1＝m2＝5g，20g，50g帶入方程（22）和（23）中，經(jīng)mathematic軟件分析得到梁頂點(diǎn)的加速度和水平位移變化曲線，如圖3～5所示.比較圖2和圖3～5的結(jié)果，當(dāng)豎直懸臂梁上懸掛小球和擺桿結(jié)構(gòu)后懸臂梁的振動(dòng)明顯減小了，無論是振動(dòng)加速度還是振動(dòng)位移均降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)，振動(dòng)位移大小為1～2mm，基本看不到振動(dòng)現(xiàn)象了，由此說明懸掛小球和擺桿結(jié)構(gòu)也能起到良好的減振效果.另外，還可發(fā)現(xiàn)，小球和擺桿的質(zhì)量越大減振效果越好.

圖3 小球和質(zhì)量擺桿的質(zhì)量均為5g時(shí)懸臂梁頂點(diǎn)加速度和水平位移變化曲線

圖4 小球質(zhì)量為20g和質(zhì)量擺桿的質(zhì)量為20g時(shí)懸臂梁頂點(diǎn)加速度和水平位移變化曲線

圖5 小球質(zhì)量為50g和質(zhì)量擺桿的質(zhì)量為50g時(shí)懸臂梁頂點(diǎn)加速度和位移變化曲線

2.3 m1＞m2的情況

分別取m1＝20g＞m2＝10g、m1＝50g＞m2＝10 g和m1＝50g＞m2＝30g帶入方程（22）和（23）中，經(jīng)mathematic軟件分析得到梁頂點(diǎn)的加速度和位移變化曲線，如圖6～8所示.比較圖4和圖6、圖5和圖7的結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小球質(zhì)量不變時(shí)減振效果基本不變.可見，起主要減振作用的是小球的質(zhì)量大小.比較圖7和圖8的結(jié)果可見，當(dāng)小球質(zhì)量不變時(shí)，小質(zhì)量擺桿比大質(zhì)量擺桿的減振效果稍好.

圖6 小球質(zhì)量為20g和質(zhì)量擺桿的質(zhì)量為10g時(shí)懸臂梁頂點(diǎn)加速度和水平位移變化曲線

圖7 小球質(zhì)量為50g和質(zhì)量擺桿的質(zhì)量為10g時(shí)懸臂梁頂點(diǎn)加速度和水平位移變化曲線

圖8 小球質(zhì)量為50g和質(zhì)量擺桿的質(zhì)量為30g時(shí)懸臂梁頂點(diǎn)加速度和水平位移變化曲線

2.4 m1＜m2的情況

分別取m1＝10g＜m2＝20g、m1＝10g＜m2＝50 g和m1＝30g＜m2＝50g帶入方程（22）和（23）中，經(jīng)mathematic軟件分析得到梁頂點(diǎn)的加速度和位移變化曲線，如圖9～11所示.

比較圖7和圖9、圖8和圖10的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，小球質(zhì)量大于擺桿質(zhì)量時(shí)的減振效果明顯優(yōu)于小球質(zhì)量小于擺桿質(zhì)量時(shí)的減振效果.比較圖10和圖11的結(jié)果，當(dāng)擺桿質(zhì)量相同時(shí)，小球質(zhì)量越大減振效果越好，并且仍然可以得出，影響減振效果最主要的因素是小球的質(zhì)量.

圖9 小球質(zhì)量為10g和質(zhì)量擺桿的質(zhì)量為20g時(shí)懸臂梁頂點(diǎn)加速度和水平位移變化曲線

圖10 小球質(zhì)量為10g和質(zhì)量擺桿的質(zhì)量為50g時(shí)懸臂梁頂點(diǎn)加速度和水平位移變化曲線

圖11 小球質(zhì)量為30g和質(zhì)量擺桿的質(zhì)量為50g時(shí)懸臂梁頂點(diǎn)加速度和水平位移變化曲線

3 結(jié) 論

采用Hamilton原理推導(dǎo)出了豎直懸臂梁上懸掛小球和擺桿減振結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)連續(xù)方程和離散化動(dòng)力學(xué)模型，并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了該模型的有效性.并以小球質(zhì)量和擺桿質(zhì)量為分析參數(shù)分析了結(jié)構(gòu)進(jìn)行一階模態(tài)振動(dòng)時(shí)的減振效果，得出如下結(jié)論：1）當(dāng)懸臂梁作一階模態(tài)振動(dòng)時(shí)，小球和擺桿質(zhì)量越大，減振效果越明顯，且起主要減振作用的是小球.2）要想獲得一階模態(tài)最佳的減振效果，必須使小球質(zhì)量大于擺桿質(zhì)量，且小球質(zhì)量越大越好.3）在結(jié)構(gòu)中，擺桿的作用主要是連接小球和懸臂梁，并保證小球可以一直以擺桿長(zhǎng)度為擺長(zhǎng)進(jìn)行振動(dòng).

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